Polinoame — introducere

Un polinom în $X$ cu coeficienți într-un corp $K$ (de exemplu $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ sau ${\mathbb{Z}}_p$, cu $p$ prim) este o sumă finită $a_0+a_{1}X+\cdots +a_n{X}^n$, cu exponenți întregi nenegativi. Mulțimea acestor polinoame se notează $K[X]$. Gradul unui polinom nenul este cel mai mare exponent cu coeficient nenul. Pentru $P(X)=2X^3-X+5$ avem $\mathrm{deg}P=3$, coeficientul conducător $2$, termenul liber $5$, iar coeficienții, în ordinea descrescătoare a puterilor, sunt $2;0;-1;5$. Evaluarea în $a$ dă numărul $P(a)$: pentru $X=2$, $P(2)=2\cdot 8-2+5=19$. Un număr $a$ cu $P(a)=0$ este rădăcină a polinomului. Două citiri rapide: $P(0)$ este termenul liber, iar $P(1)$ este suma coeficienților.

Coeficienții, variabila formală și valorile obținute prin evaluare sunt obiecte diferite. Două polinoame sunt egale dacă și numai dacă coeficienții termenilor de același grad coincid, inclusiv coeficienții nuli ai termenilor absenți; pe această regulă se bazează metoda coeficienților nedeterminați. Egalitatea valorilor într-un singur punct nu dovedește identitatea polinoamelor. Peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$, două polinoame de grad cel mult $n$ cu aceleași valori în $n+1$ puncte distincte sunt egale, pentru că diferența lor ar avea mai multe rădăcini decât gradul. Un polinom constant nenul are gradul $0$, iar polinomului nul nu i se atribuie un grad finit. Pentru $P,Q$ nenule, $\mathrm{deg}(P+Q)\le \max (\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q)$, cu inegalitate strictă atunci când termenii conducători se reduc: $(X^3+X)+(-X^3+2)=X+2$. Peste un corp, $\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q$. Evaluarea respectă operațiile: $(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$ și $(PQ)(a)=P(a)Q(a)$.

Funcția polinomială asociată lui $P$ duce fiecare $a$ în $P(a)$. Peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$, polinoamele diferite definesc funcții diferite. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ lucrurile stau altfel: în ${\mathbb{Z}}_2[X]$ polinoamele $X^2+X$ și $0$ sunt diferite, dar $0^2+0=0$ și $1^2+1=2=0$, deci definesc aceeași funcție. În ${\mathbb{Z}}_p$ coeficienții și valorile se calculează modulo $p$.

Produsul păstrează informații despre capetele polinoamelor: coeficientul conducător al lui $PQ$ este produsul coeficienților conducători, iar termenul liber este produsul termenilor liberi, adică $(PQ)(0)=P(0)Q(0)$. Când o relație leagă mai multe valori ale unui polinom, gradul se află comparând gradele celor două părți. Dacă $P\in \mathbb{R}[X]$ și $\mathrm{deg}P=n\ge 1$, polinomul $P(X+1)-P(X)$ are gradul $n-1$, deoarece termenii $X^n$ se reduc, iar $n{X}^{n-1}$ rămâne cu coeficientul $n$ înmulțit cu coeficientul conducător al lui $P$. Un polinom de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini în corpul coeficienților; detaliile sunt în lecția Rădăcinile polinoamelor.

Exemplu rezolvat. Determinăm gradul lui $P_t(X)=(t-1)X^3+(t+2)X+4$.

1. Dacă $t\ne 1$, coeficientul cubului este nenul, deci $\mathrm{deg}{P}_t=3$.
2. Dacă $t=1$, termenul cubic dispare și rămâne $3X+4$, deci $\mathrm{deg}{P}_t=1$.
3. Nu există caz de grad zero: anularea simultană a coeficienților cubului și termenului liniar ar cere $t=1$ și $t=-2$.
4. Termenul liber este $4\ne 0$ în toate cazurile, deci polinomul nu devine niciodată nul.

Exemplu rezolvat. Pentru $P(X)=(X^2-X+1{)}^3$ aflăm suma coeficienților și suma coeficienților termenilor de grad par.

1. Suma coeficienților este $P(1)=1^3=1$.
2. Pentru $X=-1$ obținem $P(-1)=(1+1+1{)}^3=27$.
3. Fie $S_p$ suma coeficienților de grad par și $S_i$ a celor de grad impar. Atunci $S_p+S_i=P(1)=1$ și $S_p-S_i=P(-1)=27$.
4. Rezultă $S_p=14$ și $S_i=-13$.

