Jocuri logice aplicate

Un joc logic oferă persoane, obiecte ori poziții și câteva condiții. Sarcina este să afli ce este obligatoriu, posibil sau imposibil. Condițiile sunt premise, iar răspunsul trebuie să rezulte din ele. Înainte de calcul, stabilește universul: câte locuri există, dacă fiecare loc primește exact un obiect și dacă obiectele sunt diferite.

Pentru ordine, desenează locurile 1, 2, 3 etc. și notează o regulă precum „Ana înaintea lui Bogdan” prin $A<B$. „Ana imediat înaintea lui Bogdan” înseamnă $B=A+1$ și este mai puternică. Pentru repartizare, un tabel cu rânduri și coloane elimină rapid perechile interzise. Nu adăuga o restricție pe care textul nu o spune.

Distinge necesarul („adevărat în toate aranjamentele permise”) de posibil („adevărat în cel puțin unul”). O afirmație imposibilă nu apare în niciun aranjament. Pentru a arăta că o opțiune este posibilă, este suficient un aranjament complet care respectă toate condițiile; pentru a demonstra că este necesară, trebuie eliminate toate alternativele.

Un joc logic are patru părți: scenariul (un grup mic de persoane sau obiecte, de obicei între 4 și 8, și o situație), structura (pozițiile sau grupurile în care trebuie așezate elementele), condițiile (regulile pe care orice soluție trebuie să le respecte) și întrebările (mai multe pe același scenariu; unele adaugă o condiție nouă, „Dacă…”, valabilă numai pentru întrebarea respectivă). Nu ai nevoie de cunoștințe din afara textului: tot ce contează este să combini corect condițiile, adică să faci deducții, ca în lecția despre propozițiile compuse.

Metoda de lucru. Rezolvarea unui set de condiții urmează pașii:

1. se stabilește universul: câte elemente, câte locuri, dacă repetarea este permisă;
2. se transcrie fiecare condiție cu simboluri: $A<B$ pentru „A înainte de B”, $A\to B$ pentru „dacă A, atunci B”;
3. se caută mai întâi condiția cea mai restrictivă și se împarte problema pe cazuri;
4. se scrie lista completă a aranjamentelor permise;
5. se verifică fiecare variantă a întrebării în raport cu lista.

Forme de enunț. „Dacă A, atunci B” se citește și prin contrapoziție: $\neg B\to \neg A$. „A numai dacă B” înseamnă $A\to B$. „Exact unul dintre A și B” exclude ambele și niciunul. „Cel mult doi” permite 0, 1 sau 2; „cel puțin doi” permite 2 sau mai mulți.

Enunțurile sunt de trei tipuri: ordonare (locuri numerotate), selecție (alegerea unui grup) și repartizare (perechi între două mulțimi); jocurile combinate le amestecă. La ordonare, condițiile tipice sunt „X înaintea lui Y”, „X imediat după Y”, „X nu este primul”; la repartizare, „X și Y sunt în același grup”, „X nu este în grupul lui Z”; la selecție, „Dacă X este ales, Y nu este ales”. La condițiile de forma „dacă…, atunci…” folosește contrapoziția: „Dacă X este ales, Y nu este ales” înseamnă și „Dacă Y este ales, X nu este ales”, dar nu înseamnă „Dacă X nu este ales, Y este ales”.

Deducțiile inițiale sunt pasul care economisește cel mai mult timp: combini condițiile și notezi ce poziții sunt interzise sau obligatorii pentru fiecare element. O ordine validă găsită la o întrebare este o dovadă pentru „poate fi adevărat” la celelalte.

Exemplu lucrat 1. Ana, Bogdan și Cora ocupă locurile 1–3, fiecare câte unul. Ana este înaintea lui Bogdan, iar Cora nu este pe locul 3. Dacă Cora este pe locul 1, Ana și Bogdan ocupă 2 și 3, în această ordine: $C,A,B$. Dacă Cora este pe locul 2, Ana ar trebui să fie pe locul 1, iar Bogdan pe 3: $A,C,B$. Acestea sunt toate aranjamentele. Bogdan este necesar pe locul 3; Ana pe locul 1 este doar posibil.

Exemplu lucrat 2: selecție. Dintre A, B, C, D, E se alege o echipă de trei persoane. Dacă A este în echipă, atunci B este. C și D nu pot fi împreună. E face parte din echipă. Mai trebuie alese două persoane din $\{A,B,C,D\}$. Perechile posibile sunt: $AB$ (A are pe B alături), $BC$ și $BD$. Perechile $AC$ și $AD$ încalcă prima regulă, iar $CD$ încalcă a doua. Echipele sunt $\{E,A,B\}$, $\{E,B,C\}$, $\{E,B,D\}$: trei. B este necesar în echipă; A, C și D sunt doar posibile.

Exemplu lucrat 3: ordonare. Patru elevi, $P$, $Q$, $R$, $S$, ocupă locurile 1–4. $P$ este imediat înaintea lui $Q$, $R$ nu este pe locul 1, $S$ este pe locul 4. Perechea $PQ$ ocupă locurile 1–2 sau 2–3. În al doilea caz, locul 1 ar fi al lui $R$, interzis. Rămâne $P,Q,R,S$ în această ordine: un singur aranjament.

