Ecuații raționale

O ecuație rațională are necunoscuta într-un numitor sau conține fracții algebrice, cum este $\frac{x+1}{x-2}=3$. Primul pas este să găsești valorile pentru care numitorii sunt zero și să le excluzi. În exemplu, $x=2$ nu poate fi soluție, fiindcă împărțirea la zero nu are sens. Mulțimea valorilor rămase se numește domeniul ecuației.

După ce ai stabilit domeniul, înmulțești ecuația cu un numitor comun nenul. Obții o ecuație fără fracții, mai simplă, dar soluțiile ei trebuie comparate cu restricțiile inițiale. Un factor care se simplifică poate ascunde tocmai o valoare interzisă; de aceea domeniul se scrie înainte de simplificare.

Pentru două fracții egale, regula „înmulțirii în cruce”, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ dacă și numai dacă $ad=bc$, se aplică doar când $b\ne 0$ și $d\ne 0$. Fracția $\frac{P}{Q}$ este nulă dacă și numai dacă numărătorul $P$ este nul și numitorul $Q$ este nenul. La final, înlocuiești soluția în ecuația inițială. Dacă apare un numitor zero, valoarea se respinge, chiar dacă verifică ecuația obținută după înmulțire.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\frac{x+1}{x-2}=3$.

1. Condiția este $x\ne 2$.
2. Înmulțim cu $x-2$: $x+1=3x-6$.
3. Obținem $7=2x$, deci $x=\frac{7}{2}$.
4. Verificăm: $\frac{\frac{7}{2}+1}{\frac{7}{2}-2}=\frac{9/2}{3/2}=3$.

Soluția este admisă.

Rezolvarea unei ecuații raționale urmează aceiași pași, indiferent de numărul fracțiilor:

1. Se descompun numitorii în factori.
2. Se notează toate valorile care anulează un numitor inițial; ele sunt excluse din domeniu.
3. Se formează cel mai mic multiplu comun al numitorilor și se înmulțește ecuația cu el. Pe domeniu, înmulțirea este echivalentă, pentru că factorul este nenul.
4. Se rezolvă ecuația fără fracții, apoi se păstrează soluțiile care aparțin domeniului.

Zerourile numitorilor se notează înaintea oricărei simplificări, fiindcă o fracție ca $\frac{x^2-4}{x-2}$ este egală cu $x+2$ numai pentru $x\ne 2$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}+2$.

1. $x\ne 1$.
2. Înmulțim cu $x-1$: $x=1+2(x-1)=2x-1$.
3. Rezultă $x=1$, dar este interzis.
4. Ecuația nu are soluții.

Pentru $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$, soluțiile sunt rădăcinile lui $P$ pentru care $Q(x)\ne 0$. Exemplu rezolvat. Rezolvăm $\frac{x^2-4}{x^2-x-2}=0$. Mai întâi factorizăm numitorul: $(x-2)(x+1)$, deci $x\ne 2$ și $x\ne -1$. Numărătorul este $(x-2)(x+2)$ și se anulează la $x=2$ sau $x=-2$. Valoarea $2$ este interzisă de numitor; rămâne numai $x=-2$. Verificăm: numărătorul este zero, iar numitorul este $4+2-2=4\ne 0$. Simplificarea factorului $x-2$ înainte de stabilirea domeniului ar ascunde restricția.

Când ecuația are fracții în ambii membri, o aduci la forma $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ trecând totul într-un membru și reducând la același numitor; apoi cauți rădăcinile numărătorului din domeniu. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=1$.

1. Domeniul este $x\ne 1$ și $x\ne -2$.
2. Înmulțim cu $(x-1)(x+2)$: $2(x+2)+3(x-1)=(x-1)(x+2)$.
3. Stânga este $5x+1$, dreapta este $x^2+x-2$, deci $x^2-4x-3=0$.
4. Discriminantul este $16+12=28$, deci $x=2\pm \sqrt{7}$.
5. Valorile $2+\sqrt{7}\approx 4,65$ și $2-\sqrt{7}\approx -0,65$ nu sunt $1$ sau $-2$, deci ambele sunt soluții.

Restricțiile domeniului pot depinde de un parametru. Exemplu rezolvat. Discută după $m\in \mathbb{R}$ ecuația $\frac{m}{x-1}=2$, cu $x\ne 1$. Înmulțim cu $x-1$: $m=2(x-1)$, deci $x=1+\frac{m}{2}$. Această valoare este acceptată numai dacă este diferită de $1$, adică dacă $m\ne 0$. Pentru $m=0$ formula ar da $x=1$, valoare interzisă, iar ecuația ar deveni $0=2$, falsă. Concluzie: pentru $m\ne 0$, soluția este $x=1+\frac{m}{2}$; pentru $m=0$, mulțimea soluțiilor este vidă. Fără compararea cu domeniul, valoarea $x=1$ ar fi fost acceptată greșit.

