Descompuneri în factori

Descompunerea în factori transformă o sumă sau o diferență într-un produs. Este operația inversă dezvoltării parantezelor: dacă $3(x+2)=3x+6$, atunci $3x+6=3(x+2)$. Se folosesc trei metode: factorul comun, gruparea termenilor și formulele de calcul prescurtat.

Factorul comun este numărul sau litera care apare în toți termenii. Pentru $3x+6$, numărul $3$ împarte ambii termeni, deci $3x+6=3(x+2)$. La expresii cu mai mulți termeni, factorul comun conține cel mai mare divizor comun al coeficienților și fiecare literă comună, luată cu cel mai mic exponent. În $6x^{2}y-9x{y}^2$, cel mai mare divizor comun al lui $6$ și $9$ este $3$, litera $x$ apare cu exponentul cel mai mic $1$, iar litera $y$ tot cu exponentul $1$. Factorul comun este $3xy$, deci $6x^{2}y-9x{y}^2=3xy(2x-3y)$.

Formulele de calcul prescurtat se citesc de la dreapta la stânga. Expresia $x^2-25$ este diferența pătratelor $x^2$ și $5^2$, deci $x^2-25=(x-5)(x+5)$. Expresia $x^2+6x+9$ este un pătrat perfect, deoarece $9=3^2$ și $6x=2\cdot x\cdot 3$, deci $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$.

Gruparea se folosește la patru termeni, fără factor comun pentru toți: $ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$. Se alcătuiesc perechi de termeni care au un factor comun, iar după scoaterea lui trebuie să rămână aceeași paranteză în ambele perechi.

Exemplu rezolvat. Descompune $2x^2-8$.

1. Scoatem factorul comun $2$: $2(x^2-4)$.
2. Recunoaștem diferența de pătrate: $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
3. Rezultă $2x^2-8=2(x-2)(x+2)$.
4. Verificăm: $(x-2)(x+2)=x^2-4$, iar înmulțirea cu $2$ dă expresia inițială.

Exemplu rezolvat. Descompune $xy+2x+3y+6$.

1. Grupăm primii doi termeni și ultimii doi: $x(y+2)+3(y+2)$.
2. În ambele grupe a rămas paranteza $y+2$; o scoatem factor comun.
3. Obținem $(x+3)(y+2)$.
4. Dezvoltăm: $xy+2x+3y+6$, adică expresia inițială.

Exemplu rezolvat. Descompune $4x^2-12x+9$.

1. Primul termen este $(2x{)}^2$, iar ultimul este $3^2$.
2. Termenul din mijloc este $2\cdot 2x\cdot 3=12x$, deci expresia este un pătrat perfect, cu semnul minus.
3. Rezultă $4x^2-12x+9=(2x-3{)}^2$.
4. Verificăm cu $x=2$: $16-24+9=1$ și $(4-3{)}^2=1$.

La grupare, dacă parantezele rămase diferă, se încearcă altă grupare sau alt factor comun. Dacă a doua pereche are semnul minus, se scoate factorul împreună cu minusul, pentru ca paranteza să rămână aceeași: $ax+ay-bx-by=a(x+y)-b(x+y)=(a-b)(x+y)$.

Forma de produs ajută la ecuații: dacă $(x-5)(x+5)=0$, cel puțin un factor este zero, deci $x=5$ sau $x=-5$. Ajută și la calcule: $37^2-27^2=(37-27)(37+27)=10\cdot 64=640$. Ajută, în sfârșit, la simplificarea fracțiilor algebrice, tratată în lecția „Fracții algebrice”. După orice descompunere, dezvolți produsul înapoi; dacă nu obții expresia inițială, ai pierdut un semn sau un factor.

Greșeli frecvente

• Greșit: din $3x+6$ se scoate factorul $3$ și se scrie $3(x+6)$.
  Corect: împărțirea ambilor termeni la $3$ dă $3(x+2)$.
• Greșit: $x^2+x=x$ după scoaterea factorului $x$, pentru că „nu mai rămâne nimic”.
  Corect: $x^2+x=x(x+1)$; dacă un termen este chiar factorul comun, în paranteză rămâne $1$.
• Greșit: $x^2-25=(x-5{)}^2$.
  Corect: diferența de pătrate dă $(x-5)(x+5)$, iar $(x-5{)}^2=x^2-10x+25$.
• Greșit: $ax+ay-bx-by=a(x+y)-b(x-y)$.
  Corect: din ultimii doi termeni se scoate $-b$, deci rămâne $-b(x+y)$ și rezultatul este $(a-b)(x+y)$.
• Greșit: în $\frac{x^2+3x}{x}$ se „taie” $x$ din primul termen și se obține $x+3x$.
  Corect: se descompune întâi numărătorul, $x(x+3)$, și se simplifică factorul $x$, rezultând $x+3$.

Înainte și după