Expresii algebrice

O expresie algebrică folosește numere, litere și operații. Litera ține locul unui număr. Dacă un caiet costă $x$ lei, iar un pix costă $2$ lei, trei caiete și un pix costă $3x+2$ lei. Pentru $x=4$, valoarea expresiei este $3\cdot 4+2=14$ lei. Expresia singură nu este o ecuație: nu afirmă că este egală cu ceva.

În termenul $5x^2$, numărul $5$ este coeficientul, iar $x^2$ este partea literală. Termenii asemenea au aceeași parte literală și se pot reduce: $2x+5x=7x$ și $5x^2-2x^2=3x^2$. Termenii $5x^2$ și $5x$ nu sunt asemenea, deși au același coeficient. Nici $2x+5$ nu devine $7x$, fiindcă $5$ nu conține litera $x$.

Ordinea operațiilor este cea de la numere: întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile. Parantezele arată ce se calculează împreună. O paranteză precedată de plus se elimină fără nicio schimbare. O paranteză precedată de minus se elimină schimbând semnul fiecărui termen din ea: $-(x-3)=-x+3$. Un număr din fața parantezei se înmulțește cu fiecare termen din paranteză: $2(x+3)=2x+6$. Aceasta este distributivitatea, $a(b+c)=ab+ac$. La produsul a două paranteze, fiecare termen din prima se înmulțește cu fiecare termen din a doua: $(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$.

La înmulțirea termenilor se înmulțesc coeficienții și se adună exponenții aceleiași litere: $2x\cdot 3x=6x^2$ și $x^2\cdot x^3=x^5$. Ridicarea la putere se aplică și coeficientului: $(3x{)}^2=9x^2$, nu $3x^2$. Verifică prin înlocuire: $3x(x-2)+4x=3x^2-6x+4x=3x^2-2x$, iar pentru $x=3$ ambele forme dau $21$.

Exemplu rezolvat. Simplifică $2(x+3)-x+4$.

1. Desfacem paranteza: $2x+6-x+4$.
2. Grupăm termenii asemenea: $(2x-x)+(6+4)$.
3. Obținem $x+10$.

Verificare cu $x=2$: expresia inițială este $2\cdot 5-2+4=12$, iar cea finală este $2+10=12$.

Exemplu rezolvat. Simplifică $(x+2)(x-3)-x(x-1)$.

1. Desfacem prima pereche de paranteze: $(x+2)(x-3)=x^2-x-6$.
2. Desfacem a doua: $x(x-1)=x^2-x$.
3. Scădem, schimbând semnele termenilor din a doua expresie: $x^2-x-6-x^2+x=-6$.
4. Expresia are valoarea $-6$ pentru orice $x$. Verificare cu $x=5$: $7\cdot 2-5\cdot 4=14-20=-6$.

O expresie poate avea și fracții. Atunci anumite valori ale literei sunt interzise: în $\frac{2}{x-1}$, valoarea $x=1$ nu este admisă, pentru că numitorul ar fi zero. Înainte de a înlocui o valoare sau de a simplifica, verifică dacă expresia este definită.

La liceu, o expresie se studiază pe domeniul ei maxim de definiție, adică pe mulțimea valorilor lui $x$ pentru care toate operațiile au sens. Condițiile sunt: numitorul este diferit de zero, expresia de sub un radical de ordin par este nenegativă, iar argumentul unui logaritm este strict pozitiv.

Exemplu rezolvat. Află domeniul expresiei $\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}+\lg (3-x)$.

1. Radicalul cere $x+2\ge 0$, adică $x\ge -2$.
2. Numitorul cere $x-1\ne 0$, adică $x\ne 1$.
3. Logaritmul cere $3-x>0$, adică $x<3$.
4. Intersecția condițiilor este $[-2;1)\cup (1;3)$.

Când numitorul este un trinom, se rezolvă ecuația numitorului egalat cu zero. Pentru $\frac{1}{x^2-5x+6}$, avem $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, deci numitorul se anulează pentru $x=2$ și $x=3$, iar domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{2;3\}$.

