Dispersia luminii

Când lumina albă trece printr-o prismă, la ieșire poți vedea o bandă de culori. Acest fenomen se numește dispersia luminii. Prisma nu inventează culorile, ci separă componentele cu lungimi de undă diferite ale luminii incidente. Într-un material precum sticla obișnuită, culorile nu au exact aceeași viteză și nu sunt refractate cu același unghi.

Roșul și violetul sunt părți ale spectrului vizibil. În dispersia normală a unei prisme de sticlă, violetul este abătut mai mult decât roșul. Mărimea abaterilor depinde de material și de unghiul prismei; ordinea culorilor rămâne aceeași: roșul se abate cel mai puțin, violetul cel mai mult.

Curcubeul apare prin interacțiunea luminii solare cu picături de apă. Razele sunt refractate, reflectate în interiorul picăturii și refractate din nou, iar lungimile de undă ies în direcții diferite. Un curcubeu nu este o panglică colorată aflată într-un punct fix al cerului; poziția observată depinde și de locul observatorului față de Soare și picături.

Dispersia poate fi utilă când vrem să analizăm compoziția luminii unei surse. Spectrul unei lămpi poate fi diferit de cel al Soarelui. Ea poate fi și nedorită în lentile, unde culorile focalizate în locuri ușor diferite produc margini colorate. Sisteme de lentile special proiectate reduc această aberație cromatică.

Dispersia materială este dependența indicelui de refracție de lungimea de undă, $n=n(\lambda )$. În vid nu există dispersie: toate culorile se propagă cu $c=3\cdot 10^{8}m/s$. Într-un mediu transparent, indicele este definit pentru o lungime de undă precizată (de exemplu linia galbenă a sodiului, $589\mathrm{nm}$) și, în domeniul vizibil, scade când lungimea de undă crește. Această dispersie normală este descrisă aproximativ de formula empirică $n=A+B/{\lambda }^2$, cu $A$ și $B$ constante ale materialului. Pentru sticla crown, $n_r=1,514$ la $656\mathrm{nm}$ (roșu) și $n_v=1,530$ la $405\mathrm{nm}$ (violet).

La trecerea printr-o interfață se păstrează frecvența $f=c/{\lambda }_0$, determinată de sursă. Se modifică viteza, $v=c/n$, și lungimea de undă, $\lambda ={\lambda }_0/n$, unde ${\lambda }_0$ este lungimea de undă în vid. Legea Snell–Descartes, $\sin i=n\sin r$ pentru incidența din aer, dă unghiuri de refracție diferite pentru culori diferite, pentru că fiecare culoare are alt $n$.

Interpretarea electromagnetică. Lumina este o undă electromagnetică, iar câmpul ei electric variabil pune în oscilație sarcinile din mediu, mai ales electronii legați de atomi și de molecule. Acești electroni oscilează cu frecvența undei incidente și emit la rândul lor unde electromagnetice; suprapunerea undei incidente cu cele emise de mediu este unda care se propagă în material, cu viteza $v=c/n<c$. Răspunsul electronilor depinde de frecvență: ei au frecvențe proprii de oscilație, care la sticlă se află în ultraviolet, iar cu cât frecvența luminii este mai aproape de una dintre ele, cu atât răspunsul mediului este mai puternic și indicele $n$ mai mare. De aceea, în domeniul vizibil, $n$ crește de la roșu la violet. Foarte aproape de o frecvență proprie lumina este puternic absorbită, motiv pentru care sticla obișnuită nu lasă ultravioletul să treacă. Prisma optică are două fețe plane care formează unghiul $A$. Pentru o prismă subțire, la unghiuri de incidență mici, deviația razei este $\delta =(n-1)A$. Deviațiile celor două culori extreme diferă cu ${\delta }_v-{\delta }_r=(n_v-n_r)A$, mărime numită dispersie unghiulară. Distanța dintre spoturile colorate pe un ecran aflat la distanța $D$ este aproximativ $D\mathrm{tg}({\delta }_v-{\delta }_r)$.

Exemplu rezolvat 1. Lumina roșie cu lungimea de undă în vid ${\lambda }_0=656\mathrm{nm}$ trece din aer într-o sticlă cu $n=1,514$. Se cer frecvența, viteza și lungimea de undă în sticlă.

1. Frecvența se păstrează: $f=c/{\lambda }_0=3\cdot 10^8/(6,56\cdot 10^{-7})=4,57\cdot 10^{14}\mathrm{Hz}$.
2. Viteza în sticlă este $v=c/n=3\cdot 10^8/1,514=1,98\cdot 10^{8}m/s$.
3. Lungimea de undă este $\lambda ={\lambda }_0/n=656/1,514=433\mathrm{nm}$, același rezultat cu $v/f$.

