Propozițiile compuse

O propoziție compusă se formează din propoziții simple legate prin operatori. Notează cu $p$ și $q$ propoziții care pot fi adevărate sau false. Negația $\neg p$ schimbă valoarea lui $p$. Conjuncția $p\wedge q$ este adevărată numai când ambele componente sunt adevărate. Disjuncția inclusivă $p\vee q$ este adevărată când cel puțin una este adevărată, inclusiv când ambele sunt adevărate. Disjuncția exclusivă $p⊻q$ este adevărată când exact una este adevărată. Implicația $p\to q$ este falsă numai când $p$ este adevărată și $q$ falsă. Echivalența $p\leftrightarrow q$ este adevărată când cele două au aceeași valoare.

Un tabel de adevăr verifică toate combinațiile. Pentru două propoziții există $2^2=4$ rânduri: adevărat–adevărat, adevărat–fals, fals–adevărat, fals–fals. O formulă adevărată la toate rândurile este tautologie; una falsă la toate este contradicție; una cu ambele valori este contingentă.

Implicația nu afirmă că $p$ este efectiv adevărată și nici că $p$ este singura cauză a lui $q$. În $p\to q$, $p$ este antecedentul, iar $q$ consecventul. Forma $p\to q$ este echivalentă cu $\neg p\vee q$ și cu contrapoziția $\neg q\to \neg p$. Negarea ei este $p\wedge \neg q$. Parantezele fixează ordinea operațiilor: $\neg (p\wedge q)$ nu este același lucru cu $\neg p\wedge q$.

Tabelele de adevăr ale operatorilor (A = adevărat, F = fals):

Pentru o formulă cu valori date, pornește de la componentele cele mai mici: pentru $p=A$ și $q=F$, formula $\neg p\vee (p\to q)$ are $\neg p=F$ și $p\to q=F$, deci este falsă. Cu $n$ variabile tabelul are $2^n$ rânduri.

Echivalențe frecvente. Legile lui De Morgan: $\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$ și $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q$. Echivalența se descompune în două implicații: $p\leftrightarrow q\equiv (p\to q)\wedge (q\to p)$, iar negația ei este disjuncția exclusivă: $\neg (p\leftrightarrow q)\equiv p⊻q$. Disjuncția exclusivă „sau… sau…” este adevărată numai când exact o componentă este adevărată. Dintre formele înrudite cu $p\to q$, doar contrapoziția $\neg q\to \neg p$ îi este echivalentă; conversa $q\to p$ și inversa $\neg p\to \neg q$ nu sunt. „Dacă un număr se termină în 0, este par” este adevărată, dar „Dacă un număr este par, se termină în 0” este falsă (de exemplu, 14).

Tautologii de reținut: $p\vee \neg p$ (terțul exclus), $\neg (p\wedge \neg p)$ (noncontradicția) și $p\to p$.

Tipuri de formule, cu exemple. Tautologie (formulă validă): $p\vee \neg p$ este adevărată pe ambele rânduri, iar $(p\wedge q)\to p$ pe toate patru. Contradicție (formulă inconsistentă): $p\wedge \neg p$ este falsă pe ambele rânduri, pentru că $p$ și $\neg p$ nu sunt niciodată adevărate împreună. Contingentă: $p\wedge q$ este adevărată numai pe rândul $(A,A)$ și falsă pe celelalte trei, deci nici tautologie, nici contradicție; la fel $p\to q$. O formulă consistentă (realizabilă) este adevărată pe cel puțin un rând: tautologiile și formulele contingente.

Proprietățile operatorilor. Conjuncția și disjuncția sunt comutative ($p\wedge q\equiv q\wedge p$, $p\vee q\equiv q\vee p$) și asociative ($(p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)$, la fel pentru $\vee$). Ele sunt idempotente ($p\wedge p\equiv p$, $p\vee p\equiv p$) și se distribuie una față de cealaltă: $p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)$ și $p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)$. Absorbția: $p\vee (p\wedge q)\equiv p$ și $p\wedge (p\vee q)\equiv p$. Dubla negație: $\neg \neg p\equiv p$. Echivalența și disjuncția exclusivă sunt comutative; echivalența este și asociativă. Implicația nu este comutativă: $p\to q$ și $q\to p$ diferă pe rândurile $(A,F)$ și $(F,A)$. Nu este nici asociativă: $(F\to F)\to F$ este falsă, iar $F\to (F\to F)$ este adevărată.

Formalizarea limbajului obișnuit. „$p$ și $q$” și „$p$, dar $q$” se scriu $p\wedge q$. „Nici $p$, nici $q$” se scrie $\neg p\wedge \neg q$. „$p$ numai dacă $q$”, „$q$, dacă $p$” și „$p$ este condiție suficientă pentru $q$” se scriu $p\to q$; tot $p\to q$ înseamnă „$q$ este condiție necesară pentru $p$”. „$p$ dacă $q$” și „fără $p$, nu $q$” se scriu $q\to p$. „$p$ dacă și numai dacă $q$” se scrie $p\leftrightarrow q$. „Nu este adevărat că $p$ și $q$” se scrie $\neg (p\wedge q)$.

