Sisteme cu ecuații de gradul al doilea

Un sistem neliniar conține cel puțin o ecuație de gradul al doilea, de exemplu cu $x^2$, $y^2$ sau $xy$. Soluțiile sunt perechile $(x;y)$ care verifică ambele ecuații. Metodele de substituție și de eliminare rămân utile, dar ecuația rezultată are mai multe rădăcini, iar fiecare rădăcină trebuie legată de valoarea corespunzătoare a celeilalte necunoscute.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x^2+y^2=5.\end{array}$

1. Din prima ecuație, $y=3-x$.
2. Înlocuim: $x^2+(3-x{)}^2=5$, deci $2x^2-6x+4=0$, adică $(x-1)(x-2)=0$.
3. Pentru $x=1$, $y=2$; pentru $x=2$, $y=1$.
4. Ambele perechi verifică $x^2+y^2=5$.

O pereche $(x;y)$ este soluție a sistemului numai dacă verifică toate ecuațiile lui. Geometric, soluțiile sunt punctele comune ale graficelor ecuațiilor. Trei metode acoperă sistemele din programă: substituția (se exprimă o necunoscută din ecuația de gradul întâi), eliminarea (se adună sau se scad ecuațiile) și metoda sumei și a produsului, folosită la sistemele simetrice.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\{\begin{array}{l}x-y=1\\ xy=12.\end{array}$

1. Din prima ecuație, $x=y+1$.
2. Înlocuim în a doua: $(y+1)y=12$, deci $y^2+y-12=0$, adică $(y+4)(y-3)=0$.
3. Pentru $y=3$ obținem $x=4$; pentru $y=-4$ obținem $x=-3$.
4. Perechile $(4;3)$ și $(-3;-4)$ verifică ambele ecuații: $4-3=1$ și $4\cdot 3=12$, respectiv $-3+4=1$ și $(-3)(-4)=12$.

Din ecuația liniară se exprimă necunoscuta cu coeficientul cel mai simplu; în $x+2y=5$ este $x$, care are coeficientul $1$. Exemplu rezolvat. Rezolvă $x+2y=5$, $xy=3$.

1. Din prima ecuație, $x=5-2y$.
2. Înlocuim în a doua: $(5-2y)y=3$, deci $2y^2-5y+3=0$, adică $(2y-3)(y-1)=0$.
3. Pentru $y=\frac{3}{2}$ obținem $x=2$; pentru $y=1$ obținem $x=3$.
4. Perechile $(2;\frac{3}{2})$ și $(3;1)$ verifică ambele ecuații: $2+3=5$ și $2\cdot \frac{3}{2}=3$, respectiv $3+2=5$ și $3\cdot 1=3$.

La sistemele cu doar puteri pare, eliminarea este mai scurtă. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=25\\ x^2-y^2=7.\end{array}$ Adunăm ecuațiile: $2x^2=32$, deci $x^2=16$ și $x=\pm 4$. Scădem a doua ecuație din prima: $2y^2=18$, deci $y^2=9$ și $y=\pm 3$. Semnele lui $x$ și $y$ se aleg independent, deoarece necunoscutele apar numai la pătrat, deci sistemul are patru soluții: $(4;3)$, $(4;-3)$, $(-4;3)$ și $(-4;-3)$.

Un sistem de forma $x+y=s$, $xy=p$ se rezolvă prin ecuația $u^2-su+p=0$: numerele $x$ și $y$ sunt rădăcinile ei, după relațiile lui Viète. Exemplu rezolvat. Rezolvă $x+y=7$, $xy=10$.

1. Formăm ecuația $u^2-7u+10=0$, adică $(u-2)(u-5)=0$.
2. Rădăcinile sunt $2$ și $5$.
3. Soluțiile sunt $(2;5)$ și $(5;2)$, fiindcă ordinea contează într-o pereche.

Soluțiile sunt reale dacă și numai dacă $s^2-4p\ge 0$. Sistemul $x+y=2$, $xy=5$ are $s^2-4p=4-20=-16<0$, deci nu are soluții reale. Dacă $s^2-4p=0$, cele două numere coincid și există o singură pereche. Sistemele simetrice se aduc la această formă folosind $x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$. De exemplu, sistemul $x+y=3$, $x^2+y^2=5$ din „Pe scurt” devine $x+y=3$, $xy=\frac{9-5}{2}=2$, cu rădăcinile $1$ și $2$ ale ecuației $u^2-3u+2=0$.

Intersecția unei drepte cu o parabolă este tot un sistem de gradul al doilea. Exemplu rezolvat. Află punctele comune ale dreptei $y=2x+3$ și parabolei $y=x^2$.

1. Egalăm valorile lui $y$: $x^2=2x+3$, deci $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$.
2. Pentru $x=3$ obținem $y=9$; pentru $x=-1$ obținem $y=1$.
3. Punctele comune sunt $(3;9)$ și $(-1;1)$.

Dreapta $y=2x-1$ și aceeași parabolă dau $x^2-2x+1=(x-1{)}^2=0$, deci un singur punct $(1;1)$, adică dreapta este tangentă parabolei. Numărul punctelor comune este $2$, $1$ sau $0$, după cum discriminantul ecuației obținute este pozitiv, nul sau negativ. Același raționament se aplică unei drepte și unui cerc: sistemul $x+y=3$, $x^2+y^2=5$ din „Pe scurt” arată că dreapta taie cercul cu centrul în origine și raza $\sqrt{5}$ în punctele $(1;2)$ și $(2;1)$. Pentru $x+y=4$ se obține $2x^2-8x+11=0$, cu $\Delta =64-88=-24<0$, deci dreapta nu taie cercul.

Greșeli frecvente

• Greșit: din $x+y=5$ rezultă $x^2+y^2=25$.
  Corect: $x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$, deoarece pătratul sumei include termenul $2xy$.
• Greșit: sistemul simetric $x+y=7$, $xy=10$ admite doar perechea $(2;5)$.
  Corect: schimbarea ordinii păstrează ambele ecuații, deci și $(5;2)$ este soluție.
• Greșit: după rezolvarea lui $y^2+y-12=0$ se scriu valorile $y=3$ și $y=-4$ ca soluții ale sistemului $x-y=1$, $xy=12$.
  Corect: soluția este o pereche; pentru fiecare valoare $y$ se află $x=y+1$, deci perechile sunt $(4;3)$ și $(-3;-4)$.
• Greșit: la $x^2+y^2=25$ și $x^2-y^2=7$ se păstrează numai $x=4$ și $y=3$.
  Corect: $x=\pm 4$ și $y=\pm 3$ dau patru perechi, care verifică amândouă ecuațiile.
• Greșit: soluția sistemului $y=2x-1$, $y=x^2$ este $x=1$.
  Corect: soluția este perechea $(1;1)$, adică trebuie aflate ambele coordonate, iar dreapta este tangentă parabolei.

Înainte și după