Fracții algebrice

O fracție algebrică este un raport de două expresii cu litere, precum $\frac{x+2}{x-1}$. Ea are sens numai pentru valorile literei care nu anulează numitorul; acestea sunt condițiile de existență. Pentru $\frac{x+2}{x-1}$ condiția este $x\ne 1$. Pentru $\frac{3}{x^2-4}$ avem $x^2-4=(x-2)(x+2)$, deci condițiile sunt $x\ne 2$ și $x\ne -2$. Pentru $x=3$, prima fracție are valoarea $\frac{3+2}{3-1}=\frac{5}{2}$.

La amplificare se înmulțesc numărătorul și numitorul cu aceeași expresie nenulă: $\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}$. Valoarea fracției nu se schimbă, deoarece se înmulțește cu $1$ scris ca $\frac{x+1}{x+1}$, cu $x\ne -1$. La simplificare se elimină un factor comun al numărătorului și al numitorului. Pentru aceasta, numărătorul și numitorul se descompun mai întâi în produse, cu metodele din lecția „Descompuneri în factori”. Nu se simplifică termeni dintr-o sumă, ci numai factori ai întregului numărător și ai întregului numitor.

Exemplu rezolvat. Simplifică $\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$.

1. Condițiile: $x^2-4\ne 0$, adică $x\ne 2$ și $x\ne -2$.
2. Descompunem: $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ și $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
3. Simplificăm factorul $x-2$: rezultă $\frac{x-2}{x+2}$.
4. Verificare cu $x=3$: fracția inițială este $\frac{9-12+4}{9-4}=\frac{1}{5}$, iar cea simplificată este $\frac{3-2}{3+2}=\frac{1}{5}$.

La adunare și scădere fracțiile se aduc la același numitor, apoi se operează numai cu numărătorii. Exemplu rezolvat. Adună $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$.

1. Condițiile sunt $x\ne 1$ și $x\ne -1$.
2. Numitorul comun este $(x-1)(x+1)$; amplificăm prima fracție cu $x+1$ și a doua cu $x-1$.
3. Adunăm: $\frac{x+1+x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x}{x^2-1}$.

Exemplu rezolvat. Calculează $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x+2}$.

1. Condițiile sunt $x\ne 2$ și $x\ne -2$, iar numitorul comun este $(x-2)(x+2)$.
2. Amplificăm: $\frac{2(x+2)-3(x-2)}{(x-2)(x+2)}$.
3. Desfacem parantezele din numărător: $2x+4-3x+6=10-x$.
4. Rezultatul este $\frac{10-x}{(x-2)(x+2)}$. Verificare cu $x=3$: $\frac{2}{1}-\frac{3}{5}=\frac{7}{5}$ și $\frac{7}{1\cdot 5}=\frac{7}{5}$.

La scădere, numărătorul scăzut se pune în paranteză: $\frac{x+2}{x}-\frac{x-1}{x}=\frac{x+2-(x-1)}{x}=\frac{3}{x}$, pentru $x\ne 0$.

La înmulțire se înmulțesc numărătorii între ei și numitorii între ei, apoi se simplifică. La împărțire se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua, care trebuie să fie nenulă. Exemplu rezolvat. Calculează $\frac{x^2-9}{x}:\frac{x+3}{x^2}$.

1. Condițiile: $x\ne 0$ și, pentru că împărțitorul nu poate fi zero, $x+3\ne 0$, adică $x\ne -3$.
2. Înmulțim cu inversa: $\frac{x^2-9}{x}\cdot \frac{x^2}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)\cdot x^2}{x(x+3)}$.
3. Simplificăm factorii $x$ și $x+3$: rămâne $x(x-3)$.
4. Verificare cu $x=2$: $\frac{-5}{2}:\frac{5}{4}=-2$ și $2\cdot (-1)=-2$.

Pentru o putere naturală se ridică numărătorul și numitorul: ${\left(\frac{x}{x-1}\right)}^2=\frac{x^2}{(x-1{)}^2}$, cu $x\ne 1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\frac{x+2}{x}=2$, prin „tăierea” lui $x$.
  Corect: se simplifică numai factori ai întregului numărător și ai întregului numitor, nu termeni ai unei sume; $\frac{x+2}{x}=1+\frac{2}{x}$.
• Greșit: $\frac{x-3}{3-x}=1$.
  Corect: $3-x=-(x-3)$, deci fracția este egală cu $-1$, pentru $x\ne 3$.
• Greșit: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{x+y}$.
  Corect: la adunare se aduc fracțiile la numitor comun, iar rezultatul este $\frac{y+x}{xy}$.
• Greșit: $\frac{x+2}{x}-\frac{x-1}{x}=\frac{x+2-x-1}{x}=\frac{1}{x}$.
  Corect: minusul schimbă semnul ambilor termeni din numărătorul scăzut, deci rezultatul este $\frac{x+2-(x-1)}{x}=\frac{3}{x}$.
• Greșit: $\frac{x^2-9}{x-3}$ s-a simplificat la $x+3$, iar pentru $x=3$ se scrie valoarea $6$.
  Corect: pentru $x=3$ fracția inițială nu are sens, deci $x=3$ rămâne exclus.

Înainte și după