Ecuații și inecuații — introducere

O ecuație este o egalitate între două expresii care conțin o necunoscută, de exemplu $2x-1=7$. A o rezolva într-o mulțime dată, numită domeniu ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ sau $\mathbb{R}$), înseamnă a găsi mulțimea soluțiilor $S$: toate valorile din domeniu pentru care egalitatea devine adevărată. Aceeași ecuație poate avea mulțimi de soluții diferite pe domenii diferite: $2x=5$ are soluția $x=\frac{5}{2}$ în $\mathbb{R}$, dar în $\mathbb{N}$ nu are nicio soluție, adică $S=\varnothing$.

O inecuație se scrie cu $<$, $\le$, $>$ sau $\ge$ în loc de $=$, iar în $\mathbb{R}$ mulțimea ei de soluții este un interval sau o reuniune de intervale. Două ecuații sunt echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții pe același domeniu. Rezolvarea înseamnă înlocuirea ecuației date, pas cu pas, prin ecuații echivalente tot mai simple, până când soluțiile se văd direct.

Fiecare familie de ecuații are metoda ei și o lecție proprie. Ecuațiile liniare se află în Ecuații de gradul întâi, Inecuații de gradul întâi și Sisteme de ecuații liniare. Pentru $a{x}^2+bx+c=0$ mergi la Ecuații de gradul al doilea, Relațiile lui Viète și Inecuații de gradul al doilea. Necunoscuta la numitor, sub radical sau în exponent se tratează în Ecuații raționale, Ecuații cu radicali și Ecuații exponențiale, iar logaritmii și funcțiile trigonometrice în Ecuații logaritmice și Ecuații trigonometrice.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $(x-1)(x+3)=0$ în $\mathbb{R}$ și în $\mathbb{N}$.

1. Un produs este nul dacă și numai dacă cel puțin un factor este nul: $x-1=0$ sau $x+3=0$.
2. Obținem $x=1$ sau $x=-3$.
3. În $\mathbb{R}$ ambele valori sunt soluții, deci $S=\{-3;1\}$. În $\mathbb{N}$ rămâne doar $1$, pentru că $-3$ nu este număr natural: $S=\{1\}$.

Domeniul ecuației este mulțimea valorilor pentru care toate expresiile din ecuație au sens: numitorii sunt nenuli, radicalii de ordin par au radicandul $\ge 0$, argumentul unui logaritm este pozitiv, iar baza lui este pozitivă și diferită de $1$. O valoare din afara domeniului nu poate fi soluție, așa că domeniul se scrie înaintea oricărei transformări.

Sunt transformări echivalente: adunarea sau scăderea aceleiași expresii (definite pe tot domeniul) în ambii membri, înmulțirea sau împărțirea ambilor membri cu un număr nenul și înlocuirea unei expresii cu alta egală cu ea pe tot domeniul. Ridicarea la pătrat și înmulțirea cu o expresie care se anulează în unele puncte produc o ecuație-consecință: soluțiile ecuației date se găsesc printre ale celei noi, dar pot apărea și valori străine, deci fiecare candidat se verifică în ecuația inițială. Împărțirea la o expresie cu necunoscută pierde soluțiile în care expresia se anulează, iar acestea nu se cunosc dinainte.

Exemplu rezolvat. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $x(x-1)=x$.

1. Nu împărțim la $x$, fiindcă am pierde soluția $x=0$.
2. Mutăm tot în primul membru: $x(x-1)-x=0$, adică $x(x-2)=0$.
3. Rezultă $x=0$ sau $x=2$, iar ambele verifică ecuația: $S=\{0;2\}$.

Exemplu rezolvat. Din $\sqrt{x+2}=x$ deducem $x\ge 0$. Pătrăm și obținem $x+2=x^2$, adică $(x-2)(x+1)=0$, cu candidații $2$ și $-1$. Doar $2$ respectă condiția $x\ge 0$, iar în ecuația inițială $\sqrt{4}=2$. Soluția este $S=\{2\}$.

La inecuații nu înmulțim cu o expresie al cărei semn nu îl cunoaștem; separăm cazurile. Exemplu rezolvat. Rezolvă $\frac{1}{x}<1$, cu $x\ne 0$.

1. Pentru $x>0$ înmulțim cu $x$ și sensul rămâne: $1<x$.
2. Pentru $x<0$ înmulțim cu $x$ și sensul se inversează: $1>x$, adevărat pentru orice $x<0$.
3. Reunim cazurile: $S=(-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$. Verificare: $\frac{1}{2}<1$ este adevărat pentru $x=2$, $2<1$ este fals pentru $x=\frac{1}{2}$.

