Inecuații de gradul al doilea

O inecuație de gradul al doilea compară o expresie cu $x^2$ cu zero, de exemplu $x^2-4>0$. Dacă poți descompune expresia în factori, studiezi semnul factorilor. Aici $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Produsul este pozitiv când factorii au același semn: amândoi pozitivi pentru $x>2$ sau amândoi negativi pentru $x<-2$. Mulțimea soluțiilor este $(-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$.

Pe o axă, marchează mai întâi rădăcinile expresiei, în acest caz $-2$ și $2$. Ele împart axa în trei intervale. Alegi câte un număr din fiecare interval și afli semnul expresiei, ori urmărești semnul fiecărui factor într-un tabel de semne. Pentru semnul strict $>$, rădăcinile nu sunt soluții, deoarece acolo expresia este zero. Pentru $\ge$, le incluzi.

Nu este suficient să rezolvi ecuația asociată și să dai numai rădăcinile: soluția unei inecuații este formată din intervale. Nu împărți o inegalitate la o expresie care depinde de $x$, pentru că nu știi dinainte semnul ei și deci nici dacă sensul se inversează. Treci totul într-un membru și studiezi semnul expresiei obținute. De exemplu, $x^2>4x$ se scrie $x^2-4x>0$, adică $x(x-4)>0$, cu soluțiile $(-\infty ;0)\cup (4;+\infty )$; împărțirea la $x$ ar fi pierdut tot intervalul $x<0$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $(x-1)(x-3)\le 0$.

1. Factorii se anulează la $1$ și $3$.
2. Între ele, de pildă la $x=2$, produsul este $(1)(-1)=-1$, deci negativ.
3. În exterior, de pildă la $x=0$, produsul este $(-1)(-3)=3$, deci pozitiv.
4. Deoarece avem $\le$, includem și rădăcinile: $x\in [1;3]$.

Pentru trinomul $a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$, semnul depinde de $a$ și de rădăcinile reale. Dacă $\Delta <0$, trinomul are semnul lui $a$ pentru orice $x$ real. Dacă $\Delta =0$, are semnul lui $a$ pentru orice $x\ne -\frac{b}{2a}$ și este zero în $x=-\frac{b}{2a}$. Dacă $\Delta >0$, are semnul lui $a$ în exteriorul rădăcinilor $x_1<x_2$, semnul opus lui $a$ între ele și este zero în $x_1$ și $x_2$. Grafic, parabola $y=a{x}^2+bx+c$ se află deasupra axei $Ox$ unde trinomul este pozitiv și dedesubt unde este negativ.

Regula rezultă din forma canonică: $a{x}^2+bx+c=a\left[{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a^2}\right]$. În paranteza pătrată apare un pătrat, deci un număr nenegativ, din care se scade $\frac{\Delta }{4a^2}$. Pentru $\Delta <0$ se scade un număr negativ, deci paranteza pătrată este strict pozitivă și trinomul are semnul lui $a$ pentru orice $x$.

O inecuație de gradul al doilea se rezolvă după același plan:

1. Se aduce inecuația la forma $f(x)\square 0$, cu $\square \in \{<,\le ,>,\ge \}$.
2. Se calculează $\Delta$ și, dacă $\Delta \ge 0$, rădăcinile.
3. Se stabilește semnul trinomului după semnul lui $a$ și poziția față de rădăcini.
4. Se scrie mulțimea soluțiilor, cu paranteze rotunde sau drepte după cum capetele sunt excluse sau incluse.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $3x^2-2x-1\ge 0$. Avem $\Delta =4+12=16$, deci $x=\frac{2\pm 4}{6}$, adică $x_1=-\frac{1}{3}$ și $x_2=1$. Coeficientul $a=3$ este pozitiv, deci trinomul este pozitiv în exteriorul rădăcinilor și nul în rădăcini. Soluțiile sunt $\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right]\cup [1;+\infty )$. Pentru $-2x^2+x+1<0$ avem $-2x^2+x+1=-(x-1)(2x+1)$, rădăcinile $-\frac{1}{2}$ și $1$ și $a=-2<0$; trinomul are semnul lui $a$, adică este negativ, în exteriorul rădăcinilor, deci soluțiile sunt $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup (1;+\infty )$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $-x^2+5x-6>0$.

1. Factorizăm: $-x^2+5x-6=-(x-2)(x-3)$, deci inecuația este $-(x-2)(x-3)>0$.
2. Înmulțim cu $-1$ și inversăm sensul: $(x-2)(x-3)<0$.
3. Produsul este negativ între rădăcini: $x\in (2;3)$.
4. Verificare: pentru $x=\frac{5}{2}$, $-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}-6=\frac{1}{4}>0$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $x^2+2x+5>0$. Discriminantul este $\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 5=-16<0$. Coeficientul lui $x^2$ este pozitiv, așadar expresia este pozitivă pentru orice $x\in \mathbb{R}$. Mulțimea soluțiilor este $\mathbb{R}$.

