Inele și corpuri

Un inel $(A,+,\cdot )$ este o mulțime cu două legi interne, adunarea și înmulțirea, astfel încât: $(A,+)$ este grup abelian (cu neutrul $0$ și opusul $-a$); înmulțirea este asociativă; înmulțirea este distributivă față de adunare, adică $a(b+c)=ab+ac$ și $(a+b)c=ac+bc$. Inelele din programa școlară au și element unitate $1$, neutru față de înmulțire. Dacă $ab=ba$ pentru orice $a,b$, inelul este comutativ.

Un corp este un inel cu $0\ne 1$ în care orice element nenul este inversabil; dacă înmulțirea este comutativă, corpul este comutativ. Exemple: $\mathbb{Z}$ este inel comutativ, dar nu corp; $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ sunt corpuri; ${\mathbb{Z}}_n$ este inel, iar ${\mathbb{Z}}_p$ este corp pentru $p$ prim; $M_2(\mathbb{R})$ este inel necomutativ; mulțimea funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ cu adunarea și înmulțirea funcțiilor este inel comutativ.

Reguli de calcul. Într-un inel, $a\cdot 0=0\cdot a=0$ (din $a\cdot 0=a(0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0$), $(-a)b=a(-b)=-ab$ și $(-a)(-b)=ab$. Formula binomului $(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ se aplică elementelor care comută, $ab=ba$, de exemplu în orice inel comutativ; în general, $(a+b{)}^2=a^2+ab+ba+b^2$.

Elemente speciale. Un element $a$ este inversabil dacă există $a^{-1}$ cu $a{a}^{-1}=a^{-1}a=1$. Un element nenul $a$ este divizor al lui zero dacă există $b\ne 0$ cu $ab=0$ sau $ba=0$. Un element inversabil nu este divizor al lui zero: din $ab=0$ se obține $b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot 0=0$. De aceea într-un corp $ab=0$ implică $a=0$ sau $b=0$. Reciproca nu este adevărată: $\mathbb{Z}$ nu are divizori ai lui zero, dar nu este corp. Elementele inversabile ale unui inel formează grup față de înmulțire: $1$ este inversabil, iar produsul a două elemente inversabile $a$ și $b$ este inversabil, cu inversul $b^{-1}{a}^{-1}$. În $\mathbb{Z}$ singurele elemente inversabile sunt $1$ și $-1$.

Exemplu rezolvat 1: inelul $M_2(\mathbb{R})$. Fie $E=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $F=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$.

1. $EF=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, dar $FE=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Înmulțirea nu este comutativă.
2. $E\cdot E=O_2$ cu $E\ne O_2$, deci $E$ este divizor al lui zero.
3. Prin urmare $M_2(\mathbb{R})$, cu adunarea și înmulțirea matricelor, este inel unitar necomutativ, cu divizori ai lui zero, deci nu este corp.

Exemplu rezolvat 2: un corp de matrice. Pentru $a,b\in \mathbb{R}$ notăm $M(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ și $K=\{M(a,b)\mid a,b\in \mathbb{R}\}$.

1. $M(a,b)+M(c,d)=M(a+c,b+d)$ și $M(a,b)M(c,d)=M(ac-bd,ad+bc)$, deci $K$ este stabilă la ambele operații.
2. Zero este $M(0,0)$, unitatea este $M(1,0)=I_2$, iar formula produsului este simetrică în cele două perechi: $M(a,b)M(c,d)=M(c,d)M(a,b)$.
3. Dacă $(a;b)\ne (0;0)$, atunci $s=a^2+b^2\ne 0$ și $M(a,b)\cdot M\left(\frac{a}{s},-\frac{b}{s}\right)=M(1,0)$, deci elementul nenul este inversabil în $K$.

Așadar $K$ este corp comutativ. Funcția $\phi (a+bi)=M(a,b)$ păstrează suma și produsul, fiindcă $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$; ea arată că $K$ este o copie a lui $\mathbb{C}$.

Exemplu rezolvat 3: inelul funcțiilor reale. Pe mulțimea funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ adunarea și înmulțirea se fac în fiecare punct: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ și $(fg)(x)=f(x)g(x)$.

