Metoda lui Gauss și compatibilitatea sistemelor

Eliminarea Gauss rezolvă un sistem liniar prin transformarea ecuațiilor în altele echivalente. Poți schimba două ecuații, înmulți una cu un număr nenul sau aduna la una un multiplu al alteia. Aplici fiecare operație întregului rând din matricea extinsă $[A\mid b]$, inclusiv termenului liber. Forma triunghiulară permite substituția inversă. Un rând $[0\cdots 0\mid c]$ cu $c\ne 0$ arată incompatibilitate; un rând nul nu adaugă o condiție.

Kronecker–Capelli: sistemul este compatibil dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}[A\mid b]$. Pentru $n$ necunoscute, rangul comun $n$ dă soluție unică, iar rangul comun mai mic decât $n$ dă infinit de multe soluții. Rouché este un criteriu distinct: alegi un minor nenul de ordin $r=\mathrm{rang}A$ al matricei coeficienților, numit minor principal. Îl bordezi cu coloana termenilor liberi și, pe rând, cu fiecare linie care nu participă la minor; determinanții de ordin $r+1$ astfel obținuți sunt minorii caracteristici. Sistemul este compatibil dacă și numai dacă toți acești minori sunt nuli. Când nu există linii secundare, condiția este îndeplinită.

Algoritmul eliminării are patru pași:

1. se scrie matricea extinsă $[A\mid b]$;
2. cu pivotul din prima coloană se anulează elementele de sub el, apoi se repetă pe coloanele următoare;
3. se citește sistemul eșalonat: un rând $[0\cdots 0\mid c]$ cu $c\ne 0$ încheie discuția (sistem incompatibil), iar rândurile nule se șterg;
4. necunoscutele fără pivot devin parametri, iar celelalte se află de jos în sus.

Un sistem omogen ($b=0$) este mereu compatibil. El are și soluții nenule dacă și numai dacă rangul este mai mic decât numărul necunoscutelor: sistemul $x+2y+3z=0$, $2x+4y+6z=0$, $x+y+z=0$ are rangul $2$, deci soluțiile $(t;-2t;t)$, cu $t\in \mathbb{R}$.

Exemplu rezolvat (soluție unică). Sistemul $x+y+z=6$, $2x+y-z=1$, $x-y+z=2$ are matricea extinsă $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 2& 1& -1& 1\\ 1& -1& 1& 2\end{array}\right]$.

1. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$ dau $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& -1& -3& -11\\ 0& -2& 0& -4\end{array}\right]$.
2. $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ dă ultimul rând $[006\mid 18]$, deci $6z=18$ și $z=3$.
3. Din $-y-3z=-11$ rezultă $y=2$, iar din prima ecuație $x=6-y-z=1$.

Verificare: $2\cdot 1+2-3=1$ și $1-2+3=2$. Ambele ranguri sunt $3$, egale cu numărul necunoscutelor, deci soluția este unică.

Exemplu rezolvat (infinit de multe soluții). Sistemul $x+2y-z=1$, $2x+y+z=5$, $3x+3y=6$.

1. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ dau $\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 1\\ 0& -3& 3& 3\\ 0& -3& 3& 3\end{array}\right]$.
2. $L_3\leftarrow L_3-L_2$ produce un rând nul: a treia ecuație era consecința primelor două. Ambele ranguri sunt $2$, mai mici decât $3$.
3. Alegem $z=t$ ca parametru. Din $-3y+3z=3$ rezultă $y=t-1$, iar din prima ecuație $x=1-2y+z=3-t$. Soluțiile sunt $(3-t;t-1;t)$, cu $t\in \mathbb{R}$.

Exemplu rezolvat (sistem incompatibil). Sistemul $x+y+z=1$, $x+y+2z=2$, $2x+2y+3z=5$.

1. $L_2\leftarrow L_2-L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-2L_1$ dau rândurile $[001\mid 1]$ și $[001\mid 3]$.
2. $L_3\leftarrow L_3-L_2$ dă $[000\mid 2]$, adică $0=2$. Sistemul nu are soluții: rangul matricei coeficienților este $2$, iar al matricei extinse este $3$.

Rouché pe un sistem cu parametru. Fie $x+y+z=1$, $x+2y+3z=2$, $x+3y+5z=m$. Determinantul sistemului este $0$, fiindcă linia a treia este dublul liniei a doua minus prima, iar minorul principal $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1$ arată că $r=2$. Singura linie secundară este a treia, deci avem un singur minor caracteristic: $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 3& m\end{array}\right|=m-3$. Sistemul este compatibil dacă și numai dacă $m=3$, iar atunci soluțiile sunt $(t;1-2t;t)$, cu $t\in \mathbb{R}$; pentru $m\ne 3$ sistemul este incompatibil.

Greșeli frecvente

• Greșit: $0=0$ înseamnă că sistemul nu are soluții.
  Corect: ecuația este redundantă; $0=c$, cu $c\ne 0$, arată incompatibilitate.
• Greșit: schimbi coeficienții dintr-un rând, dar păstrezi termenul liber.
  Corect: operația se face pe întregul rând al matricei extinse.
• Greșit: dacă rangul matricei coeficienților este mai mic decât numărul necunoscutelor, sistemul are infinit de multe soluții.
  Corect: este nevoie și de compatibilitate; $x+y+z=1$, $x+y+z=2$ are rangul coeficienților $1<3$, dar nu are nicio soluție.
• Greșit: se poate înmulți un rând cu $0$ sau cu o expresie în $m$ fără discuție.
  Corect: o ecuație se înmulțește numai cu un număr nenul; dacă factorul depinde de parametru, valoarea care îl anulează se tratează separat.
• Greșit: rangul matricei extinse poate fi mai mic decât rangul matricei coeficienților.
  Corect: minorii lui $A$ sunt și minori ai lui $[A\mid b]$, deci $\mathrm{rang}[A\mid b]\ge \mathrm{rang}A$.

Înainte și după