Transformarea izobară

Într-un cilindru cu piston care se mișcă ușor, un gaz încălzit împinge pistonul și își mărește volumul, dacă presiunea exterioară este menținută constantă și procesul este cvasistatic. O transformare în care presiunea gazului rămâne constantă se numește izobară. „Izo” înseamnă aceeași, iar „bară” trimite la presiune.

Pentru aceeași cantitate de gaz ideal, volumul crește odată cu temperatura absolută în acest proces. Temperatura trebuie măsurată în kelvini. Nu spune că volumul se dublează când temperatura Celsius se dublează: trecerea de la $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ la $40{}^{\circ }\mathrm{C}$ nu dublează temperatura absolută. O creștere de $20\mathrm{K}$ este aceeași diferență ca $20{}^{\circ }\mathrm{C}$, dar raporturile temperaturilor cer kelvini.

Gazul care se extinde împinge mediul, deci efectuează lucru mecanic. O parte din energia primită prin căldură mărește energia internă, iar restul se transformă în lucru mecanic prin această împingere. Dacă gazul se răcește la presiune constantă, mediul împinge pistonul înapoi, iar volumul scade.

Pe diagrama presiune–volum, o transformare izobară se reprezintă printr-un segment orizontal: presiunea rămâne constantă în timp ce volumul se schimbă. Într-un montaj real, condiția este aproximativă, iar frecarea pistonului poate împiedica menținerea unei presiuni constante.

Pentru o cantitate fixă de gaz ideal la presiune constantă, ecuația de stare dă $V/T=\nu R/p=const.$, deci $V_1/T_1=V_2/T_2$. Gay-Lussac a formulat legea cu temperatura Celsius: $V=V_0(1+\alpha t)$, unde $V_0$ este volumul la $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, iar $\alpha =\frac{1}{273,15}{\mathrm{K}}^{-1}$ este același pentru toate gazele ideale. Dreapta $V(t)$ intersectează axa temperaturilor la $-273,15{}^{\circ }\mathrm{C}$, adică la $T=0$; gazele reale se lichefiază înainte de această temperatură, iar prelungirea dreptei este doar o proprietate a modelului. Încălzit la presiune atmosferică de la $280\mathrm{K}$ la $295\mathrm{K}$, un volum de aer crește cu $5,4\%$, deoarece $295/280\simeq 1,054$; creșterea relativă a volumului este egală cu cea a temperaturii absolute. În diagrama $V$–$T$ izobara este o semidreaptă prin origine, iar în $p$–$V$ și $p$–$T$ este un segment orizontal.

Încălzirea trebuie să fie suficient de lentă ca presiunea să aibă în fiecare moment aceeași valoare în tot gazul; altfel stările intermediare nu au presiune și temperatură bine definite și nu pot fi trecute pe o diagramă.

Convenția de semne: $L>0$ când gazul își mărește volumul, $Q>0$ când primește căldură. Lucrul este aria dreptunghiului de sub segment, $L=p\Delta V$, și, din ecuația de stare, $L=\nu R\Delta T$. Aceasta dă sens constantei $R=8,31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$: un mol de gaz ideal încălzit cu un kelvin la presiune constantă efectuează lucrul $8,31\mathrm{J}$. Energia internă variază cu $\Delta U=\nu C_V\Delta T$, căldura este $Q=\nu C_p\Delta T$, iar relația Mayer $C_p=C_V+R$ asigură $Q=\Delta U+L$.

Partea din căldură care devine lucru este $L/Q=R/C_p$. Pentru gazul monoatomic, cu $C_V=\frac{3}{2}R$ și $C_p=\frac{5}{2}R$, căldura, variația energiei interne și lucrul sunt în raportul $5:3:2$, deci $40\%$ din căldură devine lucru. Pentru gazul diatomic, cu $C_V=\frac{5}{2}R$ și $C_p=\frac{7}{2}R$, raportul este $7:5:2$ și lucrul reprezintă $2/7$ din căldură. La răcirea izobară $\Delta T<0$, deci $L$, $Q$ și $\Delta U$ sunt negative: mediul comprimă gazul, iar gazul cedează căldură.

Exemplu rezolvat 1. Doi moli de gaz ideal monoatomic sunt încălziți la presiunea constantă $p=2,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ de la $T_1=300\mathrm{K}$ la $T_2=450\mathrm{K}$. Aflăm volumele, lucrul, variația energiei interne și căldura.

1. Din ecuația de stare, $V_1=\nu R{T}_1/p=2\cdot 8,31\cdot 300/(2,0\cdot 10^5){\mathrm{m}}^3\simeq 2,49\cdot 10^{-2}{\mathrm{m}}^3=24,9\mathrm{L}$, iar $V_2=V_1{T}_2/T_1\simeq 37,4\mathrm{L}$.
2. Lucrul este $L=p(V_2-V_1)=2,0\cdot 10^5\cdot 1,25\cdot 10^{-2}\mathrm{J}\simeq 2,49\mathrm{kJ}$, în acord cu $\nu R\Delta T=2\cdot 8,31\cdot 150\mathrm{J}=2493\mathrm{J}$.
3. Variația energiei interne este $\Delta U=\nu \cdot \frac{3}{2}R\Delta T=3739,5\mathrm{J}\simeq 3,74\mathrm{kJ}$.
4. Căldura este $Q=\Delta U+L=6232,5\mathrm{J}\simeq 6,23\mathrm{kJ}$, egală cu $\nu \cdot \frac{5}{2}R\Delta T$.

