Transformarea adiabatică

Apasă repede pistonul unei pompe de bicicletă și corpul pompei se încălzește. Aerul dinăuntru este comprimat într-un timp scurt. Dacă schimbul de căldură cu exteriorul este neglijabil pe durata procesului, spunem că transformarea este adiabatică. Nu înseamnă că temperatura rămâne aceeași; dimpotrivă, temperatura aerului crește la comprimare.

Un alt exemplu apare când un gaz se destinde rapid și împinge mediul: el pierde energie internă și se răcește. Energia nu dispare. Gazul a transferat-o prin lucru mecanic. Într-o comprimare, mediul face lucru asupra gazului, iar energia internă a acestuia crește. Trebuie să alegi sistemul pentru a spune corect cine primește sau cedează energie.

O transformare adiabatică poate fi obținută aproximativ prin izolare termică bună sau prin desfășurarea procesului suficient de rapid încât schimbul de căldură să fie mic. Dar „rapid” singur nu garantează condiția: contează și materialele, mărimea sistemului și durata. Orice sistem real pierde puțină energie către mediu.

Compară cu transformarea izotermă: la izotermă temperatura rămâne constantă și gazul schimbă căldură cu mediul; la adiabatică schimbul de căldură este neglijabil, iar temperatura se schimbă de îndată ce volumul variază. Numele proceselor descriu două condiții diferite. Aceasta este diferența esențială înainte de formule.

La o transformare adiabatică $Q=0$, deci principiul I dă $\Delta U=-L$, cu $L$ lucrul efectuat de gaz. La destindere $L>0$ și energia internă scade; la comprimare $L<0$ și energia internă crește. Pentru gazul ideal, $\Delta U=\nu C_V\Delta T$, deci $L=\nu C_V(T_1-T_2)$: un gaz care se destinde adiabatic se răcește, iar unul comprimat se încălzește.

Dacă transformarea este și cvasistatică, parametrii gazului respectă ecuația Poisson, cu exponentul adiabatic $\gamma =C_p/C_V$, egal cu $5/3$ pentru gazul monoatomic și cu $7/5$ pentru cel diatomic:

A doua relație rezultă din prima prin înlocuirea lui $p$ cu $\nu RT/V$. Din relația Mayer, $C_V=R/(\gamma -1)$, de unde lucrul se exprimă și prin stările extreme: $L=\frac{p_1{V}_1-p_2{V}_2}{\gamma -1}$.

Adiabata este mai abruptă decât izoterma care trece prin același punct. La înjumătățirea volumului, izoterma dublează presiunea, în timp ce adiabata o înmulțește cu $2^{\gamma }>2$, de exemplu cu $2^{1,4}\simeq 2,64$. Pornind de la $10^5\mathrm{Pa}$, aerul ($\gamma =1,4$) comprimat la jumătate din volum ajunge la $2,00\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ pe izotermă și la $2,64\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ pe adiabată. Din aceeași stare, o destindere adiabatică ajunge, la același volum final, la o presiune mai mică decât una izotermă și efectuează un lucru mai mic, pentru că gazul se răcește.

În atmosferă, aerul uscat care urcă pe un versant se destinde aproape adiabatic, deoarece schimbul de căldură cu aerul din jur este lent față de mișcarea pe verticală; temperatura lui scade cu $9,8\mathrm{K}$ la fiecare kilometru de ridicare. Relațiile Poisson cer un proces cvasistatic. La destinderea liberă în vid, $Q=0$ și $L=0$, deci $\Delta U=0$ și temperatura gazului ideal nu se schimbă, dar între stările inițială și finală nu există o succesiune de stări de echilibru, iar $p{V}^{\gamma }=const.$ nu este valabilă.

Exemplu rezolvat 1. Aerul ($\gamma =1,4$) dintr-un cilindru are $V_1=1,0\mathrm{L}$, $p_1=1,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ și $T_1=300\mathrm{K}$. Este comprimat adiabatic și cvasistatic până la $V_2=0,10\mathrm{L}$. Aflăm presiunea și temperatura finale și lucrul.

1. Raportul volumelor este $V_1/V_2=10$.
2. Din $p{V}^{\gamma }=const.$, $p_2=p_1\cdot 10^{1,4}\simeq 2,51\cdot 10^6\mathrm{Pa}$.
3. Din $T{V}^{\gamma -1}=const.$, $T_2=T_1\cdot 10^{0,4}\simeq 754\mathrm{K}$.
4. Lucrul este $L=\frac{p_1{V}_1-p_2{V}_2}{\gamma -1}=\frac{100-251,2}{0,4}\mathrm{J}\simeq -378\mathrm{J}$, cu $p_1{V}_1=100\mathrm{J}$ și $p_2{V}_2\simeq 251,2\mathrm{J}$.
5. Energia internă crește cu $\Delta U=-L\simeq 378\mathrm{J}$.

