Numere complexe în formă trigonometrică: probleme avansate

Lecția continuă „Forma trigonometrică a numerelor complexe” cu problemele de nivel de admitere la facultățile tehnice, în care formula lui de Moivre se combină cu rădăcinile unității. Cinci tipuri revin des: puterile mari ale unui număr complex, ecuațiile cu necunoscuta și conjugata ei, sumele cu rădăcini ale unității, identitățile trigonometrice și sumele de coeficienți binomiali, geometria în planul complex. Ideea comună este aceeași: scrii numărul în formă trigonometrică, lucrezi cu modulul și cu argumentul, iar la sfârșit reduci argumentul la un unghi cunoscut. Rădăcinile de ordin $n$ ale unității sunt ${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$, cu $k\in \{0;1;\dots ;n-1\}$, și au suma $0$ pentru $n\ge 2$.

Puteri mari. Se caută mai întâi un număr simplu în care apare expresia dată; apoi se folosește periodicitatea.

Exemplu rezolvat. Calculează ${\left(\frac{1+i}{1-i}\right)}^{2026}$.

1. $\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{2}=\frac{2i}{2}=i$.
2. Puterile lui $i$ se repetă din $4$ în $4$, iar $2026=4\cdot 506+2$.
3. Rezultatul este $i^{2026}=i^2=-1$.

Exemplu rezolvat. Calculează ${\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)}^{100}$ și află cel mai mic $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ pentru care $z^n=1$, unde $z=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.

1. $\frac{1+i\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$, deci puterea $100$ are argumentul $\frac{100\pi }{3}=33\pi +\frac{\pi }{3}$. Cum $33$ este impar, ambele funcții își schimbă semnul: rezultatul este $-\cos \frac{\pi }{3}-i\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$.
2. $\frac{1-i}{\sqrt{2}}=\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$. Așadar $z$ are modulul $1$ și argumentul $\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{12}$.
3. $z^n=1$ cere $\frac{n\pi }{12}=2k\pi$, adică $n=24k$. Cel mai mic $n$ este $24$.

Rădăcinile unității. Fie $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$. Pentru $n\ge 2$, polinomul $x^n-1$ se descompune ca $(x-1)(x-\epsilon )\cdots (x-{\epsilon }^{n-1})$, iar câtul prin $x-1$ este $1+x+\cdots +x^{n-1}$. De aici rezultă trei fapte:

• $1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^{n-1}=0$ (din $(\epsilon -1)(1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^{n-1})={\epsilon }^n-1=0$ și $\epsilon \ne 1$);
• ${\sum }_{k=0}^{n-1}{\epsilon }^{km}$ este $n$ dacă $n\mid m$ și $0$ altfel;
• ${\prod }_{k=1}^{n-1}(1-{\epsilon }^k)=n$ (se pune $x=1$ în $1+x+\cdots +x^{n-1}={\prod }_{k=1}^{n-1}(x-{\epsilon }^k)$). Cum $|1-{\epsilon }^k|=2\sin \frac{k\pi }{n}$, rezultă ${\prod }_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$.

Pentru $n=3$ se notează $\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$, cu ${\omega }^3=1$ și $1+\omega +{\omega }^2=0$.

Exemplu rezolvat. Calculează $(1+\omega {)}^{2026}$.

1. Din $1+\omega +{\omega }^2=0$ rezultă $1+\omega =-{\omega }^2$.
2. $(1+\omega {)}^{2026}=(-1{)}^{2026}{\omega }^{4052}={\omega }^{4052}$.
3. Cum $4052=3\cdot 1350+2$, rezultatul este ${\omega }^2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Identități trigonometrice. Egalitatea $(\cos t+i\sin t{)}^n=\cos nt+i\sin nt$ se dezvoltă cu binomul lui Newton, iar părțile reală și imaginară dau formule pentru multiplii unghiului. Pentru $n=3$, din $(\cos t+i\sin t{)}^3={\cos }^{3}t-3\cos t{\sin }^{2}t+i\left(3{\cos }^{2}t\sin t-{\sin }^{3}t\right)$ rezultă $\cos 3t=4{\cos }^{3}t-3\cos t$ și $\sin 3t=3\sin t-4{\sin }^{3}t$. De exemplu, dacă $\cos t=\frac{1}{3}$, atunci $\cos 3t=\frac{4}{27}-1=-\frac{23}{27}$.

Sumele de cosinusuri ale unor unghiuri în progresie se obțin luând partea reală a sumei rădăcinilor unității.

Exemplu rezolvat. Arată că $\cos \frac{2\pi }{7}+\cos \frac{4\pi }{7}+\cos \frac{6\pi }{7}=-\frac{1}{2}$.

