Transformarea izocoră

O transformare izocoră are loc la volum constant. Pentru un gaz într-un recipient rigid închis, creșterea temperaturii duce la creșterea presiunii, proporțional cu temperatura absolută, deoarece volumul nu se modifică. În modelul ideal, lucrul mecanic de expansiune este zero. Experimentul trebuie realizat numai în instalații proiectate pentru presiunile posibile.

De ce crește presiunea? Particulele gazului au, în medie, mai multă energie de mișcare la temperatură mai mare. Ele lovesc pereții mai des și mai puternic, iar efectul colectiv asupra pereților este mai mare. Dacă gazul se răcește, presiunea scade. Comparația are sens numai dacă nu se pierde gaz și recipientul nu își schimbă semnificativ volumul.

La volum constant, gazul nu împinge un piston pe o distanță. În modelul obișnuit al transformării izocore, lucrul mecanic de expansiune este zero. Energia primită prin căldură se regăsește în schimbarea energiei interne, dacă nu intervin alte forme de lucru. Acest lucru este diferit de încălzirea într-un cilindru cu piston mobil, unde gazul se poate dilata.

Într-un grafic presiune–volum, transformarea izocoră apare ca o linie verticală: volumul are o singură valoare, în timp ce presiunea se schimbă. În viața reală, vasele se dilată puțin, astfel că „rigid” este o aproximație. La problemele școlare, citește condiția din enunț și folosește modelul declarat.

Pentru $\nu$ și $V$ constante, ecuația de stare $pV=\nu RT$ dă legea lui Charles: $p/T=\nu R/V=const.$, deci $p_1/T_1=p_2/T_2$. Cu temperatura Celsius, legea se scrie $p=p_0(1+\beta t)$, unde $p_0$ este presiunea la $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, iar $\beta =\frac{1}{273,15}{\mathrm{K}}^{-1}$ este coeficientul termic al presiunii, egal cu coeficientul $\alpha$ al izobarei pentru orice gaz ideal. Explicația cinetică este relația $p=\frac{2}{3}n{\bar{\epsilon }}_c$, în care concentrația $n=N/V$ rămâne constantă, iar energia cinetică medie de translație a unei molecule, ${\bar{\epsilon }}_c=\frac{3}{2}kT$, este proporțională cu $T$. În diagrama $p$–$T$ izocora este o semidreaptă prin origine, în $p$–$V$ un segment vertical, iar în $V$–$T$ un segment orizontal. Pentru aceeași cantitate de gaz, o izocoră cu panta mai mare în $p$–$T$ corespunde unui volum mai mic, deoarece panta este $\nu R/V$.

Cum $\Delta V=0$, aria de sub graficul $p(V)$ este nulă și $L=0$. Principiul I dă $Q=\Delta U$. Energia internă a gazului ideal depinde numai de temperatură, $U=\nu C_{V}T$, deci $Q=\nu C_V\Delta T$ cu $C_V=\frac{3}{2}R$ pentru gazul monoatomic și $C_V=\frac{5}{2}R$ pentru cel diatomic. Formula $\Delta U=\nu C_V\Delta T$ este valabilă pentru orice transformare a gazului ideal, dar $Q=\Delta U$ este adevărată numai la volum constant. Deoarece $\nu R\Delta T=V\Delta p$, căldura se poate scrie și $Q=\frac{C_V}{R}V\Delta p$, fără să se cunoască $\nu$ sau $T$. La răcire, $\Delta T<0$, deci $Q<0$: gazul cedează căldură, iar presiunea scade. Extrapolarea lui $p\to 0$ la $T\to 0$ aparține modelului; un gaz real se lichefiază mai devreme. Proporționalitatea $p\sim T$ stă la baza termometrului cu gaz la volum constant: raportul presiunilor măsurate în două stări este egal cu raportul temperaturilor absolute. O butelie de oțel cu aer comprimat la presiunea absolută $1,0\cdot 10^6\mathrm{Pa}$ la $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ ajunge, lăsată la soare la $80{}^{\circ }\mathrm{C}$, la $1,0\cdot 10^6\cdot 353/293\mathrm{Pa}\simeq 1,2\cdot 10^6\mathrm{Pa}$, cu $20\%$ mai mult.

Exemplu rezolvat 1. O anvelopă are volumul constant și, la $10{}^{\circ }\mathrm{C}$, un manometru arată $2,2\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ peste presiunea atmosferică $10^5\mathrm{Pa}$. După drum, aerul din anvelopă ajunge la $40{}^{\circ }\mathrm{C}$. Aflăm presiunea indicată de manometru.

1. Presiunea absolută inițială este $p_1=2,2\cdot 10^5+10^5=3,2\cdot 10^5\mathrm{Pa}$.
2. Temperaturile absolute sunt $T_1=283\mathrm{K}$ și $T_2=313\mathrm{K}$.
3. Din $p_1/T_1=p_2/T_2$ obținem $p_2=3,2\cdot 10^5\cdot 313/283\mathrm{Pa}\simeq 3,54\cdot 10^5\mathrm{Pa}$.
4. Manometrul indică $p_2-p_0\simeq 2,54\cdot 10^5\mathrm{Pa}$.

