Operații cu polinoame

Polinoamele se adună prin reunirea termenilor de același grad și se înmulțesc distribuind fiecare termen din primul peste fiecare termen din al doilea. Dacă $P,Q$ sunt nenule peste un corp, $\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q$. Împărțirea cu rest se comportă ca împărțirea numerelor întregi: pentru $P$ și $D\ne 0$ există un cât $Q$ și un rest $R$ cu $P=DQ+R$, unde $R=0$ sau $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}D$.

Exemplu rezolvat. Înmulțim $(X+2)(X-3)$.

1. Distribuim: $X^2-3X+2X-6$.
2. Combinăm termenii în $X$.
3. Rezultatul este $X^2-X-6$.

La adunare se adună coeficienții de același rang. La înmulțire, coeficientul lui $X^k$ în $PQ$ este $c_k=a_0{b}_k+a_1{b}_{k-1}+\cdots +a_k{b}_0$, unde $a_i$ și $b_j$ sunt coeficienții lui $P$ și $Q$. De exemplu, $(X^2-X+1)(X^2+X+1)=X^4+X^2+1$. În ${\mathbb{Z}}_p[X]$ coeficienții se reduc modulo $p$: în ${\mathbb{Z}}_5[X]$, $(X+2)(X+3)=X^2+5X+6=X^2+1$. Adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative, iar înmulțirea este distributivă față de adunare; polinomul nul este element neutru la adunare, iar polinomul constant $1$ la înmulțire. Înmulțirea cu un scalar $\lambda$ înmulțește fiecare coeficient cu $\lambda$.

Împărțirea cu rest afirmă că, pentru polinoame peste un corp (de pildă $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sau ${\mathbb{Z}}_p$) și $D\ne 0$, există unic $Q,R$ cu $P=DQ+R$, unde $R=0$ sau $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}D$. La fiecare pas împărțim termenii conducători, înmulțim divizorul cu termenul obținut și scădem. Termenii lipsă se scriu cu coeficientul $0$ pentru a păstra alinierea puterilor. Pentru divizorul $X-a$, schema lui Horner organizează aceleași operații numai cu coeficienți: primul se coboară, apoi se înmulțește repetat cu $a$ și se adaugă coeficientul următor. Ultimul rezultat este restul, iar celelalte sunt coeficienții câtului, în ordine descrescătoare.

Dacă $\mathrm{deg}P<\mathrm{deg}D$, câtul este $0$ și restul este $P$; altfel $\mathrm{deg}Q=\mathrm{deg}P-\mathrm{deg}D$. Unicitatea rezultă astfel: din $DQ+R=D{Q}^{\prime }+R^{\prime }$ se obține $D(Q-Q^{\prime })=R^{\prime }-R$. Dacă $Q\ne Q^{\prime }$, membrul stâng are gradul cel puțin $\mathrm{deg}D$, iar cel drept are gradul mai mic decât $\mathrm{deg}D$, ceea ce este imposibil. Împărțirea cu rest funcționează la fel în ${\mathbb{Z}}_p[X]$: pentru $X^3+2X+1$ și $X+1$ în ${\mathbb{Z}}_3[X]$ folosim $a=-1=2$ și coeficienții $1;0;2;1$, iar Horner dă $1;2;6=0;1$. Câtul este $X^2+2X$, iar restul este $1$.

Împărțire rezolvată. Împărțim $P(X)=X^3-3X+5=X^3+0X^2-3X+5$ la $X-2$.

1. $X^3:X=X^2$. Scădem $(X-2)X^2=X^3-2X^2$ și rămâne $2X^2-3X+5$.
2. $2X^2:X=2X$. Scădem $(X-2)2X=2X^2-4X$ și rămâne $X+5$.
3. $X:X=1$. Scădem $X-2$ și obținem restul $7$.
4. Câtul este $Q=X^2+2X+1$, iar $P=(X-2)(X^2+2X+1)+7$.

Același calcul prin Horner. Coeficienții sunt $1;0;-3;5$, iar $a=2$. Coborâm $1$, apoi calculăm succesiv $1\cdot 2+0=2$, $2\cdot 2-3=1$, $1\cdot 2+5=7$. Primele rezultate dau câtul $X^2+2X+1$, iar ultimul dă restul. Verificarea prin evaluare este $P(2)=8-6+5=7$: din $P=(X-2)Q+R$, cu $R$ constant, evaluarea în $2$ dă $R=P(2)$, adică restul împărțirii la $X-a$ este valoarea polinomului în $a$.

