Demonstrația și infirmarea

O demonstrație întemeiază o teză prin premise acceptate și printr-o inferență validă. Teza este enunțul de dovedit; fundamentul cuprinde premisele; procedeul este modul de trecere la concluzie. O demonstrație nu devine corectă doar pentru că teza este adevărată: și premisele, și legătura logică trebuie verificate.

O infirmare arată că o teză sau un argument nu rezistă. Pentru o teză universală, un singur contraexemplu autentic este suficient: „Toate păsările zboară” este infirmată de pinguin. Pentru a arăta că un argument deductiv este invalid, construiește o situație în care premisele sunt adevărate și concluzia falsă. Aceasta nu dovedește neapărat că acea concluzie este falsă în realitate; dovedește doar că argumentul nu o susține necesar.

În demonstrația directă, teza urmează prin pași expliciți din premise. În demonstrația indirectă, presupui negația tezei și arăți că intră în contradicție cu premisele acceptate. La propoziții compuse, validitatea unui argument poate fi testată prin tabel de adevăr: caută rândurile în care toate premisele sunt adevărate. Dacă pe toate concluzia este adevărată, argumentul este valid.

Structura demonstrației. Teza este enunțul de dovedit, fundamentul este mulțimea premiselor folosite, iar procedeul este felul în care premisele conduc la teză. Reguli de corectitudine: teza rămâne aceeași pe tot parcursul (altfel apare ignoratio elenchi); fundamentul este adevărat și nu depinde de teză (altfel apare cercul vicios, petitio principii); legătura dintre fundament și teză este validă (altfel apare non sequitur).

Fundamentul cuprinde propoziții deja acceptate ca adevărate: definiții, axiome, legi științifice, fapte constatate sau propoziții demonstrate anterior. Exemplu: teza „Suma unghiurilor unui patrulater convex este $360^{\circ }$”. Fundamentul: o diagonală împarte patrulaterul convex în două triunghiuri, iar suma unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ }$. Procedeul: unghiurile celor două triunghiuri formează împreună unghiurile patrulaterului, deci suma este $2\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }$. Demonstrația se deosebește de simpla argumentare: într-o demonstrație fundamentul este format din propoziții adevărate, iar teza rezultă din ele în mod necesar; o argumentare poate folosi și premise doar plauzibile și urmărește să convingă, nu neapărat să dovedească.

Tipuri de demonstrație. Directă: teza se obține din premise prin pași valizi. Indirectă prin reducere la absurd: se presupune negația tezei și se derivă o contradicție. Indirectă prin eliminare: se enumeră alternativele posibile, se elimină toate în afară de teză.

La reducerea la absurd, antiteza trebuie să fie contradictoria tezei, nu contrara ei: două propoziții contrare pot fi ambele false, deci infirmarea contrarei nu stabilește teza. Din falsitatea antitezei rezultă adevărul tezei prin terțul exclus. La eliminare, condiția este ca lista posibilităților să fie completă; altfel concluzia nu rezultă. Exemplu: „Cheia putea fi lăsată doar în birou, în mașină sau acasă; nu este în birou și nu este în mașină; deci este acasă.”

Infirmarea (combaterea) poate viza oricare dintre cele trei elemente ale demonstrației:

Ultimele două rânduri sunt cele mai importante pentru grile: o demonstrație greșită nu face teza falsă. O propoziție adevărată poate fi susținută, din greșeală, cu argumente false sau printr-un raționament nevalid. Infirmarea unei propoziții universale cere un singur contraexemplu: „Toate păsările zboară” este infirmată de „Pinguinii sunt păsări care nu zboară”, adică de adevărul contradictoriei ei, o propoziție O. O propoziție E se infirmă prin contradictoria ei, I; raporturile acestea sunt în lecția despre propozițiile categorice. La combaterea sau infirmarea unei demonstrații, distinge ce anume este atacat: teza, argumentele sau legătura dintre ele.

Combaterea poate privi teza (se arată că aceasta are consecințe false sau este infirmată de un contraexemplu), fundamentul (se arată că o premisă este falsă) sau procedeul (se arată că inferența este invalidă). Combaterea unui punct al demonstrației nu stabilește automat falsitatea tezei.

