Înmulțirea matricelor

Produsul $AB$ există numai când $A$ are atâtea coloane câte linii are $B$, iar elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ se obține înmulțind linia $i$ a lui $A$ cu coloana $j$ a lui $B$ și adunând produsele. În general, $AB\ne BA$.

Verifici întâi dimensiunile

Scrii tipurile una lângă alta: $(m\times n)\cdot (n\times p)$. Numerele din mijloc trebuie să fie egale; cele de la capete dau tipul produsului, $m\times p$. De exemplu, o matrice $2\times 3$ se poate înmulți cu una $3\times 1$ și rezultatul este $2\times 1$. În ordine inversă, $(3\times 1)\cdot (2\times 3)$, produsul nu există.

Regula linie × coloană

Pentru elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ a produsului, iei linia $i$ a primei matrice și coloana $j$ a celei de-a doua, înmulțești primul element cu primul, al doilea cu al doilea și așa mai departe, apoi aduni. La ordinul 2:

Un mod sigur de lucru: completezi produsul element cu element, cu degetul pe o linie a primei matrice și pe o coloană a celei de-a doua.

Proprietățile, și ce lipsește

Înmulțirea matricelor pătratice de același ordin este asociativă, distributivă față de adunare și are element neutru, matricea unitate $I_n$. Două proprietăți ale numerelor nu se păstrează:

• Comutativitatea: în general $AB\ne BA$, deci ordinea factorilor contează (exemplul 1). De aceea $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$, care este egal cu $A^2+2AB+B^2$ numai dacă $AB=BA$.
• Regula produsului nul: $AB=O$ nu înseamnă că $A=O$ sau $B=O$ (exemplul 3).

Puterile unei matrice

Pentru o matrice pătratică, $A^2=A\cdot A$, $A^3=A^2\cdot A$ și așa mai departe. Ca să afli $A^n$ pentru orice $n$:

1. calculezi $A^2$, $A^3$, poate și $A^4$;
2. ghicești forma generală din primele puteri;
3. o demonstrezi prin inducție matematică: verifici pentru $n=1$, apoi arăți că din forma pentru $A^n$ rezultă forma pentru $A^{n+1}=A^n\cdot A$.

Exemplu rezolvat. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$ obții $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 9& 1\end{array}\right)$, de unde $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3n& 1\end{array}\right)$.

Produsul de trei matrice

Pentru $ABC$, tipurile se înlănțuie: $(m\times n)\cdot (n\times p)\cdot (p\times q)$ dă o matrice de tip $m\times q$. De exemplu, $(2\times 3)\cdot (3\times 4)\cdot (4\times 1)$ dă o matrice $2\times 1$. Din asociativitate, rezultatul nu depinde de grupare: $(AB)C=A(BC)$. Poți alege deci gruparea cu calculele mai simple, de pildă pe cea în care apare o matrice cu multe zerouri. Ordinea factorilor rămâne însă aceeași, pentru că produsul nu este comutativ.

Sistemul scris ca produs de matrice

Exemplu rezolvat. Sistemul $x+2y=5$, $3x-y=1$ se scrie $AX=B$, cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$. Produsul $AX$ are pe prima linie $x+2y$ și pe a doua $3x-y$; egalitatea cu $B$ dă înapoi cele două ecuații. Pentru $x=1$ și $y=2$ obții $AX=\left(\begin{array}{c}1+4\\ 3-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$, deci perechea $(1,2)$ este soluție.

Matricele care comută cu o matrice dată

Cerința „află matricele care comută cu $A$” se rezolvă scriind $AB=BA$ pentru o matrice $B$ cu elemente necunoscute. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, obții $AB=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ c& d\end{array}\right)$ și $BA=\left(\begin{array}{cc}a& a+b\\ c& c+d\end{array}\right)$. Egalitatea cere $c=0$ și $d=a$, deci $B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$, cu $a,b$ numere reale oarecare. Orice putere a lui $A$ comută cu $A$, fiindcă $A^n\cdot A=A\cdot A^n=A^{n+1}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: produsul în ambele ordini

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 2& 1\end{array}\right)$. Calculează $AB$ și $BA$.

1. Linia 1 a lui $A$ cu coloanele lui $B$: $1\cdot 0+2\cdot 2=4$ și $1\cdot 4+2\cdot 1=6$.
2. Linia 2 a lui $A$ cu coloanele lui $B$: $3\cdot 0+(-1)\cdot 2=-2$ și $3\cdot 4+(-1)\cdot 1=11$.
3. $AB=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -2& 11\end{array}\right)$.
4. La fel, $BA=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 1+4\cdot 3& 0\cdot 2+4\cdot (-1)\\ 2\cdot 1+1\cdot 3& 2\cdot 2+1\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}12& -4\\ 5& 3\end{array}\right)$.

Cele două produse sunt diferite: $AB\ne BA$.

Exemplul 2: matrice de tipuri diferite

Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 4\end{array}\right)$. Calculează $AB$ și spune dacă există $BA$.

