Ecuații bipătrate și ecuații reciproce

Ecuația bipătrată $a{x}^4+b{x}^2+c=0$, cu $a\ne 0$, conține numai puteri pare ale lui $x$ și se reduce la o ecuație de gradul al doilea prin substituția $y=x^2$. Pentru soluții reale se păstrează numai valorile $y\ge 0$; în $\mathbb{C}$ se acceptă și valorile negative ale lui $y$. Ecuația reciprocă are coeficienții egali la aceeași distanță de capete, de pildă $a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$. Dacă $a\ne 0$, atunci $x=0$ nu este soluție, iar ecuația se împarte prin $x^2$ și se rezolvă prin substituția $y=x+\frac{1}{x}$.

La o ecuație bipătrată se rezolvă întâi ecuația $a{y}^2+by+c=0$. Fiecare valoare $y>0$ dă două soluții reale, $x=\pm \sqrt{y}$. Valoarea $y=0$ dă soluția $x=0$. Fiecare valoare reală $y<0$ nu dă soluții reale, dar dă în $\mathbb{C}$ soluțiile $x=\pm i\sqrt{-y}$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $x^4-5x^2+4=0$.

1. Punem $y=x^2$ și obținem $y^2-5y+4=(y-1)(y-4)=0$.
2. Din $y=1$ rezultă $x=\pm 1$; din $y=4$ rezultă $x=\pm 2$.
3. Toate cele patru valori sunt reale. Verificare pentru $x=2$: $16-20+4=0$.

Coeficientul dominant poate fi diferit de $1$. Exemplu rezolvat. Rezolvă $4x^4-17x^2+4=0$.

1. Cu $y=x^2$ obținem $4y^2-17y+4=0$, cu $\Delta =289-64=225$.
2. Rădăcinile sunt $y=\frac{17\pm 15}{8}$, adică $y=4$ sau $y=\frac{1}{4}$.
3. Din $x^2=4$ rezultă $x=\pm 2$, iar din $x^2=\frac{1}{4}$ rezultă $x=\pm \frac{1}{2}$.
4. Verificare pentru $x=\frac{1}{2}$: $4\cdot \frac{1}{16}-17\cdot \frac{1}{4}+4=\frac{1}{4}-\frac{17}{4}+4=0$.

Numărul soluțiilor reale se citește din rădăcinile în $y$: două rădăcini pozitive distincte dau patru soluții reale, o rădăcină pozitivă dublă dă două soluții reale, iar două rădăcini negative nu dau nicio soluție reală.

Exemplu rezolvat. Rezolvă în $\mathbb{R}$ și în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+5x^2+4=0$. Cu $y=x^2$ obținem $y^2+5y+4=(y+1)(y+4)=0$, deci $y=-1$ sau $y=-4$. Ambele valori sunt negative, deci în $\mathbb{R}$ ecuația nu are soluții. În $\mathbb{C}$, din $x^2=-1$ rezultă $x=\pm i$, iar din $x^2=-4$ rezultă $x=\pm 2i$.

Dacă ecuația în $y$ are discriminantul negativ, valorile lui $y$ sunt complexe nereale. Exemplu rezolvat. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+x^2+1=0$. Ecuația $y^2+y+1=0$ are $\Delta =-3<0$, așa că soluțiile se află cel mai ușor descompunând ecuația în factori de gradul al doilea. Completăm pătratul: $x^4+x^2+1=(x^2+1{)}^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$. Din $x^2+x+1=0$ rezultă $x=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$, iar din $x^2-x+1=0$ rezultă $x=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$. În $\mathbb{R}$ nu există soluții, deoarece $x^4+x^2+1\ge 1$.

La o ecuație reciprocă de gradul al patrulea, $x=0$ nu este soluție, deci se împarte prin $x^2$. Grupând termenii, se obține $a\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0$. Cu $y=x+\frac{1}{x}$ avem $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$, deci ecuația devine $a{y}^2+by+c-2a=0$. Pentru fiecare valoare $y$ se rezolvă apoi $x^2-yx+1=0$. Pentru $y$ real, soluțiile $x$ sunt reale dacă și numai dacă $\Delta =y^2-4\ge 0$, adică $|y|\ge 2$. Rădăcinile unei ecuații reciproce vin în perechi $x$ și $\frac{1}{x}$: dacă $x$ este rădăcină, atunci și $\frac{1}{x}$ este rădăcină.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$.

1. Împărțim prin $x^2$: $\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)-4=0$.
2. Cu $y=x+\frac{1}{x}$ obținem $y^2-2+y-4=y^2+y-6=(y-2)(y+3)=0$.
3. Pentru $y=2$: $x^2-2x+1=0$, deci $x=1$, rădăcină dublă.
4. Pentru $y=-3$: $x^2+3x+1=0$, deci $x=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$. Cele două rădăcini au produsul $1$, deci sunt inverse una alteia.

Ecuația $x^4-2x^3+3x^2-2x+1=0$ conduce, prin aceeași substituție, la $y^2-2y+1=(y-1{)}^2=0$, deci $y=1$. Valoarea $1$ are $|y|<2$, iar ecuația $x^2-x+1=0$ are $\Delta =-3<0$: în $\mathbb{R}$ nu există soluții, iar în $\mathbb{C}$ soluțiile sunt $\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$, fiecare dublă.

La o ecuație reciprocă de grad impar, cu coeficienți egali la aceeași distanță de capete, $x=-1$ este rădăcină, deoarece termenii de la capete se anulează câte doi. Exemplu rezolvat. Rezolvă $2x^3+3x^2+3x+2=0$. Grupăm: $2(x^3+1)+3x(x+1)=(x+1)\left(2x^2-2x+2+3x\right)=(x+1)(2x^2+x+2)$. Din $x+1=0$ rezultă $x=-1$. Ecuația $2x^2+x+2=0$ are $\Delta =1-16=-15<0$, deci în $\mathbb{C}$ se adaugă soluțiile $\frac{-1\pm i\sqrt{15}}{4}$; în $\mathbb{R}$ singura soluție este $-1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: din $x^2=4$ se păstrează numai $x=2$.
  Corect: soluțiile sunt $x=\pm 2$.
• Greșit: după $y=x^2=-1$ se declară o soluție reală.
  Corect: în $\mathbb{R}$ nu există soluție; în $\mathbb{C}$ se obține $x=\pm i$.
• Greșit: la ecuația reciprocă se pune $y=x^2$.
  Corect: substituția este $y=x+\frac{1}{x}$, iar $y=x^2$ este substituția bipătratei.
• Greșit: $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2$, dacă $y=x+\frac{1}{x}$.
  Corect: $x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$, pentru că ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$.
• Greșit: orice valoare reală $y$ a lui $x+\frac{1}{x}$ dă soluții reale, de pildă $y=1$.
  Corect: pentru $x$ real, $|x+\frac{1}{x}|\ge 2$, deci $y=1$ nu dă soluții reale.

Înainte și după