Exemplu lucrat 4: repartizare. Ana, Bogdan și Cora își împart trei sarcini: prezentarea ($P$), afișul ($F$) și raportul ($R$), fiecare câte una. Ana nu face prezentarea, Bogdan nu face raportul, iar Cora nu face afișul. Tabelul are persoanele pe rânduri și sarcinile pe coloane; tăiem perechile interzise: Ana poate face $F$ sau $R$, Bogdan poate face $P$ sau $F$, Cora poate face $P$ sau $R$. Dacă Ana face $F$, Bogdan face $P$ și Cora face $R$. Dacă Ana face $R$, Bogdan nu poate face $P$ (Cora ar rămâne cu $F$, interzis), deci face $F$, iar Cora face $P$. Repartizările permise sunt două: (Ana–afiș, Bogdan–prezentare, Cora–raport) și (Ana–raport, Bogdan–afiș, Cora–prezentare). Nicio atribuire nu este necesară, fiecare este doar posibilă.

Exemplu lucrat 5: programarea martorilor. Un judecător programează audierea a cinci martori, Lazăr, Matei, Nistor, Pavel și Radu, în cinci zile consecutive, de luni până vineri, câte un martor pe zi. Condițiile: Matei este audiat înaintea lui Pavel; Nistor este audiat în ziua imediat următoare audierii lui Lazăr; Radu nu este audiat nici luni, nici vineri; Pavel nu este audiat miercuri. Notațiile, cu zilele ca poziții 1–5: $M<P$; $LN$ (bloc); $R\ne 1$ și $R\ne 5$; $P\ne 3$.

Deducțiile inițiale: Pavel nu poate fi luni (Matei trebuie să fie înaintea lui) și nici miercuri, deci este marți, joi sau vineri. Matei nu poate fi vineri, pentru că Pavel trebuie audiat după el. Lazăr nu poate fi vineri, iar Nistor nu poate fi luni, din cauza blocului $LN$. Luni nu pot fi audiați Nistor (vine după Lazăr), Radu (condiția 3) și Pavel (vine după Matei); rămân Lazăr sau Matei. Această propoziție trebuie să fie adevărată în orice soluție.

• „Dacă Lazăr este audiat marți, care trebuie să fie adevărată?” Lazăr marți înseamnă Nistor miercuri. Rămân luni, joi și vineri pentru Matei, Pavel și Radu; Radu nu poate fi luni sau vineri, deci este joi. Matei și Pavel ocupă luni și vineri, cu Matei înaintea lui Pavel. Programarea este unică: Matei, Lazăr, Nistor, Radu, Pavel.
• „Care nu poate fi adevărată?”, cu variantele „Pavel este audiat marți”, „Radu este audiat miercuri”, „Matei este audiat joi” și „Nistor este audiat luni”. Ultima este imposibilă, pentru că Nistor vine întotdeauna după Lazăr. Celelalte trei sunt posibile: ordinea Matei, Pavel, Radu, Lazăr, Nistor confirmă primele două, iar ordinea Lazăr, Nistor, Radu, Matei, Pavel o confirmă pe a treia.

Exemplu lucrat 6: „dacă și numai dacă”. O condiție „X dacă și numai dacă Y” spune două lucruri deodată: dacă X, atunci Y și, dacă Y, atunci X; altfel spus, X și Y sunt fie amândouă adevărate, fie amândouă false. Când condiția leagă un element de absența altuia („X dacă și numai dacă Y nu”), exact unul dintre cei doi este prezent. Dintre cinci candidați, Ana, Bogdan, Cristina, Dan și Elena, o comisie alege exact trei pentru un concurs de pledoarii. Condițiile: Ana este aleasă dacă și numai dacă Bogdan nu este ales; dacă Cristina este aleasă, atunci este ales și Dan; Elena este aleasă dacă și numai dacă Dan este ales.

1. Din prima condiție, exact unul dintre Ana și Bogdan este ales. El ocupă unul dintre cele trei locuri.
2. Celelalte două locuri revin unei perechi dintre Cristina, Dan și Elena.
3. Din a treia condiție, Dan și Elena sunt fie amândoi aleși, fie amândoi respinși. Dacă ar fi amândoi respinși, ar rămâne doar Cristina pentru două locuri, ceea ce nu se poate. Deci Dan și Elena sunt aleși.
4. Locurile s-au epuizat, așa că Cristina nu este aleasă. A doua condiție rămâne respectată: o implicație cu antecedentul fals este adevărată.

Există deci numai două selecții posibile: Ana, Dan și Elena sau Bogdan, Dan și Elena. Trebuie să fie adevărat că Dan și Elena sunt aleși și că Cristina nu este aleasă. Dacă Ana nu este aleasă, selecția este Bogdan, Dan și Elena. „Cristina și Dan sunt aleși amândoi” nu poate fi adevărată: Elena ar fi și ea aleasă, iar împreună cu Ana sau cu Bogdan ar fi patru candidați.