Reducerea la absurd, pe pași. Teza: nu există cel mai mare număr natural.

1. Presupunem negația tezei: există un număr natural $N$ mai mare decât toate celelalte.
2. Numărul $N+1$ este tot natural.
3. Dar $N+1>N$, ceea ce contrazice faptul că $N$ este cel mai mare.
4. Presupunerea este imposibilă, deci teza este adevărată.

Un argument prin reducere la absurd este valid chiar dacă teza nu poate fi verificată direct: contradicția derivată arată că negația ei este incompatibilă cu premisele.

Exemplu lucrat 1. Premise: $p\to q$ și $\neg q$. Dorim $\neg p$. Presupunem pentru contradicție $p$. Din $p\to q$ și $p$ obținem $q$, care contrazice $\neg q$. Presupunerea $p$ este imposibilă împreună cu premisele; rezultă $\neg p$. Aceasta este forma modus tollens.

Exemplu lucrat 2: demonstrație prin eliminare. „Cheia este în sertar sau în geantă. Nu este în geantă. Deci este în sertar.” Fundamentul cuprinde disjuncția, presupusă exhaustivă, și negația unui membru. Procedeul este silogismul disjunctiv: $p\vee q$, $\neg q$, deci $p$. Demonstrația este corectă dacă disjuncția cuprinde toate locurile posibile; dacă cheia ar putea fi și în buzunar, fundamentul este contestabil.

Exemplu lucrat 3: tabel de adevăr. Testăm argumentul $p\to q$, $q$, deci $p$, pe rândurile $(p,q)$. Rândul $(A,A)$: premisele sunt adevărate, concluzia $p$ este adevărată. Rândul $(A,F)$: prima premisă este falsă. Rândul $(F,A)$: premisele $p\to q$ și $q$ sunt adevărate, concluzia $p$ este falsă. Rândul $(F,F)$: a doua premisă este falsă. Rândul $(F,A)$ este un contraexemplu, deci argumentul este invalid: afirmarea consecventului.

Exemplu lucrat 4: contraexemplu. Teza „Toate numerele prime sunt impare” este universală. Numărul $2$ este prim și par, deci este un contraexemplu autentic: aparține subiectului („număr prim”) și nu are proprietatea predicatului („impar”). Un singur astfel de caz infirmă teza.

Distinge atacul tezei de atacul temeiului și de atacul procedeului. Un contraexemplu la o premisă o poate respinge fără a decide valoarea tezei. Dacă găsești imediat o atribuire cu premise adevărate și concluzie falsă, nu e nevoie de tot tabelul: argumentul este invalid.

Argumente ipotetice. Un silogism ipotetic pur leagă două condiționale: $p\to q$, $q\to r$, deci $p\to r$; concluzia rămâne condițională. Un argument ipotetico-categoric are formele valide modus ponens ($p\to q$, $p$, deci $q$) și modus tollens ($p\to q$, $\neg q$, deci $\neg p$). Afirmarea consecventului ($p\to q$, $q$, deci $p$) și negarea antecedentului ($p\to q$, $\neg p$, deci $\neg q$) sunt invalide: cazul $p$ fals și $q$ adevărat le infirmă.

Argumente disjunctive. Silogismul disjunctiv, $p\vee q$, $\neg p$, deci $q$, este valid pentru disjuncția inclusivă și pentru cea exclusivă. Schema $p\vee q$, $p$, deci $\neg q$ este validă doar pentru disjuncția exclusivă: dacă două persoane pot participa împreună, participarea uneia nu o exclude pe cealaltă.

Dileme. Dilema constructivă complexă are schema $p\to r$, $q\to s$, $p\vee q$, deci $r\vee s$; dacă ambele condiționale dau același rezultat ($p\to r$, $q\to r$), rezultă $r$ (forma simplă). Dilema distructivă complexă are schema $p\to r$, $q\to s$, $\neg r\vee \neg s$, deci $\neg p\vee \neg q$, nu $\neg p\wedge \neg q$. O dilemă se combate prin respingerea disjuncției pretins exhaustive, a unei condiționale sau a inferenței; sofismul falsei dileme apare numai când alternativele reale sunt restrânse nejustificat.

