Matrice și sisteme — introducere

Matricea este un tabel dreptunghiular de numere, cu linii și coloane. Determinantul asociază un număr fiecărei matrice pătratice. Inversa unei matrice pătratice cu determinantul nenul „desface” înmulțirea cu ea, iar rangul arată câte dintre liniile matricei sunt independente. Toate aceste noțiuni servesc la rezolvarea sistemelor liniare: un sistem se scrie $AX=B$, iar metoda aleasă (Cramer, inversa, Gauss) depinde de forma lui $A$ și de valoarea lui $\det A$.

Matricea $A$ cuprinde coeficienții necunoscutelor, coloana $X$ cuprinde necunoscutele, iar coloana $B$ cuprinde termenii liberi. Pentru $x+y=3$, $x-y=1$, avem $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$. Adunarea ecuațiilor dă $2x=4$, deci $x=2$, apoi $y=1$. Fiecare noțiune are lecția ei: Matrice, Determinanți, Matrice inversabile, Rangul unei matrice, Sisteme liniare și regula lui Cramer, Metoda lui Gauss și compatibilitatea sistemelor.

Un sistem de $m$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute, în care ecuația $i$ este ${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i$, se scrie $AX=B$. Matricea $A=(a_{ij})$ are tipul $m\times n$, coloana $X$ are tipul $n\times 1$, iar coloana $B$ are tipul $m\times 1$. Fiecare linie a lui $A$ corespunde unei ecuații, iar fiecare coloană unei necunoscute, în aceeași ordine; un coeficient absent se scrie $0$. Matricea extinsă $\bar{A}=(A\mid B)$ se obține adăugând la $A$ coloana termenilor liberi. Determinantul există numai pentru matrice pătratice, deci numai când $m=n$.

Schimbarea ordinii ecuațiilor, înmulțirea unei ecuații cu un număr nenul și adunarea la o ecuație a unui multiplu al alteia dau un sistem echivalent, adică având aceleași soluții. Pe aceste operații se sprijină metoda lui Gauss. Un sistem este omogen dacă $B$ este coloana nulă; el admite întotdeauna soluția nulă, deci nu este niciodată incompatibil.

Un sistem liniar se află în exact una dintre trei situații: este compatibil determinat (o singură soluție), compatibil nedeterminat (infinit de multe soluții) sau incompatibil (nicio soluție). Nu există sistem liniar cu exact două soluții. Un sistem cu mai puține ecuații decât necunoscute ($m<n$) nu poate fi compatibil determinat: rangul lui $A$ este cel mult $m$, adică mai mic decât numărul necunoscutelor, deci este incompatibil sau nedeterminat. Pentru două ecuații cu două necunoscute, fiecare ecuație este o dreaptă: dreptele concurente dau o soluție, dreptele paralele distincte nu dau niciuna, iar dreptele confundate dau infinit de multe.

Metoda se alege după forma sistemului:

• regula lui Cramer și formula $X=A^{-1}B$ cer $m=n$ și $\det A\ne 0$, iar soluția este atunci unică;
• metoda lui Gauss se aplică oricărui sistem și arată în același timp tipul lui;
• rangurile $\mathrm{rang}A$ și $\mathrm{rang}\bar{A}$ decid compatibilitatea, fără calculul soluției.

Dacă $\det A=0$, regula lui Cramer nu mai dă soluția și nici nu spune dacă sistemul este incompatibil sau nedeterminat.

Exemplu rezolvat. Scriem sub forma $AX=B$ sistemul $x+y=3$, $y+z=5$, $x+z=4$ și îl rezolvăm.

1. Avem $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 4\end{array}\right)$.
2. Matricea $A$ este pătratică, iar $\det A=1\cdot (1-0)-1\cdot (0-1)+0=2\ne 0$. Sistemul are soluție unică.
3. Adunăm cele trei ecuații: $2(x+y+z)=12$, deci $x+y+z=6$.
4. Scădem din $6$ pe rând fiecare ecuație: $z=6-3=3$, $x=6-5=1$, $y=6-4=2$. Verificare: $1+2=3$, $2+3=5$, $1+3=4$.

