Inecuații de gradul întâi

O inecuație cere numerele care fac adevărată o comparație, nu o egalitate. Pentru $x+2<5$, valorile care convin sunt toate numerele mai mici decât $3$. Ele formează mulțimea soluțiilor, iar aceasta depinde de mulțimea în care lucrezi: în $\mathbb{N}$, inecuația $x+2<5$ are soluțiile $0;1;2$, pe când în $\mathbb{R}$ are o infinitate de soluții, toate numerele din intervalul $(-\infty ;3)$. Pe axa numerelor, în $\mathbb{R}$ poți marca o regiune întreagă, nu doar câteva puncte.

O inecuație de gradul întâi se rezolvă prin operații asemănătoare celor de la ecuații. Dacă aduni sau scazi același număr în ambii membri, sensul semnului rămâne. Dacă înmulțești sau împarți cu un număr pozitiv, sensul rămâne tot la fel. Dacă înmulțești sau împarți cu un număr negativ, sensul se inversează: din $2<5$ se obține $-2>-5$, fiindcă pe axă $-2$ se află la dreapta lui $-5$.

Pentru $<$ și $>$, capătul nu intră în mulțimea soluțiilor; pentru $\le$ și $\ge$, intră. Astfel $x\le 3$ se scrie $(-\infty ;3]$, cu paranteză dreaptă la $3$, iar $x<3$ se scrie $(-\infty ;3)$. Simbolul $\infty$ arată că intervalul continuă fără limită și nu este un număr; lângă el paranteza este mereu rotundă. Pe axă, valoarea exclusă se marchează cu un cerc gol, cea inclusă cu un cerc plin, iar săgeata arată sensul în care continuă toate soluțiile.

Verifică rezultatul alegând o valoare din interval și una din afara lui: prima trebuie să facă inecuația adevărată, a doua falsă.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $-2x+1<7$ în $\mathbb{R}$.

1. Scădem $1$ din ambii membri: $-2x<6$.
2. Împărțim la $-2$ și inversăm sensul: $x>-3$.
3. Soluțiile sunt $(-3;+\infty )$.

Verificare: pentru $x=0$ obținem $1<7$, adevărat, iar pentru $x=-4$ obținem $9<7$, fals.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $3x-5\ge x+3$ în $\mathbb{R}$.

1. Scădem $x$ din ambii membri: $2x-5\ge 3$.
2. Adunăm $5$: $2x\ge 8$.
3. Împărțim la $2$, număr pozitiv, deci sensul rămâne: $x\ge 4$.
4. Soluțiile sunt $[4;+\infty )$, cu $4$ inclus.

Problemă cu text. Ana are $50$ de lei și cumpără caiete de câte $4$ lei bucata. Câte caiete poate cumpăra?

1. Notăm cu $x$ numărul de caiete; costul este $4x$ lei.
2. Condiția este $4x\le 50$, deci $x\le 12,5$.
3. Numărul de caiete este natural, deci cea mai mare valoare este $12$.

Răspuns: cel mult $12$ caiete; $12\cdot 4=48$ lei, iar $13\cdot 4=52$ lei depășește suma.

Pentru $ax+b>0$ cu $a\ne 0$, semnul lui $a$ decide sensul după împărțire: dacă $a>0$, soluțiile sunt $x>-\frac{b}{a}$; dacă $a<0$, împărțirea la un număr negativ inversează sensul și soluțiile sunt $x<-\frac{b}{a}$. Dacă $a=0$, inecuația devine $b>0$ și nu mai depinde de $x$: este adevărată pentru toate numerele din domeniu când $b>0$ și falsă pentru toate când $b\le 0$. La inecuațiile cu parametru, cele trei cazuri ale coeficientului se tratează separat.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $mx<6$, cu $m$ parametru real.

1. Pentru $m>0$, împărțim la $m$ și sensul rămâne: $x<\frac{6}{m}$.
2. Pentru $m<0$, împărțim la $m$ și sensul se inversează: $x>\frac{6}{m}$.
3. Pentru $m=0$, inecuația este $0<6$, adevărată pentru orice $x$, deci $S=\mathbb{R}$.

O inecuație dublă, de forma $c<ax+b\le d$, se rezolvă aplicând aceleași operații celor trei părți deodată. Exemplu rezolvat. Rezolvă $-3<2x-1\le 7$.

