Forma trigonometrică a numerelor complexe

Pentru $z\ne 0$, forma trigonometrică este $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$, unde $r=|z|>0$ și $\theta$ este un argument al lui $z$. Ea corespunde punctului de la distanța $r$ de origine și cu direcția $\theta$. Argumentele aceluiași număr diferă cu $2k\pi$.

Exemplu rezolvat. Scriem $z=1+i$ în formă trigonometrică.

1. Modulul este $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
2. Punctul este în cadranul I, cu $\cos \theta =\sin \theta =1/\sqrt{2}$, deci $\theta =\pi /4$.
3. $z=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})$.

La înmulțire, modulele se înmulțesc și argumentele se adună: $r_1{r}_2[\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)]$. La împărțire, modulele se împart și argumentele se scad. Formula lui de Moivre este $z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$ pentru $n\in \mathbb{Z}$ când expresia este definită.

Formula lui Moivre este $(\cos t+i\sin t{)}^n=\cos nt+i\sin nt$. Deoarece $1+i=\sqrt{2}(\cos (\pi /4)+i\sin (\pi /4))$, rezultă $(1+i{)}^8=(\sqrt{2}{)}^8(\cos 2\pi +i\sin 2\pi )=16$. Argumentul redus $\arg z$ este unicul argument din $[0;2\pi )$.

Pentru $z=a+bi\ne 0$, modulul este $r=\sqrt{a^2+b^2}$, iar un argument $\theta$ satisface $\cos \theta =a/r$, $\sin \theta =b/r$. Argumentele diferă prin multipli întregi de $2\pi$. Exemplu rezolvat. Numărul $z=-1+i$ are modulul $\sqrt{2}$ și este în cadranul al II-lea, deci putem lua $\theta =3\pi /4$. Forma trigonometrică este $\sqrt{2}(\cos (3\pi /4)+i\sin (3\pi /4))$. Pătratul lui are modulul $2$ și argumentul $3\pi /2$; obținem $z^2=-2i$, confirmat și algebric prin $(-1+i{)}^2=-2i$.

Două numere scrise în formă trigonometrică sunt egale dacă și numai dacă au același modul și argumentele diferă printr-un multiplu întreg de $2\pi$. Alegerea formei depinde de operație: adunarea și scăderea sunt comode în forma algebrică, în care se adună părțile corespunzătoare, iar înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere sunt comode în forma trigonometrică, în care se compun doar modulele și argumentele.

Trecerea inversă, de la forma trigonometrică la cea algebrică, folosește $a=r\cos \theta$ și $b=r\sin \theta$. De exemplu, $4\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)=4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i=-2+2\sqrt{3}i$. Conjugatul păstrează modulul și schimbă semnul argumentului: $\bar{z}=r(\cos (-\theta )+i\sin (-\theta ))$. Înmulțirea cu $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$ adaugă $\frac{\pi }{2}$ argumentului, deci rotește punctul cu un unghi drept în sens trigonometric în jurul originii.

Argumentul se alege după cadranul punctului $M(a;b)$. Pentru $a>0$ se poate folosi $\theta =\mathrm{arctg}\frac{b}{a}$ (cadranele I și IV); pentru $a<0$ (cadranele II și III) se adaugă $\pi$: $\theta =\pi +\mathrm{arctg}\frac{b}{a}$. Numerele reale pozitive au argumentul $0$, cele reale negative $\pi$, iar $bi$ cu $b>0$ are argumentul $\frac{\pi }{2}$, iar cu $b<0$ are $\frac{3\pi }{2}$.

Exemplu rezolvat. Scriem $z=-\sqrt{3}+i$ în formă trigonometrică.

1. Modulul este $r=\sqrt{3+1}=2$.
2. Avem $\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \theta =\frac{1}{2}$, deci punctul este în cadranul al II-lea.
3. Rezultă $\theta =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$.
4. $z=2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)$. Verificare: $2\cos \frac{5\pi }{6}=-\sqrt{3}$ și $2\sin \frac{5\pi }{6}=1$.

Exemplu rezolvat. Fie $z_1=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ și $z_2=3\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$. Produsul are modulul $2\cdot 3=6$ și argumentul $\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$, deci $z_1{z}_2=6\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=6i$. Câtul $\frac{z_1}{z_2}$ are modulul $\frac{2}{3}$ și argumentul $\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$.

