Ecuații de gradul întâi

O ecuație este o egalitate în care apare un număr necunoscut, notat cu o literă, cel mai des $x$. Expresiile din stânga și din dreapta semnului $=$ se numesc membri. O soluție este o valoare a necunoscutei care face egalitatea adevărată: în $x+3=8$ soluția este $5$, fiindcă $5+3=8$. O ecuație de gradul întâi se poate aduce la forma $ax+b=0$, cu $a\ne 0$, și are o singură soluție, $x=-\frac{b}{a}$.

Egalitatea este ca o balanță în echilibru. Dacă adaugi sau scazi același număr în ambii membri, ori dacă înmulțești sau împarți ambii membri cu același număr nenul, echilibrul se păstrează, iar ecuația obținută are aceeași soluție: este echivalentă cu cea dată. Scopul este să rămână $x$ singur într-un membru. Scrierea „trec termenul în partea cealaltă cu semn schimbat” este doar o prescurtare pentru adunarea opusului în ambii membri.

Când $x$ apare în ambii membri, aduni sau scazi termenii cu $x$ astfel încât să rămână într-un singur membru, iar numerele în celălalt. Când apar paranteze, le desfaci întâi și reduci termenii asemenea. Soluția poate fi un număr negativ sau o fracție, iar în problemele cu text trebuie să aibă sens și în poveste: un număr negativ de mere nu convine.

După ce ai găsit valoarea, o înlocuiești în ecuația inițială. Verificarea descoperă greșelile de semn și de calcul.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $3x+2=14$.

1. Scădem $2$ din ambii membri: $3x=12$.
2. Împărțim ambii membri la $3$: $x=4$.
3. Verificăm: $3\cdot 4+2=14$.

Mulțimea soluțiilor este $\{4\}$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $5x-7=2x+8$.

1. Scădem $2x$ din ambii membri: $3x-7=8$.
2. Adunăm $7$ în ambii membri: $3x=15$.
3. Împărțim la $3$: $x=5$.
4. Verificăm: $5\cdot 5-7=18$ și $2\cdot 5+8=18$.

Problemă cu text. Un caiet costă cu $4$ lei mai mult decât un pix, iar împreună costă $14$ lei. Cât costă pixul?

1. Notăm cu $x$ prețul pixului, în lei; caietul costă $x+4$.
2. Ecuația este $x+(x+4)=14$, adică $2x+4=14$.
3. Obținem $2x=10$, deci $x=5$.
4. Verificăm: pixul costă $5$ lei, caietul $9$ lei, împreună $14$ lei, iar diferența este $4$ lei.

Răspuns: pixul costă $5$ lei. Dacă ai fi obținut un preț negativ, ai fi recitit enunțul, fiindcă ecuația ar fi fost scrisă greșit.

Pentru ecuația $ax+b=0$ cu coeficienți reali, dacă $a\ne 0$ soluția unică este $x=-\frac{b}{a}$. Dacă $a=0$, ecuația devine $b=0$, adică o propoziție care nu mai depinde de $x$: pentru $b=0$ este adevărată pentru orice $x$, deci mulțimea soluțiilor este întreg domeniul, iar pentru $b\ne 0$ este falsă, deci nu are soluții. La ecuațiile cu parametru, aceste cazuri se separă înainte de a împărți.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $(m-2)x=6$, cu $m$ parametru real.

1. Dacă $m\ne 2$, împărțim la $m-2$ și obținem $x=\frac{6}{m-2}$.
2. Dacă $m=2$, ecuația devine $0=6$, imposibilă.
3. Pentru $m=2$ nu există soluție; pentru $m\ne 2$ soluția este $x=\frac{6}{m-2}$.
4. Soluția este pozitivă dacă și numai dacă $m-2>0$, adică $m>2$.

Ecuațiile cu paranteze și cu fracții se aduc întâi la forma $ax+b=0$. Exemplu rezolvat. Rezolvă $3(2x-1)-2(x+4)=5$.

1. Desfacem parantezele: $6x-3-2x-8=5$.
2. Reducem termenii asemenea: $4x-11=5$.
3. Rezultă $4x=16$, deci $x=4$.
4. Verificăm în ecuația inițială: $3(8-1)-2(4+4)=21-16=5$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\frac{2x-1}{3}-\frac{x+2}{4}=1$. Înmulțim fiecare termen cu $12$, cel mai mic multiplu comun al numitorilor, inclusiv termenul $1$: $4(2x-1)-3(x+2)=12$. Desfacem parantezele: $8x-4-3x-6=12$, deci $5x=22$ și $x=\frac{22}{5}$. Verificare: $\frac{44/5-1}{3}=\frac{13}{5}$ și $\frac{22/5+2}{4}=\frac{8}{5}$, iar $\frac{13}{5}-\frac{8}{5}=1$.

Formula soluției rezultă din transformări echivalente: din $ax+b=0$ scădem $b$ din ambii membri și obținem $ax=-b$, apoi împărțim la $a\ne 0$ și obținem $x=-\frac{b}{a}$. Aceleași transformări se folosesc și când literele reprezintă mărimi dintr-o formulă. Exemplu rezolvat. Temperatura în grade Fahrenheit este $F=\frac{9}{5}C+32$, unde $C$ este temperatura în grade Celsius. Pentru $F=77$ avem $\frac{9}{5}C+32=77$, deci $\frac{9}{5}C=45$ și $C=45\cdot \frac{5}{9}=25$. Verificare: $\frac{9}{5}\cdot 25+32=45+32=77$.