Dacă raportul temperaturilor ar fi aplicat direct presiunii manometrice, rezultatul ar fi $2,43\cdot 10^5\mathrm{Pa}$, deci greșit.

Exemplu rezolvat 2. Într-un vas rigid se află $\nu =2,0\mathrm{mol}$ de heliu la $T_1=300\mathrm{K}$. Un încălzitor cu puterea $P=50\mathrm{W}$ funcționează $t=120\mathrm{s}$, iar întreaga energie ajunge la gaz. Aflăm temperatura finală și raportul presiunilor.

1. Căldura primită este $Q=Pt=6000\mathrm{J}$.
2. Cum $L=0$, rezultă $\Delta U=Q$, iar pentru heliu $C_V=\frac{3}{2}R$.
3. Creșterea de temperatură este $\Delta T=Q/(\nu C_V)=6000/(2,0\cdot 1,5\cdot 8,31)\mathrm{K}\simeq 241\mathrm{K}$.
4. Temperatura finală este $T_2\simeq 541\mathrm{K}$, iar $p_2/p_1=T_2/T_1\simeq 1,80$.

Presiunea heliului crește de $1,80$ ori, deși volumul nu s-a modificat; toată energia primită a mărit energia cinetică a atomilor.

Izocora apare la Bacalaureat și la admitere în trei tipuri de probleme. Primul este vasul închis cu un dop sau cu un capac care cedează la o forță maximă $F$ pe aria $S$: gazul închis la $p_0$ ajunge la $p_{\max }=p_0+F/S$, iar temperatura la care cedează dopul se află din $T_{\max }=T_1{p}_{\max }/p_0$. Pentru $p_0=10^5\mathrm{Pa}$, $S=2\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ și $F=20\mathrm{N}$ se obține $p_{\max }=2\cdot 10^5\mathrm{Pa}$, deci dopul sare când temperatura se dublează, de la $300\mathrm{K}$ la $600\mathrm{K}$.

Al doilea tip cere căldura sau variația energiei interne din datele de presiune: $Q=\Delta U=\frac{C_V}{R}V\Delta p$, adică $\frac{3}{2}V\Delta p$ pentru gazul monoatomic și $\frac{5}{2}V\Delta p$ pentru cel diatomic. Al treilea citește diagrame: în $p$–$T$ izocora este o dreaptă care, prelungită, trece prin origine, deci două stări pe aceeași dreaptă au același volum; în $p$–$V$ segmentul vertical nu are arie, deci $L=0$.

Capcane: presiunea manometrică în loc de cea absolută; temperatura în grade Celsius în raportul $p_1/p_2$; volumul în litri în formula căldurii (rezultatul iese în $\mathrm{L}\cdot \mathrm{Pa}$, nu în jouli); $C_p$ în locul lui $C_V$ pentru că gazul „se încălzește”.

Într-un vas rigid cu volumul $V=20\mathrm{L}$ se află heliu. Prin încălzire, presiunea crește de la $p_1=2,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ la $p_2=3,5\cdot 10^5\mathrm{Pa}$. Căldura primită de gaz este:

• a) $3,0\mathrm{kJ}$
• b) $4,5\mathrm{kJ}$
• c) $7,5\mathrm{kJ}$
• d) $10,5\mathrm{kJ}$

Rezolvare.

1. Vasul este rigid, deci $L=0$ și $Q=\Delta U=\nu C_V\Delta T$, cu $C_V=\frac{3}{2}R$ pentru heliu.
2. La volum constant, $\nu R\Delta T=V\Delta p$, deci $Q=\frac{3}{2}V\Delta p$.
3. Cu $V=2,0\cdot 10^{-2}{\mathrm{m}}^3$ și $\Delta p=1,5\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ rezultă $Q=1,5\cdot 2,0\cdot 10^{-2}\cdot 1,5\cdot 10^5\mathrm{J}=4500\mathrm{J}=4,5\mathrm{kJ}$.
4. Varianta a) omite factorul $\frac{3}{2}$, c) folosește $C_V=\frac{5}{2}R$ de la gazul diatomic, iar d) pune $p_2$ în loc de $\Delta p$.

Răspuns corect: b).

Greșeli frecvente

• Greșit: a spune că volumul gazului crește într-un vas declarat rigid.
  Corect: în vasul rigid volumul rămâne constant.
• Greșit: a calcula $L=p\Delta V$ cu $\Delta V$ diferit de zero pentru o izocoră.
  Corect: la izocoră $L=0$.
• Greșit: a folosi presiunea manometrică în raportul $p/T$.
  Corect: în raportul $p/T$ se pune presiunea absolută.
• Greșit: la izocoră $\Delta U=0$, fiindcă volumul nu se schimbă.
  Corect: $\Delta U=\nu C_V\Delta T=Q$; energia internă depinde de temperatură, nu de volum.

Înainte și după