Două expresii sunt egale (formează o identitate) dacă au aceeași valoare pentru toate valorile admise ale literelor. Pentru a arăta că două expresii nu sunt egale, este suficient un contraexemplu: $x^2$ și $2x$ au aceeași valoare pentru $x=2$, dar pentru $x=3$ obținem $9$ și $6$, deci nu sunt identice. Contează și domeniul: expresiile $\frac{x^2-x}{x}$ și $x-1$ au aceeași valoare pentru orice $x\ne 0$, dar prima nu este definită pentru $x=0$, iar a doua are acolo valoarea $-1$. Egalitatea lor este valabilă numai pe $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, adică pe domeniul comun al celor două expresii.

Exemplu rezolvat. Simplifică $\frac{x^2-1}{x-1}$.

1. Domeniul inițial: $x\ne 1$.
2. Factorizăm: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.
3. Pentru $x\ne 1$, fracția este egală cu $x+1$; valoarea $x=1$ rămâne exclusă.

Exemplu rezolvat. Simplificăm $\frac{x^2-4}{x^2+3x+2}$. Factorizăm: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$. Domeniul inițial exclude $x=-1$ și $x=-2$. Pentru celelalte valori, fracția devine $\frac{x-2}{x+1}$. Valoarea $x=-2$ rămâne exclusă chiar dacă factorul $x+2$ nu mai apare în forma simplificată.

Expresiile cu radicali cer atenție la semn. Pentru orice număr real $t$, $\sqrt{t^2}=|t|$, nu $t$. Exemplu rezolvat. Simplifică $\sqrt{x^2-6x+9}$. Avem $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$, deci expresia este $\sqrt{(x-3{)}^2}=|x-3|$. Pentru $x\ge 3$ aceasta este $x-3$, iar pentru $x<3$ este $3-x$. Verificare cu $x=1$: $\sqrt{1-6+9}=\sqrt{4}=2=3-1$.

Uneori valoarea numerică se află mai ușor după transformarea expresiei. Exemplu rezolvat. Calculează $x^2-2x$ pentru $x=1+\sqrt{2}$. Observăm că $x^2-2x=(x-1{)}^2-1$. Pentru $x=1+\sqrt{2}$ avem $x-1=\sqrt{2}$, deci valoarea este $(\sqrt{2}{)}^2-1=2-1=1$. Verificare directă: $(1+\sqrt{2}{)}^2-2(1+\sqrt{2})=1+2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2}=1$.

Expresiile cu parametru se reduc la forma $Ax+B$, cu $A$ și $B$ depinzând de parametru. Exemplu rezolvat. Determină numărul real $m$ pentru care expresia $(m-2)x+(m+1)(x-1)$ are aceeași valoare pentru orice $x$.

1. Desfacem parantezele: $(m-2)x+(m+1)x-(m+1)$.
2. Grupăm termenii cu $x$: $(2m-1)x-(m+1)$.
3. Valoarea nu depinde de $x$ dacă și numai dacă $2m-1=0$, adică $m=\frac{1}{2}$.
4. Atunci expresia este egală cu $-\left(\frac{1}{2}+1\right)=-\frac{3}{2}$ pentru orice $x$.

Transformările de expresii servesc la demonstrarea identităților. Exemplu rezolvat. Demonstrează că $(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$ pentru orice numere reale $a$ și $b$. Dezvoltăm: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ și $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$. Diferența lor este $4ab$, deoarece $a^2$ și $b^2$ se reduc. Verificare cu $a=3$, $b=2$: $25-1=24=4\cdot 6$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $2x+5=7x$.
  Corect: se reduc numai termenii asemenea; $2x+5$ nu se poate reduce.
• Greșit: $-(x-3)=-x-3$.
  Corect: minusul din fața parantezei schimbă ambele semne, deci $-(x-3)=-x+3$.
• Greșit: $(2x{)}^2=2x^2$.
  Corect: pătratul se aplică și coeficientului, deci $(2x{)}^2=4x^2$.
• Greșit: $\sqrt{x^2}=x$ pentru orice $x$ real.
  Corect: $\sqrt{x^2}=|x|$; pentru $x=-3$ valoarea este $3$, nu $-3$.
• Greșit: după simplificarea lui $\frac{x^2-1}{x-1}$ se admite $x=1$.
  Corect: restricția $x\ne 1$ din expresia inițială se păstrează.

Înainte și după

Întrebări frecvente