Formula lui Moivre are și o utilizare în trigonometrie: pentru $n=2$, egalitatea $(\cos t+i\sin t{)}^2=\cos 2t+i\sin 2t$ și dezvoltarea $(\cos t+i\sin t{)}^2={\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t+2i\sin t\cos t$ dau, prin egalarea părților reale și imaginare, $\cos 2t={\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t$ și $\sin 2t=2\sin t\cos t$.

Exemplu rezolvat. Calculăm câtul $\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$ în formă trigonometrică.

1. Avem $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$ și $\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$.
2. Modulul câtului este $\frac{\sqrt{2}}{2}$, iar argumentul este $\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}$.
3. Verificare algebrică: $\frac{(1+i)(\sqrt{3}-i)}{4}=\frac{\sqrt{3}+1}{4}+\frac{\sqrt{3}-1}{4}i$, al cărui modul este $\sqrt{\frac{8}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Exemplu rezolvat. Scriem $z=1-\sqrt{3}i$ în formă trigonometrică.

1. Modulul este $r=\sqrt{1+3}=2$.
2. Avem $\cos \theta =\frac{1}{2}$ și $\sin \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci punctul este în cadranul IV.
3. Argumentul din $[0;2\pi )$ este $\theta =\frac{5\pi }{3}$ (echivalent, $-\frac{\pi }{3}$).
4. $z=2\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)$.

Exemplu rezolvat. Calculăm $(1-i{)}^{12}$.

1. Numărul $1-i$ are modulul $\sqrt{2}$ și, fiind în cadranul IV, argumentul $\frac{7\pi }{4}$ (sau $-\frac{\pi }{4}$).
2. Atunci $(1-i{)}^{12}=(\sqrt{2}{)}^{12}\left(\cos 21\pi +i\sin 21\pi \right)=64(-1+0\cdot i)=-64$.
3. Verificare algebrică: $(1-i{)}^2=-2i$, deci $(1-i{)}^{12}=(-2i{)}^6=64i^6=-64$.

Exemplu rezolvat. Calculăm ${\left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)}^{2026}$. Numărul $\frac{\sqrt{3}+i}{2}$ are modulul $1$ și argumentul $\frac{\pi }{6}$. Puterea are modulul $1$ și argumentul $\frac{2026\pi }{6}=\frac{1013\pi }{3}=337\pi +\frac{2\pi }{3}$. Cum $337$ este impar, adăugarea lui $337\pi$ schimbă semnul ambelor funcții: $\cos \left(337\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=-\cos \frac{2\pi }{3}=\frac{1}{2}$ și $\sin \left(337\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=-\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Rezultatul este $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Rădăcinile de ordin $n$. Rădăcinile ecuației $w^n=z$, cu $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$, se obțin împărțind argumentele $\theta +2k\pi$ la $n$: $w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\theta +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\theta +2k\pi }{n}\right)$, cu $k\in \{0;1;\dots ;n-1\}$. Sunt $n$ rădăcini distincte, toate cu același modul.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm ecuația $z^3=8$.

1. Scriem $8=8(\cos 0+i\sin 0)$, deci modulele rădăcinilor sunt $\sqrt[3]{8}=2$, iar argumentele sunt $\frac{2k\pi }{3}$, cu $k\in \{0;1;2\}$.
2. Rădăcinile sunt $2$, $2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)=-1+i\sqrt{3}$ și $2\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)=-1-i\sqrt{3}$.
3. Verificare: $(-1+i\sqrt{3}{)}^2=-2-2i\sqrt{3}$, iar $(-2-2i\sqrt{3})(-1+i\sqrt{3})=2-2i\sqrt{3}+2i\sqrt{3}+6=8$.

Greșeli frecvente

• Greșit: argumentul este unic ca număr real.
  Corect: se pot adăuga multipli de $2\pi$.
• Greșit: la produs se adună modulele.
  Corect: se înmulțesc.
• Greșit: pentru $z=0$ se alege un argument obișnuit.
  Corect: argumentul lui $0$ nu este definit.
• Greșit: pentru $z=-1+i$, argumentul este $\mathrm{arctg}(-1)=-\frac{\pi }{4}$, fără alte precizări.
  Corect: punctul este în cadranul al II-lea, deci $\theta =\pi +\mathrm{arctg}(-1)=\frac{3\pi }{4}$; formula cu $\mathrm{arctg}$ singur este valabilă numai pentru $a>0$.
• Greșit: $-2(\cos \theta +i\sin \theta )$ este o formă trigonometrică cu modulul $-2$.
  Corect: modulul este pozitiv; scrii $2(\cos (\theta +\pi )+i\sin (\theta +\pi ))$.

Înainte și după