Enunț comun. Dacă cererea este depusă online, primește confirmare electronică. Dacă este depusă la ghișeu, primește recipisă. Cererea a fost depusă online sau la ghișeu.

1. Din text decurge că: a. cererea primește confirmare electronică; b. cererea primește recipisă; c. cererea primește confirmare electronică sau recipisă; d. cererea primește și confirmare, și recipisă.

2. Schema argumentului este: a. dilemă constructivă complexă; b. dilemă distructivă complexă; c. silogism ipotetic pur; d. modus tollens.

3. Dacă cererea nu a primit recipisă, care dintre afirmațiile următoare nu poate fi dedusă din text? a. Cererea nu a fost depusă la ghișeu.; b. Cererea a fost depusă online.; c. Cererea a primit confirmare electronică.; d. Cererea a fost depusă la ghișeu.

4. Argumentul „Dacă a plouat, solul este ud. Solul este ud. Deci a plouat” este: a. modus ponens; b. modus tollens; c. afirmarea consecventului, invalid; d. negarea antecedentului, invalid.

Răspunsuri:

• Itemul 1: c) fiecare alternativă conduce la un rezultat, deci rezultă disjuncția rezultatelor.
• Itemul 2: a) $p$ = depunere online, $q$ = depunere la ghișeu, $r$ = confirmare, $s$ = recipisă.
• Itemul 3: d) din $\neg s$ și $q\to s$ rezultă $\neg q$, apoi din $p\vee q$ rezultă $p$ și $r$; afirmația d) contrazice $\neg q$.
• Itemul 4: c) solul poate fi ud și din alt motiv.

Unde apare la examen

La admiterea la Facultatea de Drept a Universității din București, demonstrația face parte din programa de Gândire critică, capitolul 3, „Tehnici de argumentare”, subcapitolul 3.4, „Demonstrația și combaterea”: definire și caracterizare generală, structura demonstrației, corectitudinea în demonstrare și tipurile de demonstrație. Bibliografia este manualul Logică și argumentare pentru clasa a IX-a (Lupșa, Bratu și Stoica, Corvin, 2004).

Proba UB din 2026 include 20 de itemi de Gândire critică; tematica nu fixează repartizarea lor pe capitole. Demonstrația folosește principiile din lecția despre logică și argumentare (noncontradicția și terțul exclus stau la baza reducerii la absurd), iar erorile ei au corespondent în erorile de argumentare.

Greșeli frecvente

• Greșit: Un contraexemplu la argument demonstrează automat că teza este falsă.
  Corect: El poate arăta numai că teza nu rezultă din acele premise.
• Greșit: Pentru a infirma „Toți elevii poartă ecuson” trebuie examinați toți elevii.
  Corect: Un elev fără ecuson este suficient.
• Greșit: O teză adevărată face demonstrația corectă.
  Corect: Procedeul trebuie să fie valid, iar premisele întemeiate.
• Greșit: Teza și fundamentul sunt același lucru.
  Corect: teza este ce trebuie dovedit; fundamentul este ce folosești ca dovadă.
• Greșit: Reducerea la absurd și eliminarea sunt aceeași demonstrație indirectă.
  Corect: reducerea la absurd pornește de la negația tezei; eliminarea pornește de la o listă de posibilități.
• Greșit: Cercul vicios și substituirea tezei sunt aceeași eroare.
  Corect: în cercul vicios teza apare printre argumente; în substituire se dovedește altă teză.
• Greșit: Dacă argumentele sunt false, teza este falsă.
  Corect: teza rămâne doar nedemonstrată.
• Greșit: Se demonstrează o teză infirmând contrara ei: dacă „Niciun contract nu a fost reziliat” este falsă, atunci „Toate contractele au fost reziliate” este adevărată.
  Corect: cele două pot fi ambele false; la reducerea la absurd infirmi contradictoria tezei.
• Greșit: Un caz favorabil dovedește o universală.
  Corect: un exemplu care confirmă teza nu o demonstrează.
• Greșit: Acordul majorității sau al unei autorități este demonstrație.
  Corect: acestea pot susține o opinie, dar nu dovedesc teza în sens logic.

Înainte și după

Întrebări frecvente