Ecuații trigonometrice

O ecuație trigonometrică cere toate valorile necunoscutei pentru care o funcție trigonometrică sau o expresie cu astfel de funcții are o valoare dată. Deoarece sinusul și cosinusul au perioada $2\pi$, soluțiile se repetă din $2\pi$ în $2\pi$. Pentru $\sin x=0$, obținem $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Pentru $\cos x=1$, obținem $x=2k\pi$. Orice ecuație se aduce, prin transformări, la una dintre formele fundamentale $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\mathrm{tg}x=a$, $\mathrm{ctg}x=a$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sin x=\frac{1}{2}$.

1. Pe cercul trigonometric, unghiurile dintr-o perioadă sunt $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{5\pi }{6}$.
2. Adăugăm orice număr întreg de perioade: $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ sau $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
3. Verificăm că sinusul ambelor unghiuri este $\frac{1}{2}$.

Ecuațiile $\sin x=a$ și $\cos x=a$ au soluții reale numai pentru $a\in [-1;1]$. Ecuațiile $\mathrm{tg}x=a$ și $\mathrm{ctg}x=a$ au soluții pentru orice $a\in \mathbb{R}$. Soluțiile generale, cu $k\in \mathbb{Z}$, sunt:

• $\sin x=a⟺x=(-1{)}^k\arcsin a+k\pi$;
• $\cos x=a⟺x=\pm \arccos a+2k\pi$;
• $\mathrm{tg}x=a⟺x=\mathrm{arctg}a+k\pi$;
• $\mathrm{ctg}x=a⟺x=\mathrm{arcctg}a+k\pi$.

Formula pentru sinus conține de fapt două familii de soluții: pentru $k$ par, $k=2m$, se obține $x=\arcsin a+2m\pi$, iar pentru $k$ impar, $k=2m+1$, se obține $x=\pi -\arcsin a+2m\pi$. Pentru cosinus, cele două familii sunt scrise compact prin semnul $\pm$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sin x=-\frac{1}{2}$ în intervalul $[0;2\pi ]$.

1. Cum $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi }{6}$, soluția generală este $x=(-1{)}^{k+1}\frac{\pi }{6}+k\pi$.
2. Pentru $k=1$: $x=\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$. Pentru $k=2$: $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}$.
3. Valorile $k=0$ și $k=3$ dau $-\frac{\pi }{6}$ și $\frac{19\pi }{6}$, în afara intervalului. Soluțiile sunt $\frac{7\pi }{6}$ și $\frac{11\pi }{6}$.

Cazurile particulare se rețin separat: $\sin x=1$ dă $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, $\sin x=-1$ dă $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, $\cos x=0$ dă $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ și $\cos x=-1$ dă $x=\pi +2k\pi$. Tangenta nu este definită pentru $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, iar cotangenta nu este definită pentru $x=k\pi$. Funcția arccotangentă ia valori în $(0;\pi )$, deci $\mathrm{arcctg}(-1)=\frac{3\pi }{4}$ și ecuația $\mathrm{ctg}x=-1$ are soluțiile $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi$. Soluțiile dintr-un interval dat se obțin atribuind lui $k$ valori întregi, până când valorile ies din interval.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $2\cos x-1=0$ și găsește soluțiile din intervalul $[0;2\pi ]$.

1. Ecuația devine $\cos x=\frac{1}{2}$, iar $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$.
2. Soluția generală este $x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
3. Pentru $k=0$ obținem $\frac{\pi }{3}$ și $-\frac{\pi }{3}$; numai $\frac{\pi }{3}$ este în interval. Pentru $k=1$, semnul minus dă $-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$, care este în interval.
4. Soluțiile din $[0;2\pi ]$ sunt $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{5\pi }{3}$.

Ecuația $\sin f(x)=\sin g(x)$ are soluțiile $f(x)=g(x)+2k\pi$ sau $f(x)=\pi -g(x)+2k\pi$. De exemplu, $\sin 2x=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ dă $2x=x+\frac{\pi }{6}+2k\pi$, adică $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$, sau $2x=\pi -x-\frac{\pi }{6}+2k\pi$, adică $x=\frac{5\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3}$. Pentru $\cos f(x)=\cos g(x)$ se scrie $f(x)=\pm g(x)+2k\pi$, iar pentru $\mathrm{tg}f(x)=\mathrm{tg}g(x)$ se scrie $f(x)=g(x)+k\pi$, cu $f(x)$ și $g(x)$ în domeniul tangentei.

Dacă argumentul este o expresie, ecuația fundamentală se rezolvă pentru întreaga expresie. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\mathrm{tg}2x=\sqrt{3}$. Din $\mathrm{tg}2x=\sqrt{3}$ rezultă $2x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Dacă ecuația conține mai multe funcții, se folosesc identitățile. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sin x=\cos x$. Dacă $\cos x=0$, atunci $\sin x=\pm 1\ne 0$, deci acest caz nu dă soluții și se poate împărți prin $\cos x$. Se obține $\mathrm{tg}x=1$, adică $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Când apar două funcții diferite ale aceluiași unghi, se alege o singură funcție și se notează cu $t$. Exemplu rezolvat. Rezolvă $2{\cos }^{2}x-\cos x-3=0$. Cu $t=\cos x$ obținem $2t^2-t-3=(2t-3)(t+1)=0$, deci $t=\frac{3}{2}$ sau $t=-1$. Valoarea $\frac{3}{2}$ nu poate fi cosinus, fiindcă depășește $1$. Din $\cos x=-1$ rezultă $x=\pi +2k\pi$.

Când apar atât sinusul, cât și cosinusul, se aduce ecuația la o singură funcție cu ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Exemplu rezolvat. Rezolvă $2{\sin }^{2}x+\cos x-1=0$. Înlocuim: $2(1-{\cos }^{2}x)+\cos x-1=0$, adică $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=(2\cos x+1)(\cos x-1)=0$. Din $\cos x=1$ rezultă $x=2k\pi$, iar din $\cos x=-\frac{1}{2}$ rezultă $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$.

Produsul nul se folosește în loc de împărțire. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\sin 2x=\sin x$. Cu $\sin 2x=2\sin x\cos x$ obținem $\sin x(2\cos x-1)=0$. Din $\sin x=0$ rezultă $x=k\pi$, iar din $\cos x=\frac{1}{2}$ rezultă $x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru $\sin x=\frac{1}{2}$ se scrie numai $x=\frac{\pi }{6}$.
  Corect: soluțiile sunt $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ și $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$.
• Greșit: ecuația $\sin x=2$ are soluții reale.
  Corect: sinusul ia valori numai în $[-1;1]$, deci ecuația nu are soluții.
• Greșit: din $\sin 2x=\sin x$ se împarte la $\sin x$ și se obține numai $2\cos x=1$.
  Corect: se scoate factor comun $\sin x$, pentru că cazul $\sin x=0$ dă soluțiile $x=k\pi$, care altfel se pierd.
• Greșit: din $\mathrm{tg}x=1$ rezultă $x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$.
  Corect: tangenta are perioada $\pi$, deci $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.
• Greșit: din $\cos x=\frac{1}{2}$ rezultă $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$.
  Corect: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, adică două familii de soluții.

Înainte și după