1. Fie $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{7}+i\sin \frac{2\pi }{7}$. Atunci $1+\epsilon +\cdots +{\epsilon }^6=0$.
2. Partea reală este $1+\cos \frac{2\pi }{7}+\cos \frac{4\pi }{7}+\cos \frac{6\pi }{7}+\cos \frac{8\pi }{7}+\cos \frac{10\pi }{7}+\cos \frac{12\pi }{7}=0$.
3. Ultimele trei cosinusuri sunt egale cu primele trei, în ordine inversă: $\cos \frac{8\pi }{7}=\cos \frac{6\pi }{7}$, $\cos \frac{10\pi }{7}=\cos \frac{4\pi }{7}$, $\cos \frac{12\pi }{7}=\cos \frac{2\pi }{7}$. Deci $1+2S=0$ și $S=-\frac{1}{2}$.

Sume de coeficienți binomiali. Din $(1+i{)}^n={\sum }_k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})i^k$ se separă termenii cu $k$ par (părțile reale) de cei cu $k$ impar (părțile imaginare), iar $(1+i{)}^n=2^{n/2}\left(\cos \frac{n\pi }{4}+i\sin \frac{n\pi }{4}\right)$. Rezultă $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)-\cdots =2^{n/2}\cos \frac{n\pi }{4}$ și $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{5}\right)-\cdots =2^{n/2}\sin \frac{n\pi }{4}$. Pentru $n=8$: $1-28+70-28+1=16=2^4\cos 2\pi$. Pentru $n=6$: $6-20+6=-8=2^3\sin \frac{3\pi }{2}$.

Ecuații cu conjugata. Ecuația $z^n=\bar{z}$ cu $n\ge 2$ se rezolvă în forma trigonometrică. Din $|z{|}^n=|z|$ rezultă $z=0$ sau $|z|=1$. Pentru $|z|=1$ avem $\bar{z}=z^{-1}$, deci $z^{n+1}=1$ și soluțiile sunt cele $n+1$ rădăcini de ordin $n+1$ ale unității. În total ecuația are $n+2$ soluții: pentru $n=2$ sunt $0,1,\omega ,{\omega }^2$, adică $4$ soluții, iar pentru $n=5$ sunt $7$.

Geometrie. Înmulțirea cu $\cos \alpha +i\sin \alpha$ rotește un punct în jurul originii cu unghiul $\alpha$. Rotația de centru $a$ și unghi $\alpha$ duce $z$ în $a+(z-a)(\cos \alpha +i\sin \alpha )$. Triunghiul cu afixele $z_1,z_2,z_3$ este echilateral dacă și numai dacă $z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1{z}_2+z_2{z}_3+z_3{z}_1$. Egalitatea este echivalentă cu $z_3-z_1=(z_2-z_1)\left(\cos \frac{\pi }{3}\pm i\sin \frac{\pi }{3}\right)$, adică $z_3$ se obține rotind $z_2$ în jurul lui $z_1$ cu $\pm 60^{\circ }$.

Exemplu rezolvat. Află afixele punctelor $C$ pentru care triunghiul cu vârfurile $A(0)$ și $B(2)$ este echilateral.

1. Condiția devine $0+4+c^2=0+2c+0$, adică $c^2-2c+4=0$.
2. Discriminantul este $4-16=-12$, deci $c=1\pm i\sqrt{3}$.
3. Verificare: $|c|=2$ și $|c-2|=|-1\pm i\sqrt{3}|=2$, deci toate laturile au lungimea $2$.

Exemplu rezolvat (loc geometric). Află mulțimea punctelor $z=x+iy$ cu $|z-1|=|z+i|$.

1. Ridici la pătrat: $(x-1{)}^2+y^2=x^2+(y+1{)}^2$.
2. Dezvolți: $-2x+1=2y+1$, deci $y=-x$.
3. Mulțimea este dreapta $y=-x$, mediatoarea segmentului cu capetele în punctele $1$ și $-i$.

Greșeli frecvente

• Greșit: ${\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)}^{100}$ are argumentul $\frac{\pi }{3}$, pentru că „argumentul nu se schimbă la putere”.
  Corect: argumentul se înmulțește cu exponentul, $\frac{100\pi }{3}$, apoi se reduce modulo $2\pi$.
• Greșit: $\cos \left(33\pi +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}$, deoarece $33\pi$ este multiplu de $\pi$.
  Corect: perioada este $2\pi$; un multiplu impar de $\pi$ schimbă semnul, deci valoarea este $-\cos \frac{\pi }{3}$.
• Greșit: ecuația $z^2=\bar{z}$ are soluțiile $0$ și $1$, pentru că din $|z{|}^2=|z|$ rezultă $|z|=1$.
  Corect: $|z|=0$ sau $|z|=1$, iar pentru $|z|=1$ trebuie rezolvată și ecuația argumentului; rezultă $0,1,\omega ,{\omega }^2$.
• Greșit: ${\sum }_{k=0}^{n-1}{\epsilon }^{km}=0$ pentru orice $m$.
  Corect: suma este $n$ când $n\mid m$ (de exemplu pentru $m=0$), altfel $0$.
• Greșit: ${\prod }_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}=\frac{1}{2^{n-1}}$.
  Corect: produsul este $\frac{n}{2^{n-1}}$; pentru $n=4$ este $\frac{1}{2}$.

Înainte și după