Exemplu rezolvat. Comparăm $S_1$: $x+y=2$, $x-y=0$; $S_2$: $x+y=2$, $2x+2y=5$; $S_3$: $x+y=2$, $2x+2y=4$.

1. La $S_1$, determinantul este $-2\ne 0$, iar adunarea ecuațiilor dă $x=y=1$.
2. La $S_2$ și $S_3$, matricea coeficienților este aceeași și $\det A=0$. Scădem dublul primei ecuații din a doua.
3. $S_2$ dă $0=1$: sistem incompatibil, cu $\mathrm{rang}A=1$ și $\mathrm{rang}\bar{A}=2$.
4. $S_3$ dă $0=0$: rămâne $x+y=2$, deci soluțiile sunt $(s;2-s)$, $s\in \mathbb{R}$, iar rangurile sunt egale cu $1$.

La o grilă cu sistem, prima decizie privește forma lui $A$. Pentru matrice pătratică și $\det A\ne 0$, soluția există și este unică; variantele se verifică rapid prin înlocuire în ecuațiile cele mai simple. Dacă $\det A=0$ sau dacă enunțul are parametru, se compară ecuațiile între ele: o ecuație care este combinație a celorlalte nu aduce condiție nouă, dar membrul ei drept trebuie să respecte aceeași combinație. Când variantele de răspuns sunt perechi sau triplete de numere, o variantă este corectă numai dacă verifică toate ecuațiile: perechea $(2;3)$ verifică $x+y=5$, dar nu verifică $x-y=1$, deci nu este soluția sistemului format din cele două ecuații, a cărei soluție unică este $(3;2)$.

Problemă. Sistemul $x+y+z=3$, $x+2y+3z=5$, $2x+3y+4z=m$ este compatibil pentru:

• a) $m=2$
• b) $m=7$
• c) $m=8$
• d) $m=15$
• e) $m=16$
• f) niciun $m$ real

Rezolvare. Adunând primele două ecuații, obținem $2x+3y+4z=8$. A treia ecuație are membrul stâng egal cu suma membrilor stângi ai primelor două, deci $\det A=0$ și $\mathrm{rang}A=2$ (minorul $1\cdot 2-1\cdot 1=1$ este nenul). Sistemul este compatibil dacă și numai dacă membrul drept respectă aceeași sumă: $m=3+5=8$. Pentru $m\ne 8$ se ajunge la $0=m-8\ne 0$. Răspunsul corect este c). Varianta a) este diferența $5-3$, adică se scad ecuațiile în loc să se adune. Varianta b) este $2\cdot 5-3$, combinația altor coeficienți. Varianta d) este produsul $3\cdot 5$. Varianta e) dublează suma corectă. Varianta f) pornește de la ideea greșită că $\det A=0$ exclude orice soluție.

Greșeli frecvente

• Greșit: în $2x+y=7$, coloana termenilor liberi conține $2$.
  Corect: conține $7$; numărul $2$ este coeficientul lui $x$.
• Greșit: dacă $\det A=0$, sistemul nu are soluții.
  Corect: sistemul poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat; $x+y=2$, $2x+2y=4$ are infinit de multe soluții, de forma $(s;2-s)$.
• Greșit: două drepte care se taie în două puncte dau un sistem cu exact două soluții.
  Corect: două drepte distincte au cel mult un punct comun, iar un sistem liniar are $0$, $1$ sau o infinitate de soluții.
• Greșit: pentru $x+2z=3$, $y+z=1$, matricea coeficienților este $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$.
  Corect: fiecare necunoscută are coloana ei, iar coeficientul absent este $0$; matricea este $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$ și are tipul $2\times 3$.

Înainte și după

Întrebări frecvente