Ordinea operatorilor. Fără paranteze, negația se aplică înaintea conjuncției, conjuncția înaintea disjuncției, iar acestea înaintea implicației. Pentru siguranță, parantezele se scriu explicit.

Exemple rezolvate

Exemplu de formalizare. „Dacă studiezi și dormi suficient, atunci promovezi”: notăm $p$ = studiezi, $q$ = dormi suficient, $r$ = promovezi. Formula este $(p\wedge q)\to r$. Ea este falsă numai când $p$ și $q$ sunt adevărate și $r$ este falsă.

Exemplul 1. Pentru $p=A$ și $q=F$, $p\to q$ este $F$; pentru $p=F$ și $q=A$, implicația este $A$. În ambele rânduri, $\neg p\vee q$ dă aceeași valoare: $F\vee F=F$, respectiv $A\vee A=A$. Celelalte două rânduri sunt tot adevărate pentru ambele expresii, deci formulele sunt echivalente.

Exemplul 2: o tautologie. Verificăm $(p\wedge q)\to p$. Dacă $p\wedge q$ este adevărată, atunci $p$ este adevărată, deci implicația este adevărată. Dacă $p\wedge q$ este falsă, implicația cu antecedent fals este adevărată. Formula este adevărată în toate rândurile și este tautologie.

Exemplul 3: De Morgan. Pentru $p=A$ și $q=F$: $\neg (p\vee q)=\neg A=F$, iar $\neg p\wedge \neg q=F\wedge A=F$. Pentru $p=F$ și $q=F$: $\neg (p\vee q)=\neg F=A$, iar $\neg p\wedge \neg q=A\wedge A=A$. Cele două expresii coincid și în celelalte două rânduri, deci sunt echivalente.

Exemplul 4: o tautologie cu trei variabile. Verificăm $((p\to q)\wedge (q\to r))\to (p\to r)$. Formula poate fi falsă numai dacă $p\to r$ este falsă, adică $p=A$ și $r=F$. Atunci $p\to q$ cere $q=A$, iar $q\to r$ devine $A\to F$, falsă. Antecedentul $(p\to q)\wedge (q\to r)$ nu poate fi adevărat când $p\to r$ este falsă, deci formula nu este falsă la niciun rând: este tautologie. Ea exprimă silogismul ipotetic.

Exemplul 5: aceeași implicație în patru argumente. Fie „Dacă dosarul este complet, cererea se înregistrează”. „Dosarul este complet, deci cererea se înregistrează” este modus ponens, valid. „Cererea nu s-a înregistrat, deci dosarul nu era complet” este modus tollens, valid. „Cererea s-a înregistrat, deci dosarul era complet” este afirmarea consecventului, nevalid: cererea s-ar fi putut înregistra și din alt motiv. „Dosarul nu este complet, deci cererea nu se înregistrează” este negarea antecedentului, nevalid.

Exemplul 6: testarea validității prin metoda prescurtată. Pentru afirmarea consecventului ($p\to q$; $q$; deci $p$) presupunem concluzia falsă, deci $p=F$, și premisa $q=A$. Atunci $p\to q$ are antecedentul fals, deci este adevărată. Toate premisele sunt adevărate, iar concluzia falsă, fără contradicție: argumentul este nevalid.

Forme de argument cu propoziții compuse

Silogismul ipotetic: $p\to q$; $q\to r$; deci $p\to r$. Silogismul disjunctiv are două moduri. Modul tollendo-ponens („negând, afirmă”), $p\vee q$; $\neg p$; deci $q$, este valid pentru ambele disjuncții. Modul ponendo-tollens („afirmând, neagă”), $p⊻q$; $p$; deci $\neg q$, este valid numai pentru disjuncția exclusivă; cu disjuncția inclusivă devine eroarea afirmării unui disjunct: din „Maria vorbește germană sau italiană” și „Maria vorbește germană” nu rezultă că nu vorbește italiană.

Dilema are patru forme. Constructive: $p\to r$; $q\to r$; $p\vee q$; deci $r$ (simplă), respectiv $p\to r$; $q\to s$; $p\vee q$; deci $r\vee s$ (complexă). Distructive: $p\to q$; $p\to r$; $\neg q\vee \neg r$; deci $\neg p$ (simplă), respectiv $p\to r$; $q\to s$; $\neg r\vee \neg s$; deci $\neg p\vee \neg q$ (complexă). Dilema constructivă afirmă alternativ antecedentele, ca modus ponens; cea distructivă neagă alternativ consecvenții, ca modus tollens.