Împărțire cu un divizor de gradul doi. Împărțim $P(X)=X^4+3X^3+2X+7$ la $D(X)=X^2+1$.

1. Scriem $P=X^4+3X^3+0X^2+2X+7$. Din $X^4:X^2=X^2$ scădem $X^4+X^2$ și rămâne $3X^3-X^2+2X+7$.
2. Din $3X^3:X^2=3X$ scădem $3X^3+3X$ și rămâne $-X^2-X+7$.
3. Din $-X^2:X^2=-1$ scădem $-X^2-1$ și rămâne $-X+8$, de grad mai mic decât $2$.
4. Câtul este $X^2+3X-1$, restul este $-X+8$, iar $P=(X^2+1)(X^2+3X-1)+(-X+8)$.

Divizor cu coeficient conducător diferit de 1. Pentru $2X-1=2\left(X-\frac{1}{2}\right)$, schema lui Horner cu $a=\frac{1}{2}$ aplicată lui $2X^3+X^2-5X+1$ dă coeficienții $2;2;-4$ și restul $-1$. Aceștia sunt câtul la $X-\frac{1}{2}$. Câtul la $2X-1$ se obține împărțind la $2$: $X^2+X-2$. Restul rămâne $-1$.

La împărțirea unui polinom de grad mare nu se execută algoritmul: se scrie $P=DQ+R$ cu $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}D$ și se reduc puterile modulo $D$. Pentru $D=X^2-1$ se folosește $X^2\equiv 1$, deci puterile pare ale lui $X$ devin $1$, iar cele impare devin $X$. Restul are forma $\alpha X+\beta$, iar valorile lui $P$ în $1$ și în $-1$ îl determină, deoarece $D$ se anulează în aceste puncte: $P(1)=\alpha +\beta$ și $P(-1)=-\alpha +\beta$.

Problemă. Restul împărțirii polinomului $X^{100}-X+1$ la $X^2-1$ este:

• a) $1$
• b) $1-X$
• c) $3$
• d) $X^{98}-X+1$
• e) $2-X$
• f) $X^{100}-X+1$

Rezolvare. Cum $X^2\equiv 1$, avem $X^{100}=(X^2{)}^{50}\equiv 1$. Atunci $X^{100}-X+1\equiv 1-X+1=2-X$, de grad $1<2$. Răspunsul corect este e). Varianta a) tratează $X^{100}$ ca $X$ (puterea ar fi impară). Varianta b) elimină $X^{100}$ în loc să-l înlocuiască cu $1$. Varianta c) este valoarea polinomului în $-1$, iar restul nu este constant. Varianta d) face o singură reducere, $X^{100}=X^{98}\cdot X^2$. Varianta f) lasă polinomul neschimbat, deși gradul lui nu este mai mic decât $2$.

Alt exemplu. Găsim $m$ astfel încât $X^3+mX+2$ să fie divizibil cu $X+1$. Restul este $P(-1)=-1-m+2=1-m$. El se anulează pentru $m=1$. În acest caz, $X^3+X+2=(X+1)(X^2-X+2)$, egalitate verificabilă prin dezvoltare.

Alt exemplu. Restul împărțirii lui $X^{50}+X^{25}$ la $X^2-1$ se află astfel: $X^{50}=(X^2{)}^{25}\equiv 1$, iar $X^{25}=X\cdot (X^2{)}^{12}\equiv X$. Restul este $X+1$, de grad mai mic decât $2$. Se verifică în $X=1$: $P(1)=2$ și $R(1)=2$; în $X=-1$: $P(-1)=1-1=0$ și $R(-1)=0$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $(X+2)(X-3)=X^2-6$.
  Corect: termenii încrucișați produc și $-X$.
• Greșit: restul împărțirii la $X+1$ este $P(1)$.
  Corect: divizorul se anulează pentru $X=-1$, deci restul este $P(-1)$.
• Greșit: pentru $X^3-3X+5$, schema lui Horner folosește coeficienții $1;-3;5$.
  Corect: se folosesc $1;0;-3;5$, cu zero pentru $X^2$ lipsă.
• Greșit: câtul împărțirii la $2X-1$ se citește direct din schema lui Horner cu $a=\frac{1}{2}$.
  Corect: schema dă câtul la $X-\frac{1}{2}$, iar câtul la $2X-1$ este jumătate din el.

Înainte și după