1. Zero este funcția nulă, unitatea este funcția constantă $1$, iar înmulțirea este comutativă.
2. O funcție $f$ este inversabilă dacă și numai dacă $f(x)\ne 0$ pentru orice $x$, caz în care inversul este $\frac{1}{f}$. De exemplu, $x\mapsto x^2+1$ este inversabilă, dar $h(x)=x$ nu este, fiindcă $h(0)=0$ și $(hg)(0)=0\ne 1$ pentru orice $g$.
3. Fie $p(x)=x$ pentru $x\ge 0$, $p(x)=0$ pentru $x<0$, și $q(x)=0$ pentru $x\ge 0$, $q(x)=1$ pentru $x<0$. Funcțiile $p$ și $q$ sunt nenule ($p(1)=1$, $q(-1)=1$), dar $pq$ este funcția nulă.

Inelul funcțiilor reale are deci divizori ai lui zero și nu este corp, deși $\mathbb{R}$ este corp.

Morfisme de inele. O funcție $f:A\to A^{\prime }$ între inele unitare este morfism de inele dacă $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$ și $f(1)=1$; este izomorfism dacă este și bijectivă. Un morfism între corpuri se numește morfism de corpuri. Singurul morfism de inele $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ este $f(x)=x$: din adunare rezultă $f(n)=nf(1)$, iar $f(1)=1$ dă $f(n)=n$.

Pe $\mathbb{Z}$ cu două legi definite prin formule, cauți neutrele celor două legi separat și transferi problema printr-un izomorfism cu $(\mathbb{Z},+,\cdot )$, dacă există.

Problemă. Pe $\mathbb{Z}$ se definesc $x\oplus y=x+y-1$ și $x\odot y=xy-x-y+2$, iar $(\mathbb{Z},\oplus ,\odot )$ este inel. Elementul neutru față de $\odot$ este:

• a) $0$
• b) $1$
• c) $2$
• d) $-1$
• e) $-2$
• f) nu există

Rezolvare. Din $a\odot e=a$ obținem $ae-a-e+2=a$, adică $e(a-1)=2(a-1)$. Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice $a$, deci $e=2$. Verificare: $a\odot 2=2a-a-2+2=a$. Răspunsul corect este c). Varianta a) este neutrul adunării obișnuite, ales fără calcul. Varianta b) este neutrul înmulțirii obișnuite și, în același timp, neutrul legii $\oplus$ (din $x+e-1=x$ rezultă $e=1$), deci neutrul legii greșite. Varianta d) este opusul lui $1$. Varianta e) rezultă din $e(a-1)=-2(a-1)$, cu un semn greșit la mutarea termenilor. Varianta f) apare când se observă că pentru $a=1$ egalitatea este adevărată pentru orice $e$ și se trage concluzia greșită că $e$ nu este determinat; pentru $a\ne 1$ rezultă $e=2$.

Alt exemplu. Rezolvăm în $\mathbb{Z}$ ecuația $x\odot x=5$. Funcția $\phi (a)=a-1$ verifică $\phi (a\odot b)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1)=\phi (a)\phi (b)$, deci ecuația se scrie $(x-1{)}^2+1=5$, adică $(x-1{)}^2=4$. Rezultă $x-1=\pm 2$ și $x\in \{-1;3\}$. Verificare: $3\odot 3=9-3-3+2=5$ și $(-1)\odot (-1)=1+1+1+2=5$. Funcția $\phi$ duce zero-ul lui $\oplus$, care este $1$, în $0$, și unitatea lui $\odot$, care este $2$, în $1$; ea transferă astfel toate calculele din $(\mathbb{Z},\oplus ,\odot )$ în $(\mathbb{Z},+,\cdot )$.

Greșeli frecvente

• Greșit: în ${\mathbb{Z}}_8$, clasa $\hat{2}$ ar avea invers fiindcă este nenulă.
  Corect: produsele $2k$ modulo $8$ sunt pare, deci nu pot fi $\hat{1}$; $\mathrm{cmmdc}(2;8)=2$.
• Greșit: se declară $M_2(\mathbb{R})$ inel comutativ fiindcă adunarea matricelor este comutativă.
  Corect: înmulțirea trebuie să fie comutativă, iar $EF\ne FE$ pentru matricele $E$ și $F$ de mai sus.
• Greșit: din $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_6$ se deduce că una dintre clase este zero.
  Corect: $\hat{2}$ și $\hat{3}$ sunt nenule; ele sunt divizori ai lui zero.
• Greșit: în orice inel, $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.
  Corect: $(a+b{)}^2=a^2+ab+ba+b^2$; pentru $E$ și $F$ din $M_2(\mathbb{R})$ avem $(E+F{)}^2=I_2$, iar $E^2+2EF+F^2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Înainte și după