Formule de calcul prescurtat

Formulele de calcul prescurtat dau rezultatul unor înmulțiri care apar des, fără să mai înmulțești termen cu termen. Pentru orice numere sau expresii $a$ și $b$ avem:

• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$;
• $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$;
• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, numită diferența de pătrate.

Prima formulă se vede pe un desen. Un pătrat cu latura $a+b$ se împarte în patru părți: un pătrat cu latura $a$, un pătrat cu latura $b$ și două dreptunghiuri cu laturile $a$ și $b$. Aria întregului este $(a+b{)}^2$, iar suma ariilor părților este $a^2+b^2+2ab$. Termenul din mijloc, $2ab$, apare deci din cele două dreptunghiuri. La diferența de pătrate, termenii $ab$ și $-ab$ se anulează.

Formulele funcționează în ambele sensuri. Poți dezvolta $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ sau poți recunoaște expresia $x^2+6x+9$ drept $(x+3{)}^2$. Nu aplica formulele doar după aspect: $x^2+9$ nu este $(x+3{)}^2$, deoarece acest pătrat ar avea și termenul $6x$, iar $x^2-9=(x-3)(x+3)$, nu $(x-3{)}^2$. Dacă uiți o formulă, o poți reface înmulțind parantezele termen cu termen. Semnul termenului din mijloc este semnul din paranteză, iar ultimul termen, $b^2$, nu este niciodată negativ, pentru că un pătrat nu poate fi negativ.

Formulele ușurează și calculele cu numere. Pentru $101^2$ scrii $(100+1{)}^2=10000+200+1=10201$. Pentru $19\cdot 21$ observi numerele $20-1$ și $20+1$, deci $(20-1)(20+1)=20^2-1^2=399$. Pentru $52\cdot 48$ scrii $(50+2)(50-2)=2500-4=2496$.

Formulele se verifică pe numere. Pentru $a=3$ și $b=2$: $(3+2{)}^2=25$, iar $3^2+2\cdot 3\cdot 2+2^2=9+12+4=25$. Dacă ai scris $a^2+b^2$ în loc de formula corectă, ai fi obținut doar $13$, deci lipsesc $12$, adică $2ab$.

O expresie de forma $a^2+2ab+b^2$ sau $a^2-2ab+b^2$ se numește pătrat perfect. Pentru a o recunoaște, verifici trei lucruri: primul și ultimul termen sunt pătrate, iar termenul din mijloc este dublul produsului bazelor lor. De exemplu, în $x^2+10x+25$ primul termen este $x^2$, ultimul este $5^2$, iar $2\cdot x\cdot 5=10x$ este chiar termenul din mijloc. Deci $x^2+10x+25=(x+5{)}^2$. Pentru $x^2+8x+25$ al treilea test nu reușește, fiindcă $2\cdot x\cdot 5=10x$, nu $8x$, și expresia nu este pătrat perfect.

Exemplu rezolvat. Dezvoltă $(2x-3{)}^2$.

1. Identificăm $a=2x$ și $b=3$.
2. Aplicăm $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$.
3. Obținem $(2x{)}^2-2\cdot (2x)\cdot 3+3^2=4x^2-12x+9$.
4. Verificăm cu $x=1$: $(2-3{)}^2=1$ și $4-12+9=1$.

Exemplu rezolvat. Calculează $98\cdot 102$ fără să înmulțești cifră cu cifră.

1. Scriem $98=100-2$ și $102=100+2$.
2. Aplicăm diferența de pătrate: $(100-2)(100+2)=100^2-2^2$.
3. Obținem $10000-4=9996$.

Formulele de calcul prescurtat sunt identități: egalități adevărate pentru orice valori ale literelor. La liceu, ele apar la completarea pătratului, la descompunerea trinoamelor, la raționalizarea numitorilor și la rezolvarea ecuațiilor. Pe lângă pătrate se folosesc formulele pentru cuburi, valabile pentru orice $a,b\in \mathbb{R}$:

• $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$;
• $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$;
• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$;
• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Formula diferenței de cuburi se verifică prin înmulțire: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b-a{b}^2-b^3=a^3-b^3$, deoarece termenii mijlocii se reduc. La ultimele două formule, factorul de gradul al doilea nu se mai descompune în factori reali: $a^2+ab+b^2$ și $a^2-ab+b^2$ sunt strict pozitive când $a$ și $b$ nu sunt ambele zero, deoarece $a^2\pm ab+b^2={\left(a\pm \frac{b}{2}\right)}^2+\frac{3b^2}{4}$. De pildă, $x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$, iar pentru $x=1$ ambele părți dau $9$. Dezvoltarea unui cub se poate verifica pe un caz simplu: pentru $a=x$ și $b=1$, formula $(x+1{)}^3=x^3+3x^2+3x+1$ dă $8$ la $x=1$, ca și $2^3$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $x^2-6x+9=0$.

