Ecuații algebrice

O ecuație algebrică polinomială are forma $P(x)=0$. Rezolvarea înseamnă găsirea rădăcinilor din mulțimea cerută, care poate fi $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sau ${\mathbb{Z}}_p$. Factorizarea transformă ecuația într-un produs egal cu zero, iar fiecare factor se tratează separat. Același polinom poate avea soluții într-o mulțime și nu în alta: $x^2+1=0$ nu are soluții reale, dar are soluțiile $\pm i$ în $\mathbb{C}$. Ecuațiile bipătrate, reciproce și binome au lecții proprii; lecția de față dă metodele generale.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $x^3-4x=0$ în $\mathbb{R}$.

1. Scoatem factor comun: $x(x^2-4)=0$.
2. Folosim diferența de pătrate: $x(x-2)(x+2)=0$.
3. Soluțiile sunt $x\in \{-2;0;2\}$; toate se verifică în ecuația inițială.

Pentru gradul doi se folosește discriminantul sau factorizarea; pentru grade mai mari se caută factori, substituții și relații între rădăcini și coeficienți. Dacă împărțim ecuația la o expresie cu $x$, trebuie să tratăm separat valorile care o anulează, altfel putem pierde soluții.

O ecuație polinomială de grad $n\ge 1$ are în $\mathbb{C}$ exact $n$ rădăcini, numărate cu multiplicitate. Dacă polinomul are coeficienți reali și $z$ este rădăcină nereală, atunci și conjugatul $\bar{z}$ este rădăcină. De exemplu, $x^2-2x+2=0$ are rădăcinile $1+i$ și $1-i$, iar $x^2-2x+2=(x-1-i)(x-1+i)$. Dacă $P$ are coeficienți raționali și $a+b\sqrt{d}$, cu $d>0$ nepătrat perfect, este rădăcină, atunci și $a-b\sqrt{d}$ este rădăcină. Rădăcinile nereale vin în perechi conjugate, deci numărul rădăcinilor reale, numărate cu multiplicitate, are aceeași paritate cu $n$; în particular, o ecuație reală de grad impar are cel puțin o soluție reală. Ecuațiile binome $x^n=a$ sunt tema lecției Rădăcinile complexe ale unității.

Când gradul este cel puțin trei, se caută o rădăcină, se scoate factorul $x-a$ prin Horner și se rezolvă ecuația de grad mai mic. Dacă ecuația are coeficienți întregi, o rădăcină rațională $\frac{p}{q}$, cu fracția ireductibilă, are $p$ divizor al termenului liber și $q$ divizor al coeficientului dominant. Pentru coeficientul dominant $1$, rădăcinile raționale sunt întregi. Dacă se cunosc deja unele soluții, celelalte rezultă din relațiile lui Viète (lecția cu acest nume): pentru $x^3-6x^2+11x-6=0$ cu soluțiile $1$ și $2$, a treia se află din suma soluțiilor, $x_3=6-1-2=3$.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm în $\mathbb{R}$ ecuația $2x^3+x^2-13x+6=0$.

1. Candidații $\frac{p}{q}$ au $p\in \{\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 6\}$ și $q\in \{1;2\}$.
2. Încercăm $x=2$: $16+4-26+6=0$, deci $2$ este rădăcină.
3. Horner pe coeficienții $2;1;-13;6$ cu $a=2$ dă $2;5;-3;0$, deci ecuația devine $(x-2)(2x^2+5x-3)=0$.
4. Pentru $2x^2+5x-3=0$, $\Delta =25+24=49$ și $x=\frac{-5\pm 7}{4}$, adică $\frac{1}{2}$ și $-3$.
5. Soluțiile sunt $x\in \left\{-3;\frac{1}{2};2\right\}$.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-2x^3+3x^2-2x+2=0$, știind că $i$ este soluție.

1. Coeficienții sunt reali, deci și $-i$ este soluție.
2. Produsul $(x-i)(x+i)=x^2+1$ divide polinomul, iar împărțirea dă câtul $x^2-2x+2$.
3. Din $x^2-2x+2=0$ rezultă $x=1\pm i$.
4. Cele patru soluții sunt $i;-i;1+i;1-i$, toate nereale; în $\mathbb{R}$ ecuația nu are soluții.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm în $\mathbb{R}$ ecuația $(x^2+x{)}^2-8(x^2+x)+12=0$, care are gradul patru.