Cazul $\Delta =0$ cere atenție la capete. Trinomul $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$ este nenegativ pentru orice $x$ și se anulează numai în $3$. Prin urmare, $(x-3{)}^2\le 0$ are soluția unică $x=3$, adică $S=\{3\}$; $(x-3{)}^2<0$ nu are soluții; $(x-3{)}^2>0$ are soluțiile $\mathbb{R}\setminus \{3\}$, adică $(-\infty ;3)\cup (3;+\infty )$; iar $(x-3{)}^2\ge 0$ are soluțiile $\mathbb{R}$.

Un sistem de inecuații se rezolvă intersectând mulțimile soluțiilor. Exemplu rezolvat. Rezolvă sistemul $x^2-x-6\le 0$ și $x^2-2x-3>0$.

1. Prima inecuație: $(x-3)(x+2)\le 0$, deci $x\in [-2;3]$.
2. A doua inecuație: $(x-3)(x+1)>0$, deci $x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.
3. Intersecția este $[-2;-1)$: capătul $-2$ este inclus, iar $-1$ este exclus.

Exemplu rezolvat. Un dreptunghi are perimetrul de $40$ m. Pentru ce lățimi $x$ aria este de cel puțin $91$ m${}^2$? Lungimea este $20-x$, deci $0<x<20$ și condiția este $x(20-x)\ge 91$, adică $x^2-20x+91\le 0$. Discriminantul este $400-364=36$, deci rădăcinile sunt $\frac{20\pm 6}{2}$, adică $7$ și $13$. Inecuația are soluțiile $[7;13]$, care respectă și condiția $0<x<20$. Pentru $x=10$, aria este $100\ge 91$, iar pentru $x=5$, aria este $75<91$.

La inecuații stricte, rădăcinile nu intră în soluție; la $\le$ și $\ge$, ele intră dacă expresia este definită acolo.

Întrebările de examen cer numărul soluțiilor întregi sau valori ale parametrului pentru care semnul trinomului se păstrează pe $\mathbb{R}$. Un trinom cu coeficient principal pozitiv este strict pozitiv pentru orice real dacă și numai dacă $\Delta <0$.

Problemă. Numărul soluțiilor întregi ale inecuației $x^2-4x-5\le 0$ este:

• a) $5$
• b) $6$
• c) $4$
• d) $8$
• e) $7$
• f) infinit

Rezolvare. Trinomul se descompune: $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$. Inecuația $(x-5)(x+1)\le 0$ are soluțiile $[-1;5]$, deoarece produsul este negativ între rădăcini și nul în rădăcini. Numerele întregi din interval sunt $-1;0;1;2;3;4;5$, adică $7$ numere. Răspunsul corect este e). Varianta a) apare dacă se rezolvă inecuația strictă, cu intervalul $(-1;5)$ și numerele $0;1;2;3;4$, iar b) dacă se numără un singur capăt al intervalului.

Rezultatul se verifică alegând valori de probă: o valoare din interval (de pildă $x=2$: $4-8-5=-9\le 0$) trebuie să verifice inecuația, iar una din exterior (de pildă $x=6$: $36-24-5=7>0$) nu trebuie să o verifice. Același tip de întrebare poate cere cel mai mare sau cel mai mic întreg care verifică o inecuație; atunci intervalul se calculează întâi, iar capetele se tratează după tipul semnului.

Alt exemplu. Rezolvă $-x^2+4x-3\ge 0$. Înmulțind cu $-1$ se obține $x^2-4x+3\le 0$, adică $(x-1)(x-3)\le 0$, cu soluțiile $[1;3]$. Verificare la capăt: pentru $x=3$ expresia inițială este $-9+12-3=0$.

Alt exemplu. Determinăm $m$ astfel încât $x^2-2mx+1>0$ pentru toate $x\in \mathbb{R}$. Discriminantul este $\Delta =4m^2-4=4(m-1)(m+1)$. Condiția $\Delta <0$ devine $m^2<1$, deci $-1<m<1$. La $m=\pm 1$, trinomul are rădăcină dublă și ia valoarea zero acolo, deci capetele nu sunt admise.

Greșeli frecvente

• Greșit: la $x^2-4>0$ se dau doar rădăcinile $-2$ și $2$.
  Corect: se determină intervalele pe care expresia are semnul cerut, adică $(-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$.
• Greșit: la $x^2-4>0$ se include rădăcina $2$.
  Corect: la $>$ rădăcinile nu intră; ele se includ numai pentru $\ge$ sau $\le$.
• Greșit: produsul a doi factori este pozitiv doar când ambii sunt pozitivi.
  Corect: este pozitiv și când ambii sunt negativi, de aceea $x^2-4>0$ are și soluțiile $x<-2$.
• Greșit: inecuația $x^2>4x$ se împarte la $x$ și rezultă $x>4$.
  Corect: semnul lui $x$ nu e cunoscut; se trece totul într-un membru, $x(x-4)>0$, și se obține $x<0$ sau $x>4$.
• Greșit: $(x-3{)}^2\le 0$ nu are soluții.
  Corect: pătratul este zero pentru $x=3$, deci soluția este $\{3\}$.

Înainte și după