Grupuri

Un grup este o mulțime nevidă $G$ cu o lege de compoziție internă $\ast$ care îndeplinește trei condiții: este asociativă, are element neutru $e$ și orice element $x$ are un simetric $x^{\prime }$, adică $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$. Dacă legea este și comutativă, grupul este abelian. Numărul de elemente ale lui $G$ este ordinul grupului.

Exemple din programă: grupurile numerice, grupurile de matrice, grupul aditiv $({\mathbb{Z}}_n,+)$ pentru $n\ge 2$ și mulțimea $S_n$ a permutărilor de $n$ elemente, cu operația de compunere, care este neabeliană pentru $n\ge 3$. Perechea $(\mathbb{N},+)$ nu este grup, deoarece $1$ nu are opus în $\mathbb{N}$, iar $(\mathbb{Q},\cdot )$ nu este grup, deoarece $0$ nu are invers.

Un subgrup al lui $G$ este o submulțime nevidă $H$ care formează grup cu aceeași lege; de exemplu $n\mathbb{Z}$ în $(\mathbb{Z},+)$ sau $\{1;-1\}$ în $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$. Criteriile de verificare sunt în lecția Subgrupuri și morfisme.

Consecințe ale axiomelor. În orice grup $(G,\ast )$:

• neutrul și simetricul fiecărui element sunt unice;
• se poate simplifica: din $a\ast b=a\ast c$ rezultă $b=c$ (se compune la stânga cu $a^{\prime }$), iar din $b\ast a=c\ast a$ rezultă $b=c$;
• ecuațiile $a\ast x=b$ și $y\ast a=b$ au soluție unică, $x=a^{\prime }\ast b$ și $y=b\ast a^{\prime }$;
• simetricul unui compus se compune în ordine inversă: $(a\ast b{)}^{\prime }=b^{\prime }\ast a^{\prime }$.

În scriere multiplicativă simetricul lui $a$ se notează $a^{-1}$, iar în scriere aditivă, $-a$. Notația $a^{-1}$ nu înseamnă numărul real $\frac{1}{a}$, ci simetricul lui $a$ în grupul dat. Din unicitatea soluției rezultă o proprietate a tablei unui grup finit: fiecare element apare exact o dată pe fiecare rând și pe fiecare coloană.

Grupuri numerice. Mulțimile $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ sunt grupuri abeliene față de adunare, cu neutrul $0$ și simetricul $-x$. Pentru înmulțire se exclude $0$, care nu are invers: $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$, $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$ și $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$ sunt grupuri abeliene, cu neutrul $1$ și simetricul $\frac{1}{x}$. Perechea $({\mathbb{Z}}^{\ast },\cdot )$ nu este grup, deoarece $2$ nu are invers întreg. Grupul aditiv al claselor de resturi $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este tratat în lecția Clase de resturi modulo n.

Exemplu rezolvat 1: grup de matrice. Pentru $x\in \mathbb{R}$ notăm $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $G=\{A(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$, cu înmulțirea matricelor.

1. Produsul $A(x)A(y)=\left(\begin{array}{cc}1& x+y\\ 0& 1\end{array}\right)=A(x+y)$ aparține lui $G$, deci legea este internă.
2. Înmulțirea matricelor este asociativă.
3. Neutrul este $A(0)=I_2$.
4. Din $A(x)A(-x)=A(0)$ rezultă că simetricul lui $A(x)$ este $A(-x)\in G$.
5. Egalitatea $A(x)A(y)=A(x+y)=A(y)A(x)$ arată că grupul este abelian.

Așadar $(G,\cdot )$ se comportă ca $(\mathbb{R},+)$: înmulțirea matricelor $A(x)$ înseamnă adunarea parametrilor.

Exemplu rezolvat 2: grup neabelian. În $S_3$ luăm permutările $\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$ și $s=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$, cu $(\sigma \circ s)(i)=\sigma (s(i))$.

1. Pentru $\sigma \circ s$: $1\mapsto 1\mapsto 2$, $2\mapsto 3\mapsto 1$, $3\mapsto 2\mapsto 3$. Rezultă $\sigma \circ s=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$.
2. Pentru $s\circ \sigma$: $1\mapsto 2\mapsto 3$, $2\mapsto 3\mapsto 2$, $3\mapsto 1\mapsto 1$. Rezultă $s\circ \sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$.
3. Cele două rezultate diferă, deci $S_3$, cu $3!=6$ elemente, este grup neabelian.

Exemplu rezolvat 3: grup definit printr-o formulă. Arătăm că $G=(2;+\infty )$, cu legea $x\ast y=xy-2x-2y+6$, este grup abelian.