Din căldura primită, $40\%$ devine lucru, exact proporția $2/5$ cerută de gazul monoatomic. Unitățile sunt coerente: pascalii înmulțiți cu metri cubi dau jouli, pentru că $1\mathrm{Pa}=1N/{\mathrm{m}}^2$, iar un newton-metru este un joule. Ordinul de mărime are sens, deoarece un volum de circa $25\mathrm{L}$ se mărește cu o jumătate din valoarea lui, adică cu $12,5\mathrm{L}$.

Exemplu rezolvat 2. Un cilindru vertical închis cu un piston de masă $m=10\mathrm{kg}$ și arie $S=50\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ conține aer cu volumul $V_1=1,0\mathrm{L}$ la $27{}^{\circ }\mathrm{C}$. Presiunea atmosferică este $p_0=1,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$, iar $g=10m/{\mathrm{s}}^2$. Aerul este încălzit lent până la $87{}^{\circ }\mathrm{C}$.

1. Presiunea gazului este $p=p_0+mg/S=10^5+100/(5,0\cdot 10^{-3})=1,2\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ și rămâne constantă cât timp pistonul se mișcă liber.
2. Temperaturile absolute sunt $T_1=300\mathrm{K}$ și $T_2=360\mathrm{K}$, iar $V_2=V_1{T}_2/T_1=1,2\mathrm{L}$.
3. Pistonul urcă cu $\Delta h=\Delta V/S=2,0\cdot 10^{-4}/(5,0\cdot 10^{-3})\mathrm{m}=4,0\mathrm{cm}$.
4. Lucrul este $L=p\Delta V=1,2\cdot 10^5\cdot 2,0\cdot 10^{-4}\mathrm{J}=24\mathrm{J}$.

Din cei $24\mathrm{J}$, $p_0\Delta V=20\mathrm{J}$ ridică atmosfera, iar $mg\Delta h=4\mathrm{J}$ ridică pistonul.

Problemele de izobară din Bacalaureat și din admitere pornesc de la echilibrul unui piston, de la un dop de mercur sau de la o diagramă. Pistonul liber impune $p=p_0+mg/S$, iar presiunea rămâne aceeași cât timp forțele care îl țin în echilibru nu se schimbă. Într-un tub orizontal închis cu un dop de mercur, presiunea gazului este egală cu cea atmosferică, iar volumul este proporțional cu lungimea coloanei de gaz: $l_1/T_1=l_2/T_2$. Pentru $l_1=20\mathrm{cm}$ la $300\mathrm{K}$, încălzirea până la $330\mathrm{K}$ dă $l_2=22\mathrm{cm}$.

Pe diagrame, lucrul este aria de sub segmentul orizontal și se calculează direct. Relațiile de lucru sunt $L=p\Delta V=\nu R\Delta T$ și rapoartele $L:\Delta U:Q=2:3:5$ la gazul monoatomic, respectiv $2:5:7$ la cel diatomic. Dacă enunțul dă $C_V$ sau $\gamma$, se obține $C_p=C_V+R=\gamma C_V$.

Capcane: diferența $\Delta T$ este aceeași în kelvini și în grade Celsius, dar în raportul $V_1/V_2=T_1/T_2$ se folosesc temperaturile absolute; căldura izobară cere $C_p$, nu $C_V$; la răcire toate cele trei mărimi sunt negative; volumele se exprimă în ${\mathrm{m}}^3$ când se calculează lucrul.

Doi moli de gaz ideal diatomic, cu $C_V=\frac{5}{2}R$, sunt încălziți la presiune constantă de la $27{}^{\circ }\mathrm{C}$ la $67{}^{\circ }\mathrm{C}$. Se ia $R=8,31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$. Căldura primită de gaz este:

• a) $0,66\mathrm{kJ}$
• b) $1,66\mathrm{kJ}$
• c) $2,33\mathrm{kJ}$
• d) $19,8\mathrm{kJ}$

Rezolvare.

1. La presiune constantă, $Q=\nu C_p\Delta T$, cu $C_p=C_V+R=\frac{7}{2}R$.
2. Variația de temperatură este $\Delta T=67-27=40\mathrm{K}$.
3. Obținem $Q=2\cdot 3,5\cdot 8,31\cdot 40\mathrm{J}=2326,8\mathrm{J}\simeq 2,33\mathrm{kJ}$.
4. Varianta a) este numai lucrul $\nu R\Delta T$, b) este variația energiei interne $\nu C_V\Delta T$, iar d) folosește $T_2=340\mathrm{K}$ în loc de $\Delta T$.

Răspuns corect: c).

Greșeli frecvente

• Greșit: izobara are volumul constant.
  Corect: izobara are presiunea constantă; volumul constant este izocora.
• Greșit: $V_1/V_2=t_1/t_2$ în grade Celsius.
  Corect: $V_1/V_2=T_1/T_2$, cu T în kelvini.
• Greșit: la încălzirea izobară toată căldura mărește energia internă.
  Corect: $Q=\Delta U+L$, cu $L=p\Delta V>0$.
• Greșit: căldura izobară se calculează cu $Q=\nu C_V\Delta T$.
  Corect: $Q=\nu C_p\Delta T$, iar $\nu C_V\Delta T$ este numai variația energiei interne.

Înainte și după