Ecuațiile raționale modelează probleme de lucru în comun. Exemplu rezolvat. Doi muncitori fac împreună o lucrare în $2$ ore. Primul ar face-o singur în $x$ ore, iar al doilea în $x+3$ ore. Află $x$.

1. Într-o oră, primul face $\frac{1}{x}$ din lucrare, iar al doilea $\frac{1}{x+3}$. Împreună fac $\frac{1}{2}$ din lucrare într-o oră.
2. Ecuația este $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}$, cu $x>0$.
3. Înmulțim cu $2x(x+3)$: $2(x+3)+2x=x(x+3)$, adică $x^2-x-6=0$, deci $(x-3)(x+2)=0$.
4. Valoarea $x=-2$ nu convine, deoarece $x>0$. Rămâne $x=3$.
5. Verificăm: $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$.

Primul muncitor lucrează singur $3$ ore, iar al doilea $6$ ore.

Zerourile numitorilor inițiali rămân excluse chiar dacă transformările algebrice le-ar ascunde. Când întrebarea cere o sumă sau un produs al soluțiilor, se adună sau se înmulțesc numai soluțiile acceptate; relațiile lui Viète sunt utile după ce ecuația s-a redus la una de gradul al doilea.

Problemă. Suma soluțiilor reale ale ecuației $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{3}{4}$ este:

• a) $\frac{2}{3}$
• b) $-\frac{2}{3}$
• c) $2$
• d) $-\frac{4}{3}$
• e) $\frac{8}{3}$
• f) $\frac{1}{3}$

Rezolvare. Domeniul este $x\ne 0$ și $x\ne -2$. Aducem fracțiile la numitorul comun $x(x+2)$: $\frac{2x+2}{x(x+2)}=\frac{3}{4}$. Înmulțim în cruce: $4(2x+2)=3x(x+2)$, adică $3x^2-2x-8=0$. Discriminantul este $4+96=100$, deci $x=\frac{2\pm 10}{6}$, adică $x=2$ sau $x=-\frac{4}{3}$. Niciuna nu este $0$ sau $-2$, așadar ambele sunt soluții. Suma lor este $\frac{2}{3}$, la fel cu $-\frac{b}{a}=\frac{2}{3}$ din ecuația de gradul al doilea. Răspunsul corect este a). Variantele c) și d) rețin doar una dintre soluții. Varianta f) provine din adunarea numitorilor ($\frac{2}{2x+2}=\frac{3}{4}$ dă $x=\frac{1}{3}$), operație care nu este permisă.

Alt exemplu. Rezolvăm $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=1$, cu $x\ne 1$ și $x\ne -1$. Numitorul comun este $x^2-1$; înmulțim pe domeniu și obținem $(x+1)+(x-1)=x^2-1$, deci $x^2-2x-1=0$. Rădăcinile sunt $x=1\pm \sqrt{2}$. Niciuna nu este $1$ sau $-1$, așadar ambele sunt soluții ale ecuației inițiale.

Alt exemplu. Rezolvăm $\frac{x^2-9}{x-3}=6$, cu $x\ne 3$. Înmulțim cu $x-3$ și obținem $x^2-9=6x-18$, adică $x^2-6x+9=(x-3{)}^2=0$. Singura rădăcină, $x=3$, este interzisă, deci ecuația nu are soluții. Același rezultat rezultă simplificând pe domeniu: $\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$, iar $x+3=6$ dă tot $x=3$, valoare exclusă.

Greșeli frecvente

• Greșit: se înmulțește ecuația cu numitorul înainte de a nota valorile interzise.
  Corect: se stabilește domeniul inițial, apoi se înmulțește.
• Greșit: o valoare care anulează un numitor este păstrată fiindcă verifică ecuația transformată.
  Corect: este respinsă; pentru $\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}+2$ se ajunge la $x=1$, valoare interzisă, deci ecuația nu are soluții.
• Greșit: din $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ se face înmulțirea în cruce fără condiții.
  Corect: se cer $b\ne 0$ și $d\ne 0$.
• Greșit: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{2}{2x+2}$.
  Corect: fracțiile se adună la numitor comun, $\frac{(x+2)+x}{x(x+2)}=\frac{2x+2}{x(x+2)}$; numitorii nu se adună.
• Greșit: ecuația $\frac{x^2-4}{x-2}=0$ are soluțiile $2$ și $-2$.
  Corect: pentru $x=2$ numitorul este zero, deci singura soluție este $-2$.

Înainte și după