Circuitul oscilant

Un condensator stochează energie în câmpul electric, iar o bobină în câmpul magnetic. Într-un circuit LC ideal, energia trece periodic între aceste două forme, iar sarcina condensatorului și curentul oscilează. Ansamblul este un circuit oscilant; pierderile dintr-un circuit real amortizează oscilațiile dacă nu există alimentare externă.

La început, condensatorul este încărcat și curentul este zero. Când începe descărcarea prin bobină, curentul crește, iar energia câmpului magnetic crește. Când condensatorul este momentan descărcat, curentul este maxim și toată energia se află în câmpul magnetic al bobinei. Bobina menține apoi curentul pentru scurt timp și încarcă din nou condensatorul cu polaritate opusă. Ciclul se repetă în modelul fără pierderi.

Un circuit real are rezistență. O parte din energie se transformă în căldură, astfel că oscilațiile se amortizează dacă nu există o sursă care să le mențină. Nu presupune că energia electrică circulă la nesfârșit fără pierderi într-un montaj real. În circuite radio, oscilațiile se folosesc la selectarea sau producerea unor semnale, împreună cu alte componente.

Ritmul oscilațiilor depinde de capacitatea condensatorului și de inductanța bobinei. Dacă acestea se schimbă, frecvența proprie se schimbă. O schemă cu condensator și bobină nu este însă automat un emițător radio eficient: pentru radiație, cuplare și alimentare sunt necesare condiții și componente suplimentare.

În circuitul LC ideal, energia totală $W=W_E+W_M=q^2/(2C)+L{i}^2/2$ este constantă. Sarcina condensatorului și curentul din bobină oscilează cu defazaj de un sfert de perioadă: când $|q|$ este maxim, $i=0$, iar când $q=0$, $|i|$ este maxim. În primul sfert de perioadă condensatorul se descarcă și energia electrică devine magnetică. În al doilea, bobina încarcă condensatorul cu polaritate inversă. În al treilea și al patrulea, procesul se repetă în sens invers, deci energia electrică și cea magnetică alternează de două ori într-o perioadă.

Legea lui Kirchhoff pentru circuit dă ecuația $L\ddot{q}+q/C=0$, de aceeași formă cu $m\ddot{x}+kx=0$ pentru oscilatorul mecanic. Analogia este: $L$ corespunde masei $m$, $1/C$ constantei elastice $k$, sarcina $q$ elongației $x$, iar intensitatea $i$ vitezei $v$. Soluția este $q(t)=q_0\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$ cu ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$, deci $T=2\pi \sqrt{LC}$, formula lui Thomson, și $f_0=1/(2\pi \sqrt{LC})$. Frecvența proprie depinde numai de $L$ și $C$. Curentul este $i=-{\omega }_0{q}_0\sin ({\omega }_{0}t+\phi )$, iar amplitudinea lui, din conservarea energiei $q_0^2/(2C)=L{I}_0^2/2$, este $I_0={\omega }_0{q}_0=U_0\sqrt{C/L}$, unde $U_0$ este tensiunea maximă pe condensator.

Un circuit real are rezistență: a firelor, a bobinei și a contactelor. Prin rezistor curentul degajă căldură, deci energia oscilațiilor scade de la o perioadă la alta, iar sarcina maximă a condensatorului și curentul maxim devin tot mai mici. Oscilațiile libere se amortizează. Pe ecranul unui osciloscop, tensiunea de pe condensator apare ca o sinusoidă ale cărei maxime se micșorează treptat. Analiza energetică rămâne aceea de la circuitul ideal, cu o singură diferență: suma $W_E+W_M$ nu mai este constantă, ci scade cu energia transformată în căldură. Când rezistența este mică, condensatorul se încarcă și se descarcă de multe ori înainte ca oscilațiile să dispară, iar durata unei oscilații rămâne aproape cea a circuitului ideal. Când rezistența este foarte mare, energia se consumă în rezistor înainte ca bobina să poată reîncărca condensatorul, deci condensatorul se descarcă lent, fără oscilații. Pentru ca oscilațiile să se mențină, pierderile trebuie compensate de o sursă, ca în oscilatoarele cu tranzistor. Un circuit oscilant „deschis”, la limită un conductor liniar, antena, radiază unde electromagnetice, după cum arată lecția despre câmpul și unda electromagnetică. Aplicațiile obișnuite sunt acordul receptoarelor radio pe postul dorit, producerea semnalelor de radiofrecvență în emițătoare și separarea unui semnal de frecvență dată de celelalte.

