Rădăcinile complexe ale unității

Ecuația $z^n=1$, pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, are $n$ soluții complexe distincte: $z_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$, cu $k\in \{0;1;\dots ;n-1\}$. Argumentele lor sunt egal distanțate pe cercul unitate.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $z^4=1$.

1. Folosim unghiurile $2k\pi /4=k\pi /2$, cu $k\in \{0;1;2;3\}$.
2. Rădăcinile sunt $1;i;-1;-i$.
3. Verificăm că fiecare ridicată la puterea a patra este $1$.

Formula lui Moivre, $[\cos \theta +i\sin \theta {]}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$, explică relația dintre argumente și ordinul rădăcinilor. Indici care diferă cu $n$ dau aceeași rădăcină, deci nu se numără din nou. Pentru $n\ge 3$, imaginile rădăcinilor sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi înscris în cercul unitate. Pentru $n=2$, sunt capetele unui diametru. Dacă $n\ge 2$, suma tuturor rădăcinilor este $0$: notând $\omega =\cos (2\pi /n)+i\sin (2\pi /n)\ne 1$, ele formează progresia $1;\omega ;\dots ;{\omega }^{n-1}$, cu suma $({\omega }^n-1)/(\omega -1)=0$. Înmulțirea a două rădăcini adună argumentele și produce tot o rădăcină a unității de același ordin; exponentul se reduce modulo $n$.

Cu notația $\omega =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$, formula lui Moivre dă $z_k={\omega }^k$, deci mulțimea rădăcinilor este $U_n=\{1;\omega ;{\omega }^2;\dots ;{\omega }^{n-1}\}$. Fiecare rădăcină are modulul $1$, așadar ${\bar{z}}_k=z_k^{-1}=z_{n-k}$: conjugata unei rădăcini este tot o rădăcină, simetrică față de axa reală. Singurele rădăcini reale sunt $1$ și, pentru $n$ par, $-1$; pentru $n=1$ ecuația are doar rădăcina $1$. Nu orice putere a lui $\omega$ generează toată mulțimea: pentru $n=6$, numărul ${\omega }^2$ are doar puterile distincte $1;{\omega }^2;{\omega }^4$, adică exact rădăcinile cubice ale unității. Mulțimea $U_n$ este stabilă la înmulțire și la trecerea la invers, deci formează un grup în raport cu înmulțirea (vezi lecția „Grupuri”). Ecuația binomă $z^n=w$, cu $w=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ și $r>0$, are soluțiile

toate cu același modul $\sqrt[n]{r}$ și cu argumente la distanța $\frac{2\pi }{n}$ unul de altul.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $z^3=1$.

1. Argumentele distincte sunt $0$, $2\pi /3$ și $4\pi /3$.
2. Prima rădăcină este $1$.
3. Celelalte sunt $-1/2+i\sqrt{3}/2$ și $-1/2-i\sqrt{3}/2$.
4. Suma lor este $0$, deoarece părțile imaginare se reduc și $1-1/2-1/2=0$. Cubul fiecărei rădăcini este $1$ prin formula lui Moivre.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm $z^6=1$ și descriem imaginile rădăcinilor.

1. Argumentele sunt $\frac{2k\pi }{6}=\frac{k\pi }{3}$, pentru $k\in \{0;1;\dots ;5\}$.
2. Rădăcinile sunt $1$, $\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $-1$, $-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Imaginile lor sunt vârfurile unui hexagon regulat înscris în cercul unitate, cu un vârf în punctul $(1;0)$.
4. Suma celor șase rădăcini este $0$, iar numai $1$ și $-1$ sunt reale.

Exemplu rezolvat. Rezolvăm ecuația binomă $z^3=-8$.