1. Recunoaștem pătratul unei diferențe: $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$.
2. Ecuația devine $(x-3{)}^2=0$.
3. Singura soluție este $x=3$.

Exemplu rezolvat. Dezvoltă $(x+2{)}^3$.

1. Identificăm $a=x$ și $b=2$ în formula $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$.
2. Calculăm termenii: $x^3$, $3\cdot x^2\cdot 2=6x^2$, $3\cdot x\cdot 2^2=12x$ și $2^3=8$.
3. Obținem $(x+2{)}^3=x^3+6x^2+12x+8$. Pentru $x=1$, ambele părți dau $27$.

Completarea pătratului scrie un trinom ca pătrat plus o constantă. Exemplu rezolvat. Rezolvă $x^2-6x+5=0$ prin completarea pătratului.

1. Adăugăm și scădem $9$: $x^2-6x+9-9+5=(x-3{)}^2-4$.
2. Ecuația devine $(x-3{)}^2=4$, deci $x-3=2$ sau $x-3=-2$.
3. Soluțiile sunt $x=5$ și $x=1$. Verificare: $25-30+5=0$ și $1-6+5=0$.

Același procedeu arată semnul unui trinom. Exemplu rezolvat. Demonstrează că $x^2-4x+5>0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$. Scriem $x^2-4x+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2{)}^2+1$. Cum $(x-2{)}^2\ge 0$ pentru orice $x$, expresia este cel puțin $1$, deci este strict pozitivă; valoarea $1$ se atinge pentru $x=2$.

Un trinom este pătrat perfect numai pentru anumite valori ale parametrului. Exemplu rezolvat. Determină numerele $m$ pentru care $x^2+mx+9$ este pătratul unei expresii. Primul termen este $x^2$, ultimul este $3^2$, deci expresia este $(x\pm 3{)}^2=x^2\pm 6x+9$. Rezultă $m=6$ sau $m=-6$.

Exemplu rezolvat. Factorizează $8x^3-27$.

1. Observăm că $8x^3=(2x{)}^3$ și $27=3^3$.
2. Aplicăm $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ cu $a=2x$ și $b=3$.
3. Obținem $8x^3-27=(2x-3)(4x^2+6x+9)$.
4. Verificăm: înmulțirea celor două paranteze readuce $8x^3-27$.

Formulele permit calculul unor expresii fără a afla numerele. Exemplu rezolvat. Numerele $a$ și $b$ satisfac $a+b=7$ și $ab=10$. Calculează $a^2+b^2$ și $a^3+b^3$.

1. Din $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ rezultă $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=49-20=29$.
2. Din $(a+b{)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$ rezultă $a^3+b^3=343-3\cdot 10\cdot 7=343-210=133$.
3. Verificare cu numerele $2$ și $5$: $4+25=29$ și $8+125=133$.

Exemplu rezolvat. Calculează ${\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}^2$. Din identitatea $(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$, cu $a=\sqrt{5}$ și $b=\sqrt{3}$, rezultă $4\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{15}$. Verificare directă: $\left(8+2\sqrt{15}\right)-\left(8-2\sqrt{15}\right)=4\sqrt{15}$.

Diferența de pătrate servește și la eliminarea radicalilor de la numitor. Pentru $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ se amplifică fracția cu $\sqrt{3}+1$: numitorul devine $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=3-1=2$, deci fracția este $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$. Dacă $x+\frac{1}{x}=3$, ridicarea la pătrat dă $x^2+2+\frac{1}{x^2}=9$, deci $x^2+\frac{1}{x^2}=7$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $(a+b{)}^2=a^2+b^2$.
  Corect: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$, cu termenul dublu din mijloc.
• Greșit: $(a-b{)}^2=a^2-b^2$.
  Corect: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$; expresia $a^2-b^2$ este produsul $(a-b)(a+b)$.
• Greșit: $x^2+9=(x+3{)}^2$.
  Corect: $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$, deci lipsește termenul $6x$.
• Greșit: $(2x+1{)}^2=2x^2+4x+1$.
  Corect: coeficientul se ridică și el la pătrat, iar rezultatul este $4x^2+4x+1$.
• Greșit: $(a-b{)}^3=a^3-b^3$.
  Corect: $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$; expresia $a^3-b^3$ este $(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
• Greșit: $a^3+b^3=(a+b)(a^2+ab+b^2)$.
  Corect: al doilea factor este $a^2-ab+b^2$, cu minus în mijloc.

Înainte și după

Întrebări frecvente