Exemplu rezolvat 1. Un receptor radio are bobina $L=250\mu \mathrm{H}$. Aflăm capacitatea cu care se acordă pe $f=1,0\mathrm{MHz}$ și pe $f=1,6\mathrm{MHz}$.

1. Din $f=1/(2\pi \sqrt{LC})$ rezultă $C=1/(4{\pi }^2{f}^{2}L)$.
2. Pentru $f=1,0\mathrm{MHz}$, $C=1/(4{\pi }^2\cdot 10^{12}\cdot 2,5\cdot 10^{-4})\approx 1,01\cdot 10^{-10}\mathrm{F}\approx 101\mathrm{pF}$.
3. Pentru $f=1,6\mathrm{MHz}$, $C\approx 3,96\cdot 10^{-11}\mathrm{F}\approx 39,6\mathrm{pF}$.

Un condensator variabil între aproximativ $40\mathrm{pF}$ și $100\mathrm{pF}$ acoperă acest interval; frecvența mai mare cere capacitate mai mică.

Exemplu rezolvat 2. Un condensator de $C=2,0\mu \mathrm{F}$, încărcat la $U_0=20\mathrm{V}$, se descarcă printr-o bobină ideală cu $L=5,0\mathrm{mH}$.

1. Energia totală este $W=C{U}_0^2/2=2,0\cdot 10^{-6}\cdot 400/2=4,0\cdot 10^{-4}\mathrm{J}$.
2. Curentul maxim se obține din $L{I}_0^2/2=W$, deci $I_0=\sqrt{2W/L}=\sqrt{8,0\cdot 10^{-4}/(5,0\cdot 10^{-3})}=0,40\mathrm{A}$.
3. Pulsația proprie este ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}=10^{4}rad/s$, deci $T=2\pi /{\omega }_0\approx 0,63\mathrm{ms}$.
4. În momentul în care tensiunea pe condensator este $12\mathrm{V}$, energia electrică este $2,0\cdot 10^{-6}\cdot 144/2=1,44\cdot 10^{-4}\mathrm{J}$, iar cea magnetică este $4,0\cdot 10^{-4}-1,44\cdot 10^{-4}=2,56\cdot 10^{-4}\mathrm{J}$.
5. Curentul în acel moment este $i=\sqrt{2\cdot 2,56\cdot 10^{-4}/(5,0\cdot 10^{-3})}=0,32\mathrm{A}$.

Valoarea de la pasul 2 coincide cu ${\omega }_0{q}_0=10^4\cdot 4,0\cdot 10^{-5}=0,40\mathrm{A}$.

Exemplu rezolvat 3. Același circuit are acum și o mică rezistență. Condensatorul încărcat la $U_0=20\mathrm{V}$ se descarcă, iar după câteva oscilații tensiunea maximă de pe condensator, citită pe osciloscop, este doar $U_1=12\mathrm{V}$. Aflăm câtă energie s-a transformat în căldură.

1. În momentul în care tensiunea pe condensator este maximă, curentul este zero, deci toată energia circuitului se află în câmpul electric al condensatorului. Energia inițială este $W_0=C{U}_0^2/2=4,0\cdot 10^{-4}\mathrm{J}$.
2. La a doua citire, energia rămasă este $W_1=C{U}_1^2/2=2,0\cdot 10^{-6}\cdot 144/2=1,44\cdot 10^{-4}\mathrm{J}$.
3. Energia transformată în căldură în rezistor este $W_0-W_1=2,56\cdot 10^{-4}\mathrm{J}$, adică $64\%$ din energia inițială.

Rezultatul arată că tensiunea a scăzut cu $40\%$, dar energia cu $64\%$, pentru că energia depinde de pătratul tensiunii.

Greșeli frecvente

• Greșit: a crede că energia se află simultan la maxim în condensator și bobină într-un LC ideal.
  Corect: când energia condensatorului e maximă, a bobinei e zero, și invers; suma rămâne constantă.
• Greșit: a presupune oscilații fără amortizare într-un circuit real cu rezistență.
  Corect: un circuit real are rezistență, deci oscilațiile libere se amortizează.
• Greșit: a confunda frecvența proprie a LC cu frecvența oricărei surse externe conectate.
  Corect: frecvența proprie $f_0=1/(2\pi \sqrt{LC})$ depinde numai de $L$ și $C$.
• Greșit: frecvența oscilațiilor libere crește dacă încărcăm condensatorul la o tensiune mai mare.
  Corect: tensiunea inițială determină amplitudinea, nu frecvența, care depinde numai de $L$ și $C$.

Înainte și după