1. Notăm $y=x^2+x$ și obținem $y^2-8y+12=0$, cu $\Delta =64-48=16$.
2. Rezultă $y=\frac{8\pm 4}{2}$, adică $y=2$ sau $y=6$.
3. Din $x^2+x-2=0$ obținem $x=1$ sau $x=-2$.
4. Din $x^2+x-6=0$ obținem $x=2$ sau $x=-3$.
5. Soluțiile sunt $x\in \{-3;-2;1;2\}$; pentru $x=2$ avem $(4+2{)}^2-8\cdot 6+12=36-48+12=0$.

În ${\mathbb{Z}}_p$ rezolvarea se face prin încercarea celor $p$ clase. În ${\mathbb{Z}}_5$, ecuația $x^3+4x=0$ se scrie $x(x^2+4)=x(x-1)(x+1)=0$, deoarece $4=-1$; soluțiile sunt $0;1;4$. Valorile în $2$ și în $3$ sunt $2^3+8=16=1$ și $3^3+12=39=4$, nenule.

La ecuațiile cu parametru, se examinează întâi cazurile în care gradul scade prin anularea coeficientului dominant. Dacă se cere un număr precis de rădăcini reale, se combină factorii cu semnul discriminantului. La ecuațiile cu coeficienți întregi, se încearcă întâi candidații raționali, apoi se coboară gradul prin Horner.

Problemă. Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $2x^3-3x^2-3x+2=0$ este:

• a) $\{-1;1;2\}$
• b) $\left\{-2;-\frac{1}{2};1\right\}$
• c) $\{-1;2\}$
• d) $\left\{-1;\frac{1}{2};2\right\}$
• e) $\{-2;1;2\}$
• f) $\left\{-1;\frac{1}{2}\right\}$

Rezolvare. Pentru $x=2$ obținem $16-12-6+2=0$. Horner pe $2;-3;-3;2$ cu $a=2$ dă $2;1;-1;0$, deci ecuația este $(x-2)(2x^2+x-1)=0$. Din $2x^2+x-1=0$, cu $\Delta =1+8=9$, rezultă $x=\frac{-1\pm 3}{4}$, adică $\frac{1}{2}$ și $-1$. Răspunsul corect este d). Varianta a) citește factorul $2x-1$ ca $x-1$. Varianta b) schimbă semnul tuturor soluțiilor. Varianta c) omite factorul $2x-1$. Varianta e) împarte la $2$ în loc de $4$ în formula soluțiilor: $\frac{-1\pm 3}{2}$ dă $1$ și $-2$. Varianta f) pierde soluția $2$, cu care a început descompunerea.

Alt exemplu. Discutăm numărul soluțiilor reale ale ecuației $(m-1)x^2-2x+1=0$. Pentru $m=1$ ecuația este de gradul întâi, $-2x+1=0$, cu soluția unică $x=\frac{1}{2}$. Pentru $m\ne 1$, discriminantul este $\Delta =4-4(m-1)=4(2-m)$. Dacă $m<2$ și $m\ne 1$, sunt două soluții reale distincte; pentru $m=2$ soluția dublă este $x=1$; pentru $m>2$ nu există soluții reale.

Alt exemplu. Ecuația $x^4-x^3-x+1=0$ se rezolvă prin grupare: $x^3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^3-1)=(x-1{)}^2(x^2+x+1)$. Factorul $x^2+x+1$ are $\Delta =-3<0$. În $\mathbb{R}$ singura soluție este $x=1$, dublă; în $\mathbb{C}$ se adaugă $\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: din $x(x-2)=0$ rezultă numai $x=2$.
  Corect: și $x=0$ este soluție.
• Greșit: împărțirea la $x$ păstrează toate soluțiile.
  Corect: poate elimina soluția $x=0$.
• Greșit: soluțiile complexe se raportează când se cere rezolvare în $\mathbb{R}$.
  Corect: se respectă mulțimea cerută.
• Greșit: dacă $i$ este rădăcină a unui polinom cu coeficienți complecși oarecare, atunci și $-i$ este rădăcină.
  Corect: perechea conjugată apare numai când toți coeficienții sunt reali.
• Greșit: în $\mathbb{C}$, ecuația $x^3-1=0$ are o singură soluție, $x=1$.
  Corect: are trei soluții, $1$ și $\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$; numai $1$ este reală.

Înainte și după