Polinoame ireductibile

Un polinom neconstant este ireductibil peste un corp dacă nu se poate scrie drept produsul a două polinoame de grad pozitiv cu coeficienți în acel corp. Proprietatea depinde de corp: $X^2+1$ este ireductibil peste $\mathbb{R}$, dar peste $\mathbb{C}$ se descompune $(X-i)(X+i)$. Orice polinom neconstant se scrie ca produs de polinoame ireductibile, în mod unic până la ordinea factorilor și la factori constanți; aceasta este descompunerea în factori ireductibili.

Exemplu rezolvat. Verificăm $P(X)=X^2+1$ peste $\mathbb{R}$.

1. Un polinom de grad doi ar fi reductibil numai dacă ar avea factor liniar real.
2. Ecuația $x^2+1=0$ nu are soluții reale.
3. Prin urmare $P$ este ireductibil peste $\mathbb{R}$.

Peste orice corp, polinoamele de gradul întâi sunt ireductibile. Un polinom de gradul doi sau trei este reductibil peste corpul coeficienților dacă și numai dacă are o rădăcină în acel corp, pentru că un factor de gradul întâi corespunde unei rădăcini (teorema lui Bézout). Pentru gradul patru sau mai mare, lipsa rădăcinilor nu ajunge: produsul a două polinoame de gradul doi fără rădăcini nu are nicio rădăcină, dar este reductibil.

Peste $\mathbb{C}$ singurele polinoame ireductibile sunt cele de gradul întâi, deoarece orice polinom neconstant are o rădăcină complexă. Peste $\mathbb{R}$ ireductibile sunt polinoamele de gradul întâi și cele de gradul doi cu discriminantul negativ. Un polinom real de grad impar are cel puțin o rădăcină reală, deci nu poate fi ireductibil dacă gradul este cel puțin $3$. Peste $\mathbb{Q}$ situația este mai bogată: există polinoame ireductibile de orice grad, de exemplu $X^2-2$, $X^3-2$ sau, în general, $X^n-2$. Precizarea corpului coeficienților este indispensabilă: același polinom poate avea statut diferit peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$.

Exemplu rezolvat. Descompunem $X^4-4$ peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$.

1. Diferența de pătrate dă $X^4-4=(X^2-2)(X^2+2)$. Ambii factori sunt ireductibili peste $\mathbb{Q}$, pentru că $\pm \sqrt{2}$ și $\pm i\sqrt{2}$ nu sunt raționale.
2. Peste $\mathbb{R}$, $X^2-2=(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$, iar $X^2+2$ rămâne ireductibil (discriminant $-8<0$).
3. Peste $\mathbb{C}$, $X^2+2=(X-i\sqrt{2})(X+i\sqrt{2})$, deci descompunerea completă este formată din patru factori liniari.

Exemplu rezolvat. Studiem $X^3-2$ și $X^3-1$.

1. Candidații rădăcinilor raționale ale lui $X^3-2$ sunt $\pm 1;\pm 2$. Valorile sunt $-1;-3;6;-10$, nenule, deci $X^3-2$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$, fiind de gradul trei.
2. Peste $\mathbb{R}$, cu $c=\sqrt[3]{2}$, $X^3-2=(X-c)(X^2+cX+c^2)$, iar factorul pătratic are discriminantul $-3c^2<0$.
3. Pentru $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$ discriminantul factorului pătratic este $-3$, deci acesta este ireductibil peste $\mathbb{R}$ și se descompune doar peste $\mathbb{C}$.

Exemplu rezolvat. Aceeași proprietate, peste corpuri finite: studiem $X^2+1$ peste ${\mathbb{Z}}_2$, ${\mathbb{Z}}_3$ și ${\mathbb{Z}}_5$.

1. Peste ${\mathbb{Z}}_2$, $X^2+1$ se anulează în $1$ și $X^2+1=(X+1{)}^2$, deci este reductibil.
2. Peste ${\mathbb{Z}}_3$, valorile în $0;1;2$ sunt $1;2;2$, deci nu există rădăcini și polinomul de gradul doi este ireductibil.
3. Peste ${\mathbb{Z}}_5$, valorile în $0;1;2;3;4$ sunt $1;2;0;0;2$, deci $X^2+1=(X-2)(X-3)$.

Un polinom de gradul patru fără rădăcini poate fi totuși reductibil, produs de doi factori de gradul doi, iar uneori factorii se găsesc prin completarea pătratului. De pildă, $X^4+4=(X^2+2{)}^2-4X^2=(X^2+2X+2)(X^2-2X+2)$ peste $\mathbb{Q}$, deși $X^4+4$ nu are rădăcini reale. La fel, $X^4+1=(X^2+1{)}^2-2X^2=(X^2+\sqrt{2}X+1)(X^2-\sqrt{2}X+1)$ peste $\mathbb{R}$, iar fiecare factor are discriminantul $2-4=-2<0$, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$. Peste $\mathbb{Q}$, $X^4+1$ rămâne ireductibil: nu are rădăcini raționale, iar egalitatea $X^4+1=(X^2+aX+b)(X^2+cX+d)$ cu $a,b,c,d$ raționali ar duce, prin compararea coeficienților, la $a^2=2$, $a^2=-2$ sau $b^2=-1$, imposibile pentru numere raționale.

Greșeli frecvente

• Greșit: ireductibilitatea este independentă de mulțimea coeficienților.
  Corect: depinde de corpul ales.
• Greșit: un polinom de grad doi cu discriminant negativ este reductibil peste $\mathbb{R}$.
  Corect: este ireductibil acolo.
• Greșit: lipsa rădăcinilor reale dovedește ireductibilitatea pentru orice grad.
  Corect: criteriul ajunge doar la gradele $2$ și $3$.
• Greșit: $X^2-2$ este ireductibil peste $\mathbb{R}$.
  Corect: peste $\mathbb{R}$ se descompune $(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$; ireductibil este peste $\mathbb{Q}$.
• Greșit: $X^4+4$ este ireductibil peste $\mathbb{Q}$ pentru că nu are rădăcini raționale.
  Corect: $X^4+4=(X^2+2X+2)(X^2-2X+2)$.

Înainte și după