1. Adunăm $1$ în toate cele trei părți: $-2<2x\le 8$.
2. Împărțim la $2$: $-1<x\le 4$.
3. Soluțiile sunt $(-1;4]$. Numerele întregi din acest interval sunt $0;1;2;3;4$, deci în $\mathbb{Z}$ inecuația are $5$ soluții.

La sisteme de inecuații, soluțiile se intersectează; la alternative unite prin „sau”, se reunesc. Exemplu rezolvat. Rezolvă simultan $x>-1$ și $2x\le 4$.

1. A doua condiție dă $x\le 2$.
2. Intersectăm $(-1;+\infty )$ cu $(-\infty ;2]$.
3. Obținem $(-1;2]$.

O reuniune de intervale apare când soluțiile sunt separate de valori care nu convin. Mulțimea valorilor care verifică $x<-2$ sau $x\ge 3$ este $(-\infty ;-2)\cup [3;+\infty )$; ea nu poate fi scrisă ca un singur interval, pentru că numerele dintre $-2$ și $3$ nu convin.

Inecuațiile modelează și compararea unor costuri. Exemplu rezolvat. Un abonament costă $25$ de lei fixi plus $0,5$ lei pe minut, iar altul $10$ lei fixi plus $1$ leu pe minut. De la câte minute este mai ieftin primul?

1. Notăm cu $t$ numărul de minute; primul abonament costă $25+0,5t$, al doilea $10+t$.
2. Condiția este $25+0,5t<10+t$.
3. Scădem $10$ și $0,5t$: $15<0,5t$, deci $t>30$.
4. Numărul de minute este natural, deci primul abonament este mai ieftin începând cu $31$ de minute: $25+15,5=40,5$ lei față de $41$ de lei. La $30$ de minute, ambele costă $40$ de lei.

Înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ se vede bine într-un exemplu cu valoare de frontieră. Exemplu rezolvat. Pentru $-3x+5\ge 11$, scădem $5$ și obținem $-3x\ge 6$. Împărțim la $-3$ și inversăm sensul: $x\le -2$, adică $(-\infty ;-2]$. La $x=-2$ obținem $-3\cdot (-2)+5=11$, deci capătul $-2$ este inclus. La $x=0$ obținem $5\ge 11$, fals, ceea ce confirmă sensul găsit.

Inecuațiile cu fracții de forma $\frac{a}{bx+c}$ comparată cu $0$ se rezolvă după semnul numitorului, cu condiția $bx+c\ne 0$. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\frac{3}{2x-4}<0$. Numitorul trebuie să fie nenul, deci $x\ne 2$. Numărătorul $3$ este pozitiv, deci fracția este negativă dacă și numai dacă $2x-4<0$, adică $x<2$. Soluțiile sunt $(-\infty ;2)$. Pentru $\frac{-5}{x+1}\ge 0$ numărătorul este negativ, deci fracția este pozitivă numai când $x+1<0$, adică $x<-1$; fracția nu se anulează niciodată, așa că și cu semnul $\ge$ soluțiile sunt $(-\infty ;-1)$.

Greșeli frecvente

• Greșit: din $-2x<6$ se scrie $x<-3$.
  Corect: la împărțirea cu $-2$ sensul se inversează, deci $x>-3$.
• Greșit: un capăt la care inegalitatea este strictă se marchează inclus, de pildă $x<3$ se scrie $(-\infty ;3]$.
  Corect: $x<3$ exclude valoarea $3$ și se scrie $(-\infty ;3)$.
• Greșit: condițiile legate prin „și” se reunesc.
  Corect: se ia intersecția lor; pentru $x>-1$ și $x\le 2$ soluțiile sunt $(-1;2]$.
• Greșit: în $\mathbb{N}$, soluția inecuației $2x<7$ se scrie $(-\infty ;3,5)$.
  Corect: în $\mathbb{N}$ soluțiile sunt $0;1;2;3$, deoarece mulțimea soluțiilor conține doar elemente ale domeniului.
• Greșit: inecuația $mx<6$ se rezolvă prin $x<\frac{6}{m}$ pentru orice $m$.
  Corect: pentru $m<0$ sensul se inversează, iar pentru $m=0$ nu se poate împărți.

Înainte și după