Itemii 93–100 din Grila nr. 1 a admiterii din 22 iulie 2026 pornesc de la un text cu mai multe condiții și cer ce este adevărat, ce este posibil sau ce pot concluziona personajele. Fă un inventar al condițiilor, verifică dacă sunt „dacă”, „numai dacă”, „exact unul” sau „cel puțin unul”, apoi examinează variantele. Pentru o întrebare „nu poate fi dedus”, caută un contraaranjament care respectă premisele și face opțiunea falsă. Pentru o întrebare numerică, calculează doar după ce ai eliminat configurările imposibile. Dacă itemul cere „cea mai mare valoare posibilă”, găsește mai întâi un aranjament care o atinge, apoi arată că una mai mare încalcă o condiție.

Enunț comun. Ilinca, Mihai, Nora și Radu aleg fiecare câte un atelier dintre foto, teatru, robotică și șah; fiecare atelier este ales de exact un coleg. Ilinca nu alege robotica. Mihai alege teatrul sau șahul. Nora alege foto numai dacă Radu alege robotica. Radu nu alege nici foto, nici teatru.

1. Care dintre următoarele repartizări este posibilă? a. Ilinca alege foto, Mihai teatrul, Nora robotica, Radu șahul.; b. Nora alege foto, iar Radu șahul.; c. Radu alege foto.; d. Ilinca alege robotica.

2. Dacă Nora alege foto, este adevărat că: a. Ilinca alege șahul.; b. Radu alege robotica.; c. Mihai alege teatrul.; d. Radu alege șahul.

3. În câte repartizări posibile alege Ilinca foto? a. 1; b. 2; c. 3; d. 4.

4. Dacă Radu alege șahul, Nora alege: a. foto; b. teatrul; c. robotica; d. șahul.

Răspunsuri:

• Itemul 1: a) varianta b) încalcă „numai dacă”, iar c) și d) încalcă condițiile date.
• Itemul 2: b) „Nora alege foto numai dacă Radu alege robotica”.
• Itemul 3: c) cele trei repartizări sunt (Ilinca foto, Mihai teatru, Nora robotică, Radu șah), (Ilinca foto, Mihai teatru, Nora șah, Radu robotică) și (Ilinca foto, Mihai șah, Nora teatru, Radu robotică).
• Itemul 4: c) Radu la șah lasă lui Mihai teatrul, iar Nora nu poate alege foto, deci Nora alege robotica și Ilinca alege foto.

Unde apare la examen

• Drept UB: jocurile logice nu sunt enumerate ca unitate separată în tematica de Gândire critică pentru 2026. Ele aplică instrumentele raționamentului deductiv. În schimb, în varianta G1 din iulie 2026 (p. 6–7), Gândirea critică a avut 5 seturi de câte 4 itemi, iar ultimele două seturi au fost jocuri logice tip LSAT: 8 din cei 20 de itemi.
• 2027: nu se știe încă dacă vor reveni; trebuie așteptate documentele oficiale pentru admiterea din 2027.
• Drept UBB Cluj: regulamentul admiterii 2026, art. 8 și 13, p. 2 prevede o probă scrisă de raționament logic; nu îi atribuim automat structura seturilor UB.

Jocurile logice folosesc aceleași instrumente ca restul materiei: implicația și contrapoziția din lecția despre propozițiile compuse, dar și atenția la cuantori („toți”, „unii”) din lecția despre propozițiile categorice.

Greșeli frecvente

• Greșit: Dacă o variantă este posibilă, ea este obligatorie.
  Corect: Trebuie să fie adevărată în toate configurările permise pentru a fi obligatorie.
• Greșit: „Înaintea” înseamnă „imediat înaintea”.
  Corect: Între cele două poziții pot exista alte locuri.
• Greșit: Un aranjament care respectă două condiții din trei demonstrează posibilitatea.
  Corect: Trebuie să respecte toate condițiile.
• Greșit: „Poate fi adevărat” și „trebuie să fie adevărat” înseamnă același lucru.
  Corect: o singură soluție validă ajunge pentru „poate”; pentru „trebuie” ai nevoie de toate.
• Greșit: Condiția unei întrebări „Dacă…” rămâne valabilă și la întrebarea următoare.
  Corect: condiția suplimentară este valabilă doar la întrebarea respectivă.
• Greșit: „Dacă X, atunci Y” înseamnă „Dacă Y, atunci X”.
  Corect: înseamnă „Dacă non-Y, atunci non-X”.
• Greșit: O ordine completă se verifică pe o parte din condiții.
  Corect: o variantă care încalcă o singură condiție este greșită.
• Greșit: Deducțiile inițiale pot fi sărite.
  Corect: fără ele, fiecare întrebare trebuie rezolvată de la zero.
• Greșit: Varianta aleasă la „poate fi adevărat” nu are nevoie de o soluție concretă.
  Corect: scrie efectiv o ordine validă care o confirmă.

Înainte și după

Întrebări frecvente