Metoda tabelului de adevăr: argumentul este valid dacă nu există niciun rând cu toate premisele adevărate și concluzia falsă; echivalent, formula „(premisa 1 $\wedge$ premisa 2 $\wedge \dots$) $\to$ concluzia” este tautologie. Metoda prescurtată: presupui premisele adevărate și concluzia falsă; o contradicție în valorile variabilelor arată că argumentul este valid, iar valorile care se potrivesc sunt un contraexemplu.

Contraexemplul semantic

La argumente cu propoziții compuse, caută un contraexemplu semantic: o atribuire care face toate premisele adevărate și concluzia falsă. Dacă există, argumentul este invalid. Pentru $p\to q$, $q\to p$ nu este o echivalență generală; verificarea rapidă folosește rândul $p=F$, $q=A$. Construcțiile „numai dacă” indică o condiție necesară: „$p$ numai dacă $q$” se formalizează $p\to q$.

Enunț comun. Fie propoziția „Dacă plouă, atunci strada este udă”.

1. Propoziția este falsă numai când: a. plouă și strada este udă; b. nu plouă și strada este udă; c. plouă și strada nu este udă; d. nu plouă și strada nu este udă.

2. Negația propoziției este: a. Plouă și strada nu este udă.; b. Nu plouă și strada este udă.; c. Dacă nu plouă, atunci strada nu este udă.; d. Nu plouă sau strada este udă.

3. Propoziția este echivalentă cu: a. Dacă strada este udă, atunci plouă.; b. Dacă strada nu este udă, atunci nu plouă.; c. Dacă nu plouă, atunci strada nu este udă.; d. Plouă și strada este udă.

4. „Voi merge la examen numai dacă mă trezesc devreme” se formalizează, cu $p$ = merg la examen și $q$ = mă trezesc devreme, astfel: a. $p\to q$; b. $q\to p$; c. $p\leftrightarrow q$; d. $p\wedge q$.

Răspunsuri:

• Itemul 1: c) implicația este falsă numai când antecedentul este adevărat și consecventul fals.
• Itemul 2: a) negația lui $p\to q$ este $p\wedge \neg q$.
• Itemul 3: b) contrapoziția $\neg q\to \neg p$.
• Itemul 4: a) „numai dacă” introduce condiția necesară: dacă merg la examen, atunci m-am trezit devreme; varianta b) ar fi „$p$ dacă $q$”.

Unde apare la examen

La admiterea la Facultatea de Drept a Universității din București, lecția acoperă două părți din programa de Gândire critică: capitolul 2, subcapitolul 2.4 (logica propozițiilor compuse, funcții de adevăr, proprietățile principalilor operatori, tipuri de formule), și capitolul 3, subcapitolul 3.5 (argumente deductive cu propoziții compuse, erori în construcția lor, metode de verificare a validității). Bibliografia este manualul Logică și argumentare pentru clasa a IX-a (Lupșa, Bratu și Stoica, Corvin, 2004).

În varianta G1 din iulie 2026 (p. 6–7), al treilea set de Gândire critică, de 4 itemi, a fost un raționament cu propoziții compuse: validitate, negație, inferență. Condițiile de tipul „dacă…, atunci…” apar și în jocurile logice, unde contrapoziția ajută la deducții.

Greșeli frecvente

• Greșit: Din $p\vee q$ rezultă că exact una este adevărată.
  Corect: Disjuncția inclusivă permite ambele adevărate; „exact una” este disjuncția exclusivă.
• Greșit: Implicația este falsă ori de câte ori antecedentul este fals.
  Corect: Atunci implicația este adevărată; ea este falsă doar pentru antecedent adevărat și consecvent fals.
• Greșit: Negarea lui $p\to q$ este $\neg p\to \neg q$.
  Corect: Negarea este $p\wedge \neg q$.
• Greșit: Negația lui „$p$ și $q$” este „non-$p$ și non-$q$”.
  Corect: Conform legii lui De Morgan, este „non-$p$ sau non-$q$”.
• Greșit: Afirmarea consecventului este modus ponens, iar negarea antecedentului este modus tollens.
  Corect: Modus ponens afirmă antecedentul, iar modus tollens neagă consecventul; celelalte două forme sunt nevalide.
• Greșit: Modul ponendo-tollens este valid pentru orice disjuncție.
  Corect: Este valid numai pentru disjuncția exclusivă.
• Greșit: „$p$ numai dacă $q$” înseamnă „dacă $q$, atunci $p$”.
  Corect: Înseamnă $p\to q$.
• Greșit: Conversa sau inversa unei implicații este echivalentă cu ea.
  Corect: Echivalentă este doar contrapoziția, $\neg q\to \neg p$.
• Greșit: Dilema constructivă și cea distructivă sunt același lucru.
  Corect: Dacă premisa disjunctivă afirmă antecedente, dilema este constructivă; dacă neagă consecvenți, este distructivă.

Înainte și după

Întrebări frecvente