Inecuații cu radicali

O inecuație cu radicali are necunoscuta sub un radical de ordin par, de obicei pătratic. Primul pas este domeniul: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă. Al doilea pas este semnul membrului fără radical, deoarece radicalul pătratic este întotdeauna nenegativ. Ridicarea la pătrat păstrează sensul inegalității numai când ambii membri sunt nenegativi; dacă membrul fără radical poate fi negativ, se separă cazurile. De pildă, $\sqrt{x}<3$ cere $x\ge 0$ și $x<9$, deci $x\in [0;9)$. În schimb, $\sqrt{x}>-1$ este adevărată pe tot domeniul, adică pentru orice $x\ge 0$, fiindcă un număr nenegativ depășește orice număr negativ.

Pentru expresiile $A$ și $B$ ale lui $x$, cele cinci tipuri de inecuații se rezolvă după următoarele echivalențe:

• $\sqrt{A}<B$ dacă și numai dacă $A\ge 0$, $B>0$ și $A<B^2$;
• $\sqrt{A}\le B$ dacă și numai dacă $A\ge 0$, $B\ge 0$ și $A\le B^2$;
• $\sqrt{A}>B$ dacă și numai dacă ($B<0$ și $A\ge 0$) sau ($B\ge 0$ și $A>B^2$);
• $\sqrt{A}\ge B$ dacă și numai dacă ($B<0$ și $A\ge 0$) sau ($B\ge 0$ și $A\ge B^2$);
• $\sqrt{A}<\sqrt{B}$ dacă și numai dacă $0\le A<B$.

Motivul cazurilor este că ridicarea la pătrat păstrează sensul inegalității numai pentru numere nenegative: din $0\le u<v$ rezultă $u^2<v^2$, dar din $-3<2$ nu rezultă $(-3{)}^2<2^2$, fiindcă $9>4$. Cazurile de la a treia și a patra echivalență se reunesc, iar condițiile din fiecare caz se intersectează. Soluția finală este reuniunea intervalelor obținute.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sqrt{x+3}>x+1$.

1. Domeniul este $x+3\ge 0$, adică $x\ge -3$.
2. Cazul $x+1<0$, adică $x<-1$: radicalul este nenegativ și membrul drept este negativ, deci inegalitatea este adevărată. Cu domeniul, obținem $x\in [-3;-1)$.
3. Cazul $x+1\ge 0$, adică $x\ge -1$: ambii membri sunt nenegativi, deci ridicăm la pătrat. Din $x+3>(x+1{)}^2$ rezultă $x^2+x-2<0$, adică $(x+2)(x-1)<0$ și $x\in (-2;1)$. Intersecția cu $[-1;+\infty )$ este $[-1;1)$.
4. Reunim cazurile: $[-3;-1)\cup [-1;1)=[-3;1)$.
5. Verificăm capetele: $x=-3$ dă $0>-2$, adevărat; $x=1$ dă $2>2$, fals.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sqrt{x+2}<x$.

1. Condițiile sunt $x+2\ge 0$, adică $x\ge -2$, și $x>0$, deoarece membrul drept trebuie să fie pozitiv.
2. Ridicăm la pătrat: $x+2<x^2$, deci $x^2-x-2>0$, adică $(x+1)(x-2)>0$. Rezultă $x<-1$ sau $x>2$.
3. Din $x>0$ și $x<-1$ sau $x>2$ rămâne $x>2$.
4. Soluția este $(2;+\infty )$. Verificare: $x=3$ dă $\sqrt{5}\approx 2,24<3$; $x=2$ dă $2<2$, fals.

Dacă ambii membri sunt radicali, se compară expresiile de sub ei. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sqrt{x^2-4}<\sqrt{3x}$. Condiția $x^2-4\ge 0$ dă $x\le -2$ sau $x\ge 2$. Inegalitatea $x^2-4<3x$ înseamnă $x^2-3x-4<0$, adică $(x+1)(x-4)<0$ și $x\in (-1;4)$. Condiția $3x\ge 0$ rezultă din $3x>x^2-4\ge 0$. Intersecția este $[2;4)$. Pentru $x=2$ obținem $0<\sqrt{6}$, adevărat, iar pentru $x=4$ obținem $\sqrt{12}<\sqrt{12}$, fals.

Când semnul „$\ge$” include egalitatea, capetele se verifică separat. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sqrt{x+2}\ge x$. Dacă $x<0$ și $x\ge -2$, inegalitatea este adevărată, deci $[-2;0)$. Dacă $x\ge 0$, ridicăm la pătrat: $x+2\ge x^2$, adică $(x+1)(x-2)\le 0$ și $x\in [-1;2]$, deci $[0;2]$. Reuniunea este $[-2;2]$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sqrt{2x-1}\le x$.

1. Condițiile sunt $2x-1\ge 0$, adică $x\ge \frac{1}{2}$, și $x\ge 0$. Împreună dau $x\ge \frac{1}{2}$.
2. Ridicăm la pătrat: $2x-1\le x^2$, deci $x^2-2x+1\ge 0$, adică $(x-1{)}^2\ge 0$.
3. Inegalitatea $(x-1{)}^2\ge 0$ este adevărată pentru orice $x$, deci nu restrânge domeniul.
4. Soluția este $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$. Verificare: $x=1$ dă $1\le 1$, iar $x=\frac{1}{2}$ dă $0\le \frac{1}{2}$.

La final, soluția se verifică pe câte o valoare din fiecare interval obținut și din fiecare interval exclus. Dacă un interval al soluției conține un punct care nu respectă inecuația inițială, o condiție a fost pierdută.

Pentru radicalul de ordin impar, funcția $\sqrt[3]{t}$ este definită pe $\mathbb{R}$ și strict crescătoare, deci $\sqrt[3]{x-1}<2$ este echivalentă cu $x-1<8$, adică $x<9$, fără alte condiții de semn.

Greșeli frecvente

• Greșit: se ridică la pătrat $\sqrt{x+3}>x+1$ pentru toate valorile din domeniu.
  Corect: se separă cazul $x+1<0$, în care inegalitatea este adevărată fără calcul, de cazul $x+1\ge 0$.
• Greșit: la $\sqrt{x+2}<x$ se rezolvă numai $x+2<x^2$ și se păstrează $x<-1$ sau $x>2$.
  Corect: se adaugă $x>0$ și $x+2\ge 0$, iar soluția este $(2;+\infty )$.
• Greșit: soluția la $\sqrt{x+3}>x+1$ este intersecția cazurilor, adică $[-1;1)$.
  Corect: cazurile se reunesc, deci soluția este $[-3;-1)\cup [-1;1)=[-3;1)$.
• Greșit: se cere $x-1\ge 0$ pentru $\sqrt[3]{x-1}$.
  Corect: radicalul de ordin impar este definit pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Înainte și după