Gazul ideal și ecuația de stare

Apasă încet pistonul unei seringi astupate, fără ac. Aerul ocupă mai puțin spațiu, iar apăsarea devine mai grea: presiunea aerului crește. Dacă un balon este încălzit cu grijă, volumul sau presiunea aerului din el se modifică. Gazul ideal este un model simplificat care leagă între ele presiunea, volumul și temperatura.

În acest model, particulele gazului sunt foarte mici față de spațiul dintre ele și nu se atrag când nu se ciocnesc. Un gaz real nu respectă perfect aceste ipoteze. Totuși, la presiuni mici și temperaturi departe de condensare, modelul dă rezultate bune. Nu îl folosim pentru un gaz aproape de lichefiere.

Starea unui gaz ideal este caracterizată de presiunea $p$, volumul $V$, temperatura absolută $T$ și cantitatea de substanță $\nu$. Dacă se adaugă gaz într-un recipient, $\nu$ se schimbă; relațiile valabile pentru o cantitate constantă nu se pot aplica fără această precizare.

În lecțiile despre transformări ținem constantă, pe rând, una dintre aceste mărimi. Deocamdată reține întrebarea de pornire: ce se schimbă și ce rămâne fix? Înainte de orice calcul cu temperatura gazului, transformă gradele Celsius în kelvini. Zero grade Celsius nu înseamnă absența mișcării particulelor.

Ecuația termică de stare a gazului ideal, ecuația Clapeyron–Mendeleev, este

cu $R=8,31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ constanta universală a gazelor. Ea se scrie echivalent $p=nkT$ (cu $n=N/V$ și $k=R/N_A=1,38\cdot 10^{-23}J/K$), $pV=\frac{m}{\mu }RT$ sau $p\mu =\rho RT$, de unde densitatea gazului este $\rho =p\mu /(RT)$. În toate formele se folosesc mărimi în unități SI: $p$ în $\mathrm{Pa}$ (absolută, față de vid), $V$ în ${\mathrm{m}}^3$ (cu $1\mathrm{L}=10^{-3}{\mathrm{m}}^3$), $T$ în $\mathrm{K}$, $\mu$ în $kg/mol$.

Pentru aceeași cantitate de gaz, în două stări oarecare, produsul $pV/T=\nu R$ are aceeași valoare, deci

Legile particulare (izotermă, izobară, izocoră) se obțin din ea prin fixarea unui parametru și sunt tratate în „Transformările gazului ideal”. Ecuația unește legile experimentale ale lui Boyle–Mariotte, Gay-Lussac și Charles: Clapeyron a combinat-o în 1834 pentru o cantitate dată de gaz, iar Mendeleev a scris-o în 1874 pentru orice cantitate de gaz, cu constanta universală $R$, aceeași pentru toate gazele. Produsul $RT$ are dimensiunea unei energii pe mol: la $300\mathrm{K}$, $RT\approx 2,49kJ/mol$. Aplicată în condiții normale, ecuația dă volumul molar: $V_{\mu 0}=R{T}_0/p_0=8,31\cdot 273,15/(1,013\cdot 10^5)\approx 22,4\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^3/mol$, adică $22,4\mathrm{L}/\mathrm{mol}$. La $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ și $1,013\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ un mol ocupă mai mult, $RT/p\approx 24,0\mathrm{L}$, pentru că volumul crește proporțional cu $T$ la presiune constantă. Tot din ecuație rezultă că, la aceleași $p$ și $T$, volume egale de gaze diferite conțin același număr de molecule (legea lui Avogadro).

Modelul este valabil când volumul propriu al moleculelor și forțele dintre ele sunt neglijabile față de energia mișcării lor, adică la presiuni mici și temperaturi mari față de cea de lichefiere. Aerul la presiune atmosferică și temperatura camerei îl respectă foarte bine; un gaz comprimat la sute de atmosfere sau răcit aproape de lichefiere se abate de la ecuație.

În calcule, ecuația se folosește în două feluri. Ca relație între parametrii unei singure stări, când se cere una dintre mărimi, de exemplu cantitatea de gaz sau densitatea. Ca raport între două stări ale aceleiași cantități de gaz, când $\nu$ și $R$ se simplifică și rămâne doar raportul parametrilor. A doua formă este mai comodă, fiindcă nu mai cere masa molară, iar presiunile și volumele pot rămâne în unitățile date, cu condiția ca ambele stări să folosească aceeași unitate; temperatura se exprimă totdeauna în kelvini.

Exemplu rezolvat 1. O butelie cu volumul $10\mathrm{L}$ conține oxigen la presiunea $2,0\cdot 10^6\mathrm{Pa}$ și temperatura $300\mathrm{K}$. Ce masă de oxigen conține ($\mu =32g/mol$)?

1. Volumul în SI este $V=10\mathrm{L}=1,0\cdot 10^{-2}{\mathrm{m}}^3$.
2. Din ecuația de stare, $\nu =\frac{pV}{RT}=\frac{2,0\cdot 10^6\cdot 1,0\cdot 10^{-2}}{8,31\cdot 300}\approx 8,02\mathrm{mol}$.
3. Masa este $m=\nu \mu =8,02\cdot 32\approx 257\mathrm{g}$.

Butelia conține circa $0,26\mathrm{kg}$ de oxigen.