Aerul se încălzește cu aproximativ $454\mathrm{K}$ fără niciun transfer de căldură; o comprimare izotermă la același raport ar fi ridicat presiunea doar până la $10^6\mathrm{Pa}$.

Exemplu rezolvat 2. Doi moli de heliu se destind adiabatic și cvasistatic, iar temperatura scade de la $T_1=400\mathrm{K}$ la $T_2=250\mathrm{K}$. Aflăm lucrul și raportul volumelor și al presiunilor.

1. Pentru heliu $C_V=\frac{3}{2}R$ și $\gamma =5/3$. Lucrul este $L=\nu C_V(T_1-T_2)=2\cdot 1,5\cdot 8,31\cdot 150\mathrm{J}\simeq 3,74\mathrm{kJ}$.
2. Din $T{V}^{\gamma -1}=const.$ cu $\gamma -1=\frac{2}{3}$ rezultă $(V_2/V_1{)}^{2/3}=T_1/T_2=1,6$, deci $V_2/V_1=1,6^{1,5}\simeq 2,02$.
3. Din $pV/T=const.$ obținem $p_2/p_1=(T_2/T_1)(V_1/V_2)\simeq 0,625/2,02\simeq 0,31$.

Volumul se dublează, iar presiunea scade la $0,31$ din valoarea inițială; la o izotermă cu același raport al volumelor ar scădea la $0,49$ din ea, deoarece gazul care se răcește exercită o presiune mai mică.

Problemele de adiabatică cer, pe rând, alegerea relației potrivite și controlul semnelor. Pentru temperaturi se folosește $T{V}^{\gamma -1}=const.$, pentru presiuni $p{V}^{\gamma }=const.$, iar dacă enunțul nu dă numărul de moli, variația energiei interne se scrie $\Delta U=\frac{p_2{V}_2-p_1{V}_1}{\gamma -1}$. Pe o diagramă $p$–$V$, din același punct, un gaz care se destinde ajunge la acest volum final cu presiunea cea mai mare pe izobară, mai mică pe izotermă și cea mai mică pe adiabată; lucrul efectuat respectă aceeași ordine.

La destindere adiabatică $L>0$ și $\Delta T<0$; la comprimare adiabatică $L<0$ și $\Delta T>0$. În ambele cazuri $Q=0$. Într-un ciclu care conține adiabate, căldura primită și cea cedată apar numai pe celelalte etape, iar lucrul net se obține din bilanțul $L=Q_1-|Q_2|$. Capcane: exponentul $\gamma$ în locul lui $\gamma -1$ la relația dintre temperatură și volum; temperaturi în grade Celsius; aplicarea relațiilor Poisson destinderii libere; ideea că $Q=0$ înseamnă $T=const.$

Aerul ($\gamma =1,4$) aflat la $300\mathrm{K}$ este comprimat adiabatic și cvasistatic până când volumul său devine jumătate din cel inițial. Se dă $2^{0,4}\simeq 1,32$. Temperatura finală este:

• a) $300\mathrm{K}$
• b) $396\mathrm{K}$
• c) $600\mathrm{K}$
• d) $792\mathrm{K}$

Rezolvare.

1. Transformarea este adiabatică și cvasistatică, deci $T_1{V}_1^{\gamma -1}=T_2{V}_2^{\gamma -1}$.
2. Cu $V_1/V_2=2$, obținem $T_2=T_1\cdot 2^{\gamma -1}=300\cdot 2^{0,4}$.
3. Rezultă $T_2\simeq 300\cdot 1,32\mathrm{K}=396\mathrm{K}$.
4. Varianta a) tratează procesul ca izoterm, c) presupune că temperatura se dublează când volumul se înjumătățește, iar d) folosește exponentul $\gamma$ în locul lui $\gamma -1$.

Răspuns corect: b).

Greșeli frecvente

• Greșit: a confunda $Q=0$ cu $\Delta U=0$.
  Corect: $Q=0$, dar $\Delta U=-L\ne 0$.
• Greșit: a aplica relațiile Poisson oricărei transformări adiabatice, inclusiv celei ireversibile.
  Corect: ecuația Poisson se aplică transformărilor cvasistatice.
• Greșit: a numi „izotermă” comprimarea rapidă doar pentru că durează puțin.
  Corect: comprimarea rapidă fără schimb de căldură este adiabatică, nu izotermă.
• Greșit: adiabata și izoterma care pleacă din același punct au aceeași pantă.
  Corect: adiabata este mai abruptă, deoarece $\gamma >1$.
• Greșit: un gaz care se destinde adiabatic își păstrează temperatura, fiindcă nu primește căldură.
  Corect: gazul efectuează lucru pe seama energiei interne și se răcește.

Înainte și după