1. $A$ este de tip $2\times 3$, iar $B$ de tip $3\times 1$, deci $AB$ există și este de tip $2\times 1$.
2. Prima linie: $2\cdot 1+0\cdot (-2)+(-1)\cdot 4=-2$. A doua linie: $1\cdot 1+3\cdot (-2)+2\cdot 4=3$.
3. $AB=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$.
4. $BA$ ar însemna $(3\times 1)\cdot (2\times 3)$: $1\ne 2$, deci $BA$ nu există.

Exemplul 3: un produs nul

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$. Calculează $AB$.

1. Fiecare element al produsului este de forma $1\cdot 1+(-1)\cdot 1=0$ sau $(-1)\cdot 1+1\cdot 1=0$.
2. $AB=O_2$, deși nici $A$, nici $B$ nu este matricea nulă.

Exemplul 4: o matrice care nu se schimbă la ridicarea la putere

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right)$. Calculează $A^2$, apoi $A^{2026}$.

1. $A^2=\left(\begin{array}{cc}9-6& -18+12\\ 3-2& -6+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right)=A$.
2. Atunci $A^3=A^2\cdot A=A\cdot A=A$ și, din aproape în aproape, $A^n=A$ pentru orice $n\ge 1$.
3. $A^{2026}=A$.

Exemplul 5: nivel de examen, puterea a n-a

Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. Arată că $A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{n(n-1)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ pentru orice $n\ge 1$.

1. Pentru $n=1$: $\frac{1\cdot 0}{2}=0$, deci formula dă chiar $A$.
2. Presupui formula adevărată pentru $n$ și calculezi $A^{n+1}=A^n\cdot A$. Prima linie a lui $A^n$ înmulțită cu coloanele lui $A$ dă $1$, $1+n$ și $n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{(n+1)n}{2}$.
3. A doua linie dă $0$, $1$ și $n+1$, iar a treia linie dă $0$, $0$, $1$.
4. Obții exact formula pentru $n+1$, deci, prin inducție, formula este adevărată pentru orice $n\ge 1$.

Verificare: pentru $n=10$, elementul din colțul dreapta-sus este $\frac{10\cdot 9}{2}=45$, ca la calculul direct al lui $A^{10}$.

În formatul examenului de admitere, un item despre produsul matricelor poate cere matricea completă, un singur element sau o proprietate a produsului. Verifici mai întâi tipurile: dacă $A$ este de tip $m\times n$ și $B$ de tip $n\times p$, atunci $AB$ există și are tipul $m\times p$. Pentru elementul $(i,j)$, folosești numai linia $i$ din $A$ și coloana $j$ din $B$. Când se cere $BA$, verifici din nou compatibilitatea; faptul că $AB$ există nu garantează că și $BA$ există. Dacă ambele există, nu presupui că sunt egale.

La o cerință despre puteri, calculezi mai întâi $A^2$ prin produs, cauți un tipar în primele puteri și îl demonstrezi prin inducție. Ridicarea separată a elementelor la putere nu dă, în general, $A^n$.

Exemplu de examen. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 0\end{array}\right)$. Valoarea lui $\mathrm{tr}(AB)$, suma elementelor de pe diagonala principală a produsului, este:

• A. $3$
• B. $5$
• C. $8$
• D. $11$

Calculezi pe rând cele două elemente necesare. Elementul $(1,1)$ este $1\cdot 2+2\cdot 3=8$, iar elementul $(2,2)$ este $0\cdot 1+1\cdot 0=0$. Prin urmare, $\mathrm{tr}(AB)=8+0=8$, varianta C. Nu este nevoie să calculezi celelalte două elemente când cerința privește numai diagonala. Dacă totuși verifici produsul întreg, obții $AB=\left(\begin{array}{cc}8& 1\\ 3& 0\end{array}\right)$. În ordine inversă, $BA=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)$, deci ordinea nu poate fi schimbată; urmele celor două produse sunt totuși egale în acest caz.

Greșeli frecvente

• Greșit: produsul $AB$ se obține înmulțind $a_{ij}$ cu $b_{ij}$.
  Corect: se folosește regula linie × coloană.
• Greșit: $AB=BA$, deci ordinea factorilor nu contează.
  Corect: $AB$ și $BA$ sunt, de obicei, diferite; când rezolvi o ecuație matriceală sau desfaci un produs, păstrezi ordinea factorilor.
• Greșit: $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$.
  Corect: $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$.
• Greșit: se începe calculul fără să verifici dimensiunile.
  Corect: înainte de calcul, verifici că numărul de coloane ale primei matrice este egal cu numărul de linii ale celei de-a doua.
• Greșit: din $AB=O$ rezultă $A=O$ sau $B=O$.
  Corect: produsul a două matrice nenule poate fi matricea nulă, ca în exemplul 3.
• Greșit: $A^2$ se calculează ridicând elementele la pătrat.
  Corect: $A^2=A\cdot A$, cu regula produsului.

Înainte și după

Întrebări frecvente