Exemplu rezolvat 2. O cameră cu volumul $50{\mathrm{m}}^3$, comunicând cu exteriorul, are aerul la $27{}^{\circ }\mathrm{C}$ și presiunea $1,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$. Temperatura scade la $7{}^{\circ }\mathrm{C}$, presiunea rămânând aceeași. Ce masă de aer intră în cameră ($\mu =29g/mol$)?

1. Temperaturile absolute sunt, aproximativ, $T_1=300\mathrm{K}$ și $T_2=280\mathrm{K}$.
2. Cantitatea de aer din cameră în prima stare este ${\nu }_1=pV/(R{T}_1)=1,0\cdot 10^5\cdot 50/(8,31\cdot 300)\approx 2006\mathrm{mol}$, iar în a doua ${\nu }_2=pV/(R{T}_2)\approx 2149\mathrm{mol}$.
3. Au intrat $\Delta \nu =2149-2006\approx 143\mathrm{mol}$, adică $\Delta m=143\cdot 0,029\approx 4,2\mathrm{kg}$.

Cantitatea de gaz din cameră nu este constantă, de aceea nu se poate aplica direct relația dintre două stări.

Primul pas este să decizi dacă $\nu$ rămâne constant. Dacă gazul este închis, folosește raportul stărilor $p_1{V}_1/T_1=p_2{V}_2/T_2$. Dacă gazul iese sau intră, scrie ecuația de stare separat pentru fiecare stare și calculează $\Delta \nu$. Alte reguli:

• pentru a compara două stări fără a cunoaște $\nu$, împarte ecuațiile lor membru cu membru: $\nu$ și $R$ se simplifică, iar rămâne raportul parametrilor;
• presiunea din ecuație este cea absolută: $p_{\mathrm{abs}}=p_{\mathrm{man}}+p_{\mathrm{atm}}$;
• două vase unite printr-un tub, aflate la aceeași temperatură $T$ atât înainte, cât și după unire: $p(V_1+V_2)=p_1{V}_1+p_2{V}_2$, pentru că $\nu$ total se conservă; dacă temperaturile inițiale diferă, se scrie $\frac{p(V_1+V_2)}{T_f}=\frac{p_1{V}_1}{T_1}+\frac{p_2{V}_2}{T_2}$;
• unitățile se convertesc înainte: $1\mathrm{L}=10^{-3}{\mathrm{m}}^3$, $1\mathrm{atm}\approx 1,013\cdot 10^5\mathrm{Pa}$, $T=t+273,15$;
• în problemele cu densitate se folosește $\rho =p\mu /(RT)$, cu $\mu$ în $kg/mol$;
• masa de gaz care iese dintr-un vas rigid este $\Delta m=\mu ({\nu }_1-{\nu }_2)=\frac{\mu V}{R}\left(\frac{p_1}{T_1}-\frac{p_2}{T_2}\right)$;
• când se dau numărul de molecule $N$ și volumul, ecuația se scrie $pV=NkT$ și nu mai este nevoie de $\nu$; nu amesteca $k$ cu $R$ în aceeași relație.

Exemplu în formatul examenului. Densitatea heliului ($\mu =4,0g/mol$) la $27{}^{\circ }\mathrm{C}$ (circa $300\mathrm{K}$) și presiunea $1,0\cdot 10^5\mathrm{Pa}$ este (cu $R=8,31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$):

• a) $0,32kg/{\mathrm{m}}^3$
• b) $0,16kg/{\mathrm{m}}^3$
• c) $1,8kg/{\mathrm{m}}^3$
• d) $160kg/{\mathrm{m}}^3$

Rezolvare.

1. Masa molară în SI este $\mu =4,0\cdot 10^{-3}kg/mol$.
2. $\rho =\frac{p\mu }{RT}=\frac{1,0\cdot 10^5\cdot 4,0\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 300}\approx 0,16kg/{\mathrm{m}}^3$.

Celelalte valori se obțin astfel: a) heliul tratat ca și cum moleculele ar fi formate din doi atomi, cu $\mu =8g/mol$ (heliul este monoatomic); c) temperatura introdusă în grade Celsius, $27$ în loc de $300$; d) masa molară lăsată în $g/mol$.

Răspuns corect: b).

Greșeli frecvente

• Greșit: a introduce temperatura în grade Celsius în $pV=\nu RT$.
  Corect: temperatura se introduce în kelvini, $T=t+273,15$.
• Greșit: a considera orice gaz real perfect ideal, inclusiv lângă condensare.
  Corect: modelul este bun la presiuni mici și departe de condensare; aproape de lichefiere nu se aplică.
• Greșit: a păstra $\nu$ constant după ce gazul iese din recipient.
  Corect: dacă gazul iese sau intră, $\nu$ se schimbă și trebuie recalculat.
• Greșit: a pune în ecuație presiunea indicată de manometru.
  Corect: ecuația cere presiunea absolută, $p_{\mathrm{abs}}=p_{\mathrm{man}}+p_{\mathrm{atm}}$.
• Greșit: a introduce volumul în litri cu $R=8,31J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$.
  Corect: cu această valoare a lui $R$, volumul se exprimă în ${\mathrm{m}}^3$; $1\mathrm{L}=10^{-3}{\mathrm{m}}^3$.

Înainte și după