Modelarea unei situații cere ca necunoscuta să fie aleasă și explicată în cuvinte, iar soluția să fie citită în context. Exemplu rezolvat. Tatăl are $40$ de ani, iar fiul $12$ ani. Peste câți ani vârsta tatălui va fi dublul vârstei fiului?

1. Notăm cu $x$ numărul de ani care trec; peste $x$ ani tatăl are $40+x$ ani, iar fiul $12+x$ ani.
2. Ecuația este $40+x=2(12+x)$, adică $40+x=24+2x$.
3. Rezultă $x=16$.
4. Verificăm: peste $16$ ani tatăl are $56$ de ani, fiul $28$ de ani, iar $56=2\cdot 28$.

Soluția trebuie să fie un număr natural, deoarece numărul de ani care trec nu poate fi negativ; $16$ respectă această condiție.

Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții: $2x+1=7$ și $x=3$ sunt echivalente, dar $x=3$ și $x^2=9$ nu sunt, pentru că a doua are și soluția $-3$. De aceea, într-un șir de transformări liniare, fiecare pas trebuie să fie reversibil: se poate reveni la ecuația precedentă adunând sau scăzând aceeași expresie ori înmulțind sau împărțind cu un număr nenul.

Nu orice ecuație ajunge la o soluție unică. Din $3(x+2)-x=2x+6$ rezultă $2x+6=2x+6$, adevărat pentru orice $x$: mulțimea soluțiilor este $\mathbb{R}$. Din $2x+1=2x+5$ rezultă $1=5$, fals, deci nu există soluții. Dacă necunoscuta apare la numitor, nu se mai poate aplica această metodă fără a stabili domeniul; ecuațiile de acest fel sunt tratate în Ecuații raționale.

La admitere apar ecuații liniare cu parametru, la care trebuie separate cazurile în care coeficientul lui $x$ se anulează, și ecuații cu modul, rezolvate pe cazuri.

Problemă. Ecuația $(m^2-4)x=m+2$, cu $m\in \mathbb{R}$, are o infinitate de soluții dacă și numai dacă:

• a) $m=2$
• b) $m=-2$
• c) $m\in \{-2;2\}$
• d) $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2;2\}$
• e) $m=0$
• f) nu există un astfel de $m$

Rezolvare. Coeficientul lui $x$ este $m^2-4=(m-2)(m+2)$. Dacă $m\ne \pm 2$, ecuația are soluția unică $x=\frac{1}{m-2}$. Dacă $m=2$, ecuația devine $0\cdot x=4$, fără soluții. Dacă $m=-2$, ecuația devine $0\cdot x=0$, adevărată pentru orice $x$. Răspunsul corect este b). Varianta c) apare când se cere doar anularea coeficientului, fără a verifica termenul liber, iar a) când se reține $m=2$ fără a observa că termenul liber $m+2=4$ este nenul. Variantele d) și e) descriu cazul soluției unice: pentru $m=0$ ecuația este $-4x=2$, cu soluția $x=-\frac{1}{2}$. Varianta f) este falsă, deoarece $m=-2$ convine.

Alt exemplu. Rezolvă $|2x-3|=x+1$. Condiția este $x+1\ge 0$. Dacă $x\ge \frac{3}{2}$, ecuația este $2x-3=x+1$, deci $x=4$, valoare care respectă cazul. Dacă $x<\frac{3}{2}$, ecuația este $3-2x=x+1$, deci $x=\frac{2}{3}$, valoare care respectă cazul și condiția. Mulțimea soluțiilor este $\left\{\frac{2}{3};4\right\}$.

Alt exemplu. Un abonament costă $12$ lei la înscriere și încă $3$ lei pentru fiecare vizită. Totalul plătit este $30$ de lei. Notăm cu $x$ numărul de vizite și scriem $12+3x=30$, de unde $3x=18$ și $x=6$. Soluția este un număr natural, deci are sens în problemă, iar verificarea este $12+3\cdot 6=30$.

Greșeli frecvente

• Greșit: din $3x+2=14$ se scrie $3x=14+2$.
  Corect: se scade $2$ din ambii membri, deci $3x=12$; un termen trecut în celălalt membru își schimbă semnul.
• Greșit: din $0\cdot x=3$ se împarte la $0$ și se scrie $x=\frac{3}{0}$.
  Corect: $0\cdot x$ este $0$ pentru orice $x$, deci ecuația nu are soluții.
• Greșit: $-2(x+4)=-2x+8$.
  Corect: $-2(x+4)=-2x-8$; semnul minus din fața parantezei se aplică fiecărui termen.
• Greșit: la $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10$ se înmulțesc cu $6$ doar fracțiile, rezultând $3x+2x=10$.
  Corect: se înmulțește și termenul $10$, deci $3x+2x=60$ și $x=12$.
• Greșit: ecuația $(m-2)x=6$ are soluția $x=\frac{6}{m-2}$ pentru orice $m$.
  Corect: pentru $m=2$ împărțirea la zero nu are sens, iar ecuația nu are soluții.

Înainte și după