Numere complexe — introducere

Numerele complexe extind numerele reale prin unitatea imaginară $i$, definită prin $i^2=-1$. Forma algebrică este $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. Partea reală este $a$, iar partea imaginară este numărul real $b$. Avem $z\in \mathbb{R}$ dacă și numai dacă $b=0$. Ecuația $z^2+1=0$ are soluțiile $i$ și $-i$, deoarece pătratul fiecăreia este $-1$.

Mulțimea numerelor complexe este $\mathbb{C}=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{R}\}$. Numerele reale sunt cele cu $b=0$, deci $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$; numerele cu $a=0$ și $b\ne 0$ se numesc pur imaginare. Ecuația $x^2+4=0$ nu are soluții reale, dar în $\mathbb{C}$ are soluțiile $2i$ și $-2i$.

Egalitatea se verifică separat pe componente: $a+bi=c+di$ dacă și numai dacă $a=c$ și $b=d$. Astfel, numărul $z=a+bi$ se identifică cu perechea $(a;b)$, iar mulțimea $\mathbb{C}$ cu un plan întreg, nu cu o dreaptă ca $\mathbb{R}$; adunarea numerelor complexe corespunde adunării perechilor, ca la vectori. Planul complex asociază numărului $z=a+bi$ punctul $M(a;b)$; axa orizontală este axa reală, iar cea verticală axa imaginară. Numerele reale sunt reprezentate pe axa orizontală, iar cele pur imaginare nenule pe axa verticală, în afara originii. Puterile lui $i$ se repetă cu perioada $4$: $i^{4k}=1$, $i^{4k+1}=i$, $i^{4k+2}=-1$, $i^{4k+3}=-i$, pentru $k\in \mathbb{N}$. Aceste relații se obțin din $i^4=1$. Orice patru puteri consecutive ale lui $i$ au suma $0$: $i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=i^n(1+i-1-i)=0$.

Mulțimea $\mathbb{C}$ nu se poate ordona compatibil cu operațiile. Dacă am avea $i>0$, ar rezulta $i^2>0$, adică $-1>0$, fals; dacă am avea $i<0$, ar rezulta $-i>0$ și $(-i{)}^2>0$, adică din nou $-1>0$. De aceea numerele care nu sunt reale nu se compară, iar scrierea $z_1<z_2$ are sens numai pentru numere reale. Egalitatea componentelor rămâne criteriul complet de identificare a două numere complexe.

Exemplu rezolvat. Determinăm $a,b\in \mathbb{R}$ din $(a-1)+(2b+3)i=4-5i$ și reprezentăm rezultatul.

1. Egalăm părțile reale: $a-1=4$, deci $a=5$.
2. Egalăm părțile imaginare: $2b+3=-5$, deci $b=-4$.
3. Numărul comun este $4-5i$, reprezentat prin punctul $M(4;-5)$, în cadranul IV.
4. Ca aplicație a ciclului puterilor, $2026=4\cdot 506+2$ dă $i^{2026}=-1$.

Exemplu rezolvat. Clasificăm numerele $7$, $-2i$, $1-i$, $i^3$ și $i^{15}$ și precizăm părțile lor.

1. $7=7+0i$ este real: partea reală $7$, partea imaginară $0$, punctul $M(7;0)$ pe axa reală.
2. $-2i=0+(-2)i$ este pur imaginar: partea reală $0$, partea imaginară $-2$, punctul $M(0;-2)$ pe axa imaginară.
3. $1-i$ nu este nici real, nici pur imaginar: partea reală $1$, partea imaginară $-1$, punctul $M(1;-1)$ în cadranul IV.
4. $i^3=i^2\cdot i=-i$ și $i^{15}$ cu $15=4\cdot 3+3$ dă tot $-i$, deci cele două numere sunt egale.

Exemplu rezolvat. Calculăm $S=1+i+i^2+\dots +i^{2026}$.

1. Suma are $2027$ de termeni, de la $i^0$ la $i^{2026}$.
2. Primii $2024$, de la $i^0$ la $i^{2023}$, se grupează câte patru; fiecare dintre cele $506$ grupe are suma $0$.
3. Rămân termenii $i^{2024}+i^{2025}+i^{2026}=1+i-1=i$.
4. Deci $S=i$.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm în $\mathbb{C}$ ecuația $z^2+2z+5=0$. Discriminantul este $\Delta =4-20=-16<0$, iar $\sqrt{-16}$ se înlocuiește cu $\pm 4i$, fiindcă $(4i{)}^2=-16$. Rădăcinile sunt $z_{1,2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$. Verificare pentru $z=-1+2i$: $z^2=1-4i+4i^2=-3-4i$, $2z=-2+4i$, deci $z^2+2z+5=-3-4i-2+4i+5=0$.

La admitere, itemii despre numere complexe cer, de obicei, anularea părții reale sau imaginare, puterile lui $i$ sau egalitatea pe componente. Condițiile „real”, „pur imaginar” și „nenul” se verifică pe rând.

Problemă. Pentru ce valori reale ale lui $t$ numărul $z=(t^2-t-6)+(t^2-9)i$ este real nenul?

• a) $3$
• b) $-3$
• c) $\pm 3$
• d) $-2$
• e) $2$
• f) nu există nicio valoare

Rezolvare. Numărul este real dacă partea imaginară este nulă: $t^2-9=0$, deci $t=3$ sau $t=-3$. Nenul înseamnă și $t^2-t-6\ne 0$. Pentru $t=3$ avem $9-3-6=0$, deci $z=0$. Pentru $t=-3$ avem $9+3-6=6$, deci $z=6$. Singura valoare este $t=-3$, răspunsul b). Varianta a) dă $z=0$, care este real, dar nul. Varianta c) păstrează ambele rădăcini ale părții imaginare, fără condiția de nenulitate. Varianta d) rezolvă $t^2-t-6=0$ pentru partea reală; pentru $t=-2$ numărul este $z=-5i$, pur imaginar. Varianta e) nu anulează nicio parte, deoarece $z=-4-5i$. Varianta f) apare la cine verifică numai $t=3$ și crede că și $t=-3$ cade.

Alt exemplu. Determinăm $m\in \mathbb{R}$ pentru care $z=(m-1)+(m+2)i$ este pur imaginar. Partea reală trebuie să fie nulă: $m-1=0$, deci $m=1$; atunci partea imaginară este $3\ne 0$, deci $z=3i$ este într-adevăr pur imaginar. Dacă s-ar fi cerut număr real, s-ar fi anulat partea imaginară, $m+2=0$, adică $m=-2$.

Alt exemplu. Calculăm $i+i^2+i^3+\dots +i^{100}$. Cei $100$ de termeni formează $25$ de grupe de câte patru, fiecare cu suma $0$, deci suma este $0$. Eroarea frecventă este $i^{100}=i$; de fapt $100=4\cdot 25$, deci $i^{100}=1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: partea imaginară a lui $-3+4i$ este $4i$.
  Corect: partea imaginară este $4$.
• Greșit: $i^6=i^2\cdot i^4=i$.
  Corect: $i^4=1$, deci $i^6=i^2=-1$.
• Greșit: numărul $3$ nu este complex, fiindcă nu conține pe $i$.
  Corect: $3=3+0i$, deci orice număr real este și număr complex.
• Greșit: $i>0$, deci $i^2>0$.
  Corect: numerele complexe nereale nu se compară; $i^2=-1$ este negativ.

Înainte și după

Întrebări frecvente