Exemplu rezolvat. Căutăm rădăcinile lui $P(X)=X^2+3X+2$ în ${\mathbb{Z}}_5$, încercând pe rând clasele $0;1;2;3;4$.

1. $P(0)=2$, $P(1)=6=1$, $P(2)=12=2$.
2. $P(3)=20=0$ și $P(4)=30=0$.
3. Rădăcinile sunt $3$ și $4$, iar $(X-3)(X-4)=X^2-7X+12=X^2+3X+2$ în ${\mathbb{Z}}_5[X]$.

Exemplu rezolvat. Aflăm polinoamele $P\in \mathbb{R}[X]$ cu $P(X+1)-P(X)=2X+1$.

1. Membrul drept are gradul $1$, deci $\mathrm{deg}P=2$ și $P=a{X}^2+bX+c$ cu $a\ne 0$.
2. $P(X+1)-P(X)=a(2X+1)+b=2aX+a+b$.
3. Comparăm coeficienții: $2a=2$ și $a+b=1$, deci $a=1$ și $b=0$.
4. Soluțiile sunt $P=X^2+c$, cu $c\in \mathbb{R}$ oarecare.

Schema lui Horner pentru $f(X)=2X^3-3X^2+4X-5$, evaluat în $a=2$:

La subiectele cu polinoame, trei valori ale lui $P$ rezolvă adesea problema fără calcul lung: $P(0)$ este termenul liber, $P(1)$ este suma coeficienților, iar $P(1)$ și $P(-1)$ împreună dau sumele coeficienților de grad par și impar. Dacă apare un parametru în coeficientul conducător, gradul se discută pe cazuri.

Problemă. Dacă $P(X)=(X^2-3X+1{)}^5$, suma coeficienților lui $P$ este:

• a) $1$
• b) $-32$
• c) $-1$
• d) $3125$
• e) $10$
• f) $-5$

Rezolvare. Suma coeficienților este $P(1)=(1-3+1{)}^5=(-1{)}^5=-1$. Răspunsul corect este c). Varianta a) este termenul liber $P(0)=1$. Varianta b) omite termenul liber din paranteză: $(1-3{)}^5$. Varianta d) ignoră semnele: $(1+3+1{)}^5$. Varianta e) este gradul polinomului. Varianta f) înmulțește cu $5$ în loc să ridice la puterea a cincea: $5\cdot (-1)$.

Alt exemplu. Determinăm $a,b$ din identitatea $(X+a)(X+b)=X^2-5X+6$. Dezvoltarea dă $X^2+(a+b)X+ab$. Comparând coeficienții, obținem $a+b=-5$ și $ab=6$. Valorile sunt $-2$ și $-3$, în ambele ordini. Verificarea: $(X-2)(X-3)=X^2-5X+6$.

Alt exemplu. Polinomul $(m^2-4)X^3+(m+2)X^2+1$ are gradul $2$ dacă și numai dacă $m^2-4=0$ și $m+2\ne 0$. Din prima condiție, $m=\pm 2$. Pentru $m=-2$ ambii coeficienți se anulează și rămâne polinomul constant $1$, de grad $0$. Pentru $m=2$ obținem $4X^2+1$, deci $m=2$.

Alt exemplu. Aflăm polinomul de gradul doi $P=a{X}^2+bX+c$ cu $P(0)=1$, $P(1)=3$ și $P(2)=7$. Din $P(0)=c$ rezultă $c=1$. Condiția $P(1)=3$ dă $a+b=2$, iar $P(2)=7$ dă $4a+2b=6$, adică $2a+b=3$. Scăzând, $a=1$, apoi $b=1$. Polinomul este $X^2+X+1$, iar verificarea $P(2)=4+2+1=7$ se potrivește.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\mathrm{deg}(7X^2+100)=100$.
  Corect: cel mai mare exponent al variabilei este $2$, deci gradul este $2$.
• Greșit: $P(0)=Q(0)$ implică $P=Q$.
  Corect: $P=X$ și $Q=2X$ au aceeași valoare în zero, dar coeficienți diferiți.
• Greșit: suma coeficienților lui $P$ este $P(0)$.
  Corect: $P(0)$ este termenul liber; suma coeficienților este $P(1)$.
• Greșit: în ${\mathbb{Z}}_2[X]$, $X^2+X=0$, pentru că ambele dau aceeași valoare în $0$ și în $1$.
  Corect: polinoamele sunt diferite, fiindcă au coeficienți diferiți; doar funcțiile polinomiale coincid.

Înainte și după

Întrebări frecvente