Rangul unei matrice

Rangul unei matrice este ordinul maxim al unui minor nenul. Un minor se obține alegând același număr de linii și coloane și calculând determinantul submatricei pătratice astfel formate. Pentru o matrice de ordin $n$, rangul este $n$ dacă și numai dacă determinantul ei este nenul.

Exemplu rezolvat. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$, determinantul de ordin $2$ este $1\cdot 4-2\cdot 2=0$. Elementul $1$ este un minor nenul de ordin $1$. Prin urmare, $\mathrm{rang}A=1$.

Matricea nulă are rangul $0$. Pentru o matrice cu $m$ linii și $n$ coloane, $\mathrm{rang}A\le \min (m,n)$, iar $\mathrm{rang}{A}^T=\mathrm{rang}A$. Un minor nenul de ordin $r$ dovedește doar $\mathrm{rang}A\ge r$; pentru egalitate trebuie arătat că nu mai există minori nenuli de ordin mai mare. Verificarea se scurtează cu regula minorilor bordați: dacă un minor de ordin $r$ este nenul și toți minorii de ordin $r+1$ care îl conțin (obținuți adăugând o linie și o coloană) sunt nuli, atunci $\mathrm{rang}A=r$.

Exemplu rezolvat. Fie $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 4& 1& 5\\ 3& 6& 1& 6\end{array}\right)$.

1. Minorul din liniile $1;2$ și coloanele $1;3$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right|=1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A\ge 2$.
2. Îl bordăm cu linia a treia și, pe rând, cu coloana a doua și cu coloana a patra. Se obține $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 4\\ 3& 1& 6\end{array}\right|=0$ și $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 5\\ 3& 1& 6\end{array}\right|=0$.
3. Deci $\mathrm{rang}A=2$. Se verifică ușor că linia a treia este suma primelor două.

Fără bordare ar fi trebuit calculați toți cei patru minori de ordin $3$ ai matricei $3\times 4$; cu bordarea sunt doar doi. Pentru o matrice pătratică de ordin $n$, afirmațiile $\mathrm{rang}A=n$, $\det A\ne 0$ și „$A$ este inversabilă” sunt echivalente. Dacă $\mathrm{rang}A=r<n$, atunci orice minor de ordin $n$, adică determinantul însuși, este nul.

Operațiile elementare pe linii păstrează rangul: schimbarea a două linii, înmulțirea unei linii cu un număr nenul și adunarea la o linie a unui multiplu al altei linii. După eșalonare, rangul este numărul liniilor nenule. Pentru $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 2& 4& 1& 3\\ 3& 6& 0& 6\\ 1& 2& 2& 0\end{array}\right)$, scăzând din celelalte trei linii multipli ai primei (de $2$, $3$ și $1$ ori) obținem de trei ori linia $(0;0;3;-3)$. Scăzând din a treia și a patra linie pe a doua, rămân două linii nenule, deci rangul este $2$.

Legătura cu sistemele: teorema Kronecker–Capelli spune că un sistem este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei coeficienților este egal cu rangul matricei extinse (lecția despre metoda lui Gauss o folosește în detaliu). Sistemul $x+y=2$, $2x+2y=5$ are matricea coeficienților de rang $1$, iar matricea extinsă $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 2& 5\end{array}\right)$ are minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right|=1\ne 0$, deci rangul $2$. Rangurile diferă, deci sistemul este incompatibil.

Exemplu rezolvat. Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$.

1. A doua linie este dublul primeia, deci $\det A=0$ și $\mathrm{rang}A\le 2$.
2. Alegem liniile întâi și a treia, cu primele două coloane.
3. Minorul este $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right|=1$, nenul.
4. Combinăm $\mathrm{rang}A\ge 2$ și $\mathrm{rang}A\le 2$: rezultă $\mathrm{rang}A=2$.

Exemplu rezolvat. Aflăm rangul lui $A_m=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$ în funcție de $m$.

1. Dezvoltarea sau regula lui Sarrus dă $\det A_m=m^2+1+1-m-m-1=m^2-2m+1=(m-1{)}^2$.
2. Pentru $m\ne 1$, determinantul este nenul, deci $\mathrm{rang}{A}_m=3$.
3. Pentru $m=1$, toate elementele sunt egale cu $1$: determinantul este $0$, orice minor de ordin $2$ este $0$, iar elementul $1$ este un minor nenul de ordin $1$. Deci $\mathrm{rang}{A}_1=1$.

La o grilă cu parametru, se calculează determinantul, se găsesc valorile care îl anulează, iar pentru fiecare dintre ele se cercetează rangul separat.

Problemă. Fie $A_m=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& m& 6\\ 1& 1& m\end{array}\right)$. Rangul lui $A_m$ este $3$ dacă și numai dacă:

• a) $m\in \mathbb{R}$
• b) $m\in \mathbb{R}\setminus \{3\}$
• c) $m\in \mathbb{R}\setminus \{4\}$
• d) $m\in \mathbb{R}\setminus \{3;4\}$
• e) $m\in \{3;4\}$
• f) $m\in \mathbb{R}\setminus \{-4;-3\}$

Rezolvare. Regula lui Sarrus dă $\det A_m=m^2+12+6-3m-4m-6=m^2-7m+12=(m-3)(m-4)$. Rangul este $3$ dacă și numai dacă determinantul este nenul, deci pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{3;4\}$. Răspunsul corect este d). Pentru $m=3$ și $m=4$ determinantul este $0$, dar rangul este $2$, nu $0$: la $m=3$, minorul din primele două linii și primele două coloane este $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|=-1$, iar la $m=4$, minorul din liniile $1;3$ și coloanele $1;2$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-1$, deci ambii sunt nenuli. Varianta a) ignoră valorile care anulează determinantul. Variantele b) și c) exclud doar una dintre cele două valori. Varianta e) dă mulțimea pe care rangul este mai mic decât $3$. Varianta f) rezolvă greșit ecuația $m^2-7m+12=0$, cu semnele rădăcinilor inversate.

Alt exemplu. Calculăm rangul lui $A_t=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ t& 4\end{array}\right)$. Avem $\det A_t=4-2t$, deci pentru $t\ne 2$, $\mathrm{rang}{A}_t=2$. Pentru $t=2$, determinantul se anulează, dar elementul $a_{11}=1$ este un minor nenul de ordin $1$. Atunci $\mathrm{rang}{A}_t=1$.

Alt exemplu. Matricea $\left(\begin{array}{ccc}1& m& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$ are două linii, deci rangul ei este cel mult $2$. Rangul este $1$ dacă și numai dacă liniile sunt proporționale, adică $m=1$. Pentru $m\ne 1$, minorul din coloanele $1;2$ este $2-2m\ne 0$, deci rangul este $2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: dacă $\det A=0$, atunci $\mathrm{rang}A=0$.
  Corect: $\det A=0$ arată doar că rangul este mai mic decât ordinul matricei; $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ are determinantul $0$ și rangul $1$.
• Greșit: matricea $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$ are trei linii nenule, deci rangul $3$.
  Corect: a doua linie este dublul primeia, determinantul este $0$ și rangul este $2$.
• Greșit: un minor nenul de ordin $2$ arată că rangul este $2$.
  Corect: el arată doar $\mathrm{rang}A\ge 2$; la o matrice $3\times 3$ trebuie verificat și determinantul de ordin $3$.
• Greșit: o matrice cu $2$ linii și $4$ coloane poate avea rangul $3$.
  Corect: rangul nu depășește $\min (2;4)=2$.

Înainte și după