1. Scriem $-8=8(\cos \pi +i\sin \pi )$, deci $r=8$ și $\theta =\pi$.
2. Modulul comun al rădăcinilor este $\sqrt[3]{8}=2$, iar argumentele sunt $\frac{\pi +2k\pi }{3}$, adică $\frac{\pi }{3}$, $\pi$ și $\frac{5\pi }{3}$, pentru $k\in \{0;1;2\}$.
3. Rădăcinile sunt $1+i\sqrt{3}$, $-2$ și $1-i\sqrt{3}$; imaginile lor sunt vârfurile unui triunghi echilateral înscris în cercul cu centrul în origine și raza $2$.
4. Verificare: $(-2{)}^3=-8$, iar $(1+i\sqrt{3}{)}^3=8(\cos \pi +i\sin \pi )=-8$.

Exemplu rezolvat. Fie $\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$, o rădăcină cubică a unității, $\omega \ne 1$. Calculăm $1+{\omega }^{2026}+{\omega }^{4052}$. Deoarece ${\omega }^3=1$, exponenții se reduc modulo $3$: $2026=3\cdot 675+1$ și $4052=3\cdot 1350+2$. Deci expresia este $1+\omega +{\omega }^2$, iar suma rădăcinilor cubice ale unității este $0$.

Altfel spus, $\omega$ verifică ${\omega }^2+\omega +1=0$, ecuație ale cărei soluții sunt $-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$, exact rădăcinile cubice ale unității diferite de $1$.

Problemele cer, de regulă, numărul rădăcinilor cu o proprietate (reale, de modul dat) sau o sumă de puteri. Rădăcinile $z_k={\omega }^k$ se numără după indicele $k$, iar exponenții se reduc modulo $n$. Rezultatul se verifică ridicând una dintre rădăcini la puterea $n$: obții $1$ dacă ai calculat corect argumentele.

Problemă. Câte dintre rădăcinile ecuației $z^{12}=1$ sunt numere reale?

• a) $1$
• b) $2$
• c) $3$
• d) $4$
• e) $6$
• f) $12$

Rezolvare. Rădăcinile sunt $z_k=\cos \frac{k\pi }{6}+i\sin \frac{k\pi }{6}$, cu $k\in \{0;1;\dots ;11\}$. Ele sunt reale dacă $\sin \frac{k\pi }{6}=0$, adică $\frac{k\pi }{6}$ este multiplu de $\pi$, deci $k$ este multiplu de $6$: $k=0$ dă $z=1$, iar $k=6$ dă $z=-1$. Sunt două rădăcini reale, răspunsul b). Varianta a) uită că $n=12$ este par, deci și $-1$ verifică ecuația. Varianta c) este numărul rădăcinilor cubice ale unității, dintre care numai $1$ este reală. Varianta d) adaugă și rădăcinile pur imaginare $i$ și $-i$, adică $k\in \{0;3;6;9\}$. Varianta e) este numărul rădăcinilor care verifică și $z^6=1$, adică $k$ par. Varianta f) consideră reale toate rădăcinile.

Alt exemplu. Rezolvăm $z^4=-16$. Avem $|-16|=16$ și argumentul $\pi$. Rădăcinile au $|z|=\sqrt[4]{16}=2$ și argumentele $\pi /4+k\pi /2$, pentru $k\in \{0;1;2;3\}$. În formă algebrică sunt $\sqrt{2}+i\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}+i\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$ și $\sqrt{2}-i\sqrt{2}$. Puterea a patra are modulul $2^4=16$ și argument congruent cu $\pi$ pentru fiecare, deci toate verifică ecuația.

Greșeli frecvente

• Greșit: $z^3=1$ are doar soluția $1$.
  Corect: are și rădăcinile $-1/2\pm i\sqrt{3}/2$.
• Greșit: pentru $z^4=-16$, modulul rădăcinilor este $4$.
  Corect: $|z|=\sqrt[4]{16}=2$.
• Greșit: ecuația $z^6=1$ are numai rădăcinile reale $1$ și $-1$.
  Corect: are șase rădăcini, dintre care patru nereale, vârfuri ale hexagonului regulat înscris în cercul unitate.
• Greșit: rădăcinile $z^n=1$ se obțin luând $k$ de la $0$ până la $n$.
  Corect: pentru $k=n$ se repetă rădăcina $1$; indicii distincți sunt $0;1;\dots ;n-1$.

Înainte și după