Lumina violetă ($n_v=1,530$) are în aceeași sticlă viteza $1,96\cdot 10^{8}m/s$, mai mică decât a celei roșii, cu circa $1,1\%$.

Exemplu rezolvat 2. O prismă subțire de sticlă crown are unghiul $A=10^{\circ }$, iar lumina albă cade pe ea aproape normal. Se cer deviațiile pentru roșu și violet și lățimea spectrului pe un ecran aflat la $2,0\mathrm{m}$.

1. Pentru roșu, ${\delta }_r=(1,514-1)\cdot 10^{\circ }=5,14^{\circ }$.
2. Pentru violet, ${\delta }_v=(1,530-1)\cdot 10^{\circ }=5,30^{\circ }$.
3. Dispersia unghiulară este ${\delta }_v-{\delta }_r=0,16^{\circ }$, adică $2,8\cdot 10^{-3}\mathrm{rad}$.
4. Spectrul are lățimea $2,0\cdot 2,8\cdot 10^{-3}=5,6\cdot 10^{-3}\mathrm{m}=5,6\mathrm{mm}$.

Diferența dintre culori este mică, de aceea spectrele clare cer prisme cu unghiuri mari, în care deviația nu se mai calculează cu aproximația de mai sus.

Consecințe. Distanța focală a unei lentile subțiri depinde de $n$ și deci de culoare: $f_v<f_r$, ceea ce produce aberația cromatică. Dependența lui $n$ de $\lambda$ explică și curcubeul: pentru curcubeul principal, razele roșii ies la circa $42^{\circ }$ față de direcția opusă Soarelui, iar cele violete la circa $40^{\circ }$, deci roșul apare în exteriorul arcului. Diamantul are o dispersie mare, cu $n$ de la circa $2,41$ pentru roșu la circa $2,46$ pentru violet, motiv pentru care o piatră tăiată împarte lumina albă în fascicule colorate distincte. În fibrele optice, dispersia lărgește impulsurile de lumină și limitează cantitatea de informație transmisă pe secundă.

Problemele de dispersie cer aproape întotdeauna aceleași mărimi: lungimea de undă, viteza sau unghiul de refracție pentru o culoare dată, urmate de comparația dintre două culori. Regulile de lucru sunt:

• frecvența rămâne aceeași în orice mediu, iar ${\lambda }_0=c/f$ este lungimea de undă în vid;
• în mediul cu indicele $n$ se folosesc $v=c/n$ și $\lambda ={\lambda }_0/n$;
• culoarea cu indicele mai mare are viteza mai mică și este deviată mai mult, deci raportul vitezelor este $v_r/v_v=n_v/n_r$;
• deviația prismei subțiri este $(n-1)A$, iar diferența dintre două culori este $(n_v-n_r)A$; unghiul $A$ trebuie să apară în rezultat;
• explicația electromagnetică se cere calitativ: electronii mediului oscilează forțat cu frecvența luminii, răspunsul lor depinde de această frecvență, deci și $n$ depinde de ea, iar în vid, unde nu există sarcini care să răspundă, nu există dispersie.

Capcanele sunt schimbarea frecvenței la interfață, înmulțirea cu $n$ în loc de împărțire și folosirea aceluiași indice pentru toate culorile atunci când enunțul cere dispersia.

Exemplu în formatul examenului. O sticlă are indicele de refracție $n_r=1,50$ pentru lumina roșie și $n_v=1,60$ pentru lumina violetă. Raportul $v_r/v_v$ dintre vitezele celor două radiații în sticlă este:

• a) $0,94$
• b) $1,00$
• c) $1,07$
• d) $1,14$

Rezolvare.

1. Fiecare viteză este $v=c/n$, deci $v_r=c/n_r$ și $v_v=c/n_v$.
2. Raportul este $v_r/v_v=n_v/n_r=1,60/1,50\approx 1,07$.

Răspuns corect: c).

Varianta a) este raportul inversat, $n_r/n_v$. Varianta b) tratează sticla ca pe vid, unde toate culorile au viteza $c$. Varianta d) apare prin ridicarea raportului la pătrat.

Greșeli frecvente

• Greșit: prisma creează culorile.
  Corect: prisma separă culorile care există deja în lumina albă.
• Greșit: frecvența luminii se schimbă la intrarea în sticlă.
  Corect: frecvența rămâne aceeași; se schimbă viteza și lungimea de undă.
• Greșit: dispersia și polarizarea sunt același fenomen.
  Corect: dispersia este dependența lui $n$ de $\lambda$; polarizarea privește direcția de oscilație a câmpului electric.
• Greșit: în vid, culorile diferite se propagă cu viteze diferite.
  Corect: în vid toate lungimile de undă au viteza $c$; viteze diferite apar numai într-un mediu material, unde $n$ depinde de $\lambda$.

Înainte și după