Ecuațiile $x=2$ și $x^2=2x$ nu sunt echivalente: prima are $S=\{2\}$, a doua are $S=\{0;2\}$, deoarece a doua se obține din prima prin înmulțire cu $x$, expresie care se anulează pentru $x=0$. Invers, din $x^2=2x$ se ajunge la $x=2$ numai dacă se cunoaște în plus $x\ne 0$. La fel, ridicarea la pătrat este echivalentă numai când ambii membri sunt nenegativi: pentru $A\ge 0$ și $B\ge 0$, $A=B$ dacă și numai dacă $A^2=B^2$. De aceea fiecare rezolvare are aceeași ordine: se stabilește domeniul, se transformă ecuația, se rezolvă ecuația simplă obținută, apoi se păstrează doar valorile din domeniu care verifică ecuația dată. La inecuații, ultimul pas este scrierea mulțimii soluțiilor ca interval sau reuniune de intervale, nu ca o listă de valori.

Graficele ajută la numărarea soluțiilor: soluțiile reale ale ecuației $f(x)=g(x)$ sunt abscisele punctelor comune ale graficelor celor două funcții. Parabola $y=x^2$ și dreapta $y=x+2$ se taie în punctele de abscise $-1$ și $2$, deci $x^2=x+2$ are exact aceste două soluții.

La examen apar adesea ecuații cu modul, unde se separă cazurile după semnul expresiei din modul și se verifică fiecare candidat în cazul lui.

Problemă. Mulțimea soluțiilor reale ale ecuației $|x-2|=3-2x$ este:

• a) $\left\{\frac{5}{3}\right\}$
• b) $\left\{1;\frac{5}{3}\right\}$
• c) $\left\{\frac{5}{3};5\right\}$
• d) $\{1\}$
• e) $\varnothing$
• f) $\left\{\frac{1}{3};1\right\}$

Rezolvare. Dacă $x\ge 2$, ecuația este $x-2=3-2x$, de unde $x=\frac{5}{3}$; valoarea nu respectă $x\ge 2$, deci se respinge. Dacă $x<2$, ecuația este $2-x=3-2x$, de unde $x=1$, valoare care respectă $x<2$. Verificare în ecuația inițială: $|1-2|=1=3-2$. Răspunsul corect este d). Varianta a) apare când se oprește primul caz fără a verifica condiția $x\ge 2$. Varianta b) rezultă din ridicarea la pătrat, care dă $3x^2-8x+5=0$ cu rădăcinile $1$ și $\frac{5}{3}$, păstrate fără a observa că $3-2x$ trebuie să fie nenegativ. Varianta c) apare când în al doilea caz se scrie $-x-2$ în loc de $2-x$, ceea ce dă $x=5$.

Când enunțul oferă variante de răspuns, înlocuirea fiecărei valori candidate în ecuația inițială este o verificare sigură: aici $x=\frac{5}{3}$ dă $|\frac{5}{3}-2|=\frac{1}{3}$, iar $3-\frac{10}{3}=-\frac{1}{3}$, deci nu verifică, în timp ce $x=1$ verifică.

Alt exemplu. Pentru $|x-2|=\frac{x}{2}$ avem $x\ge 0$. Pentru $x\ge 2$, $x-2=\frac{x}{2}$ dă $x=4$. Pentru $0\le x<2$, $2-x=\frac{x}{2}$ dă $x=\frac{4}{3}$. Ambele valori respectă cazul lor, deci $S=\left\{\frac{4}{3};4\right\}$. La ecuațiile cu modul, mulțimea finală este reuniunea soluțiilor valide din toate cazurile; o valoare găsită într-un caz, dar aflată în afara lui, nu intră în ea.

Greșeli frecvente

• Greșit: se rezolvă $x(x-1)=x$ prin împărțire la $x$, rezultând $x-1=1$ și $S=\{2\}$.
  Corect: împărțirea pierde soluția $x=0$; se trece totul într-un membru și se factorizează, de unde $S=\{0;2\}$.
• Greșit: după pătrarea lui $\sqrt{x}=x-2$ se acceptă și $x=1$.
  Corect: în ecuația inițială $\sqrt{1}=1$ și $1-2=-1$, deci $1$ nu este soluție; se verifică fiecare candidat după o transformare care nu este echivalentă.
• Greșit: ecuația $2x=5$ are soluția $x=\frac{5}{2}$ și în $\mathbb{N}$.
  Corect: $\frac{5}{2}$ nu este număr natural, deci în $\mathbb{N}$ mulțimea soluțiilor este vidă.
• Greșit: din $\frac{1}{x}<1$ se înmulțește cu $x$ și se scrie $1<x$.
  Corect: semnul lui $x$ nu e cunoscut; pentru $x<0$ inegalitatea este adevărată, deci $S=(-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$.

Înainte și după

Întrebări frecvente