1. Scriem $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$. Pentru $x,y>2$ produsul $(x-2)(y-2)$ este pozitiv, deci $x\ast y>2$: legea este internă pe $G$.
2. Asociativitatea: $(x\ast y)\ast z=(x-2)(y-2)(z-2)+2=x\ast (y\ast z)$.
3. Neutrul: $(x-2)(e-2)=x-2$ pentru orice $x$ dă $e=3$, iar $3\in G$.
4. Simetricul: $(x-2)(x^{\prime }-2)=1$ dă $x^{\prime }=2+\frac{1}{x-2}$, care este mai mare decât $2$, deci aparține lui $G$.
5. Formula este simetrică în $x$ și $y$, deci legea este comutativă.

Pe $\mathbb{R}$ întreg legea nu dă grup: elementul $2$ are $2\ast y=2$ pentru orice $y$, deci nu are simetric. Pe $(2;+\infty )$ acest element lipsește, iar pentru elementele rămase simetricul există.

Lista de verificare. Pentru a arăta că o pereche $(G,\ast )$ este grup, parcurgi în ordine: legea este internă pe $G$; asociativitatea; existența unui neutru în $G$; existența, pentru fiecare $x\in G$, a unui simetric aflat în $G$. Pentru grupul abelian adaugi comutativitatea. La simetric nu e suficient să găsești o formulă pentru $x^{\prime }$: trebuie să verifici că ea dă un element al lui $G$, pentru orice $x\in G$.

Într-o grilă despre un grup definit prin formulă, afli întâi neutrul, apoi rezolvi ecuația simetricului. Pentru un grup finit dat prin tabel, folosești faptul că fiecare element apare o singură dată pe rând și pe coloană.

Problemă. Pe $G=(0;+\infty )\setminus \{1\}$ se definește $x\circ y=x^{\lg y}$ și se știe că $(G,\circ )$ este grup abelian. Simetricul elementului $100$ este:

• a) $\frac{1}{100}$
• b) $\frac{1}{2}$
• c) $\sqrt{10}$
• d) $10$
• e) $100$
• f) $\frac{1}{\sqrt{10}}$

Rezolvare. Neutrul este $10$, deoarece $x\circ 10=x^{\lg 10}=x$. Simetricul $y$ al lui $100$ satisface $100\circ y=10$, adică $100^{\lg y}=10$. Logaritmând cu baza $10$ obținem $\lg y\cdot \lg 100=1$, deci $2\lg y=1$, $\lg y=\frac{1}{2}$ și $y=\sqrt{10}$. Verificare: $100\circ \sqrt{10}=100^{1/2}=10$. Răspunsul corect este c). Varianta a) este inversul față de înmulțire, $\frac{1}{100}$. Varianta b) este valoarea lui $\lg y$, cu oprirea înainte de a reveni de la logaritm la $y$. Varianta d) este neutrul. Varianta e) presupune $x\circ x=10$, dar $100\circ 100=100^2=10^4$. Varianta f) are semnul exponentului greșit.

Alt exemplu. Fie grupul $G=\{e;a;b\}$ cu neutrul $e$ și cu $a\ast a=b$. Completăm tabla.

1. Rândul și coloana lui $e$ repetă marginile tabelului.
2. Pe rândul lui $a$ apar deja $a$ (din $a\ast e=a$) și $b$ (din $a\ast a=b$), deci $a\ast b=e$.
3. În coloana lui $a$ apar deja $a$ (din $e\ast a=a$) și $b$ (din $a\ast a=b$), deci $b\ast a=e$.
4. Pe rândul lui $b$ apar deja $b$ și $e$, deci $b\ast b=a$.

Tabla este:

Greșeli frecvente

• Greșit: comutativitatea este obligatorie pentru orice grup.
  Corect: este cerută doar pentru grupul abelian; în $S_3$, $\sigma \circ s\ne s\circ \sigma$.
• Greșit: dacă mulțimea are element neutru, toate elementele au simetric.
  Corect: fiecare element trebuie verificat; în $(\mathbb{Z},\cdot )$, neutrul este $1$, dar $2$ nu are invers.
• Greșit: $a^{-1}$ este întotdeauna $\frac{1}{a}$.
  Corect: $a^{-1}$ este simetricul pentru operația grupului; în $(\mathbb{R},+)$ simetricul lui $5$ este $-5$, nu $\frac{1}{5}$.
• Greșit: $(a\ast b{)}^{-1}=a^{-1}\ast b^{-1}$ în orice grup.
  Corect: $(a\ast b{)}^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$; egalitatea cu $a^{-1}\ast b^{-1}$ pentru toate perechile are loc dacă și numai dacă grupul este abelian.

Înainte și după

Întrebări frecvente