Ciclul Carnot

Un motor termic funcționează între o sursă caldă și una rece: primește căldură de la prima, cedează o parte celei de-a doua și produce lucru mecanic. Ciclul Carnot este un model reversibil ideal care stabilește randamentul maxim posibil între două temperaturi date. El oferă o limită teoretică, nu descrierea unui motor de automobil real.

Modelul presupune transformări reversibile: dacă am schimba sensul foarte lent, sistemul și mediul ar putea reveni la stările inițiale fără urme nete. În realitate există frecare, turbulență și diferențe de temperatură necesare transferului într-un timp finit. Aceste efecte fac procesele ireversibile și scad randamentul față de limita ideală.

Ciclul are patru etape. În două, gazul schimbă energie cu sursele la temperatură constantă; în celelalte două, schimbul de căldură este nul în model. La sfârșit, gazul revine la starea inițială. El nu „păstrează” energie internă suplimentară după fiecare ciclu, dar poate produce lucru mecanic net.

Limita Carnot depinde de temperaturile absolute ale sursei calde și celei reci, exprimate în kelvini. Randamentul maxim este cu atât mai mare cu cât raportul dintre temperatura sursei reci și temperatura sursei calde este mai mic. Chiar și un motor foarte bine construit nu poate depăși această limită între aceleași două surse. Un randament mic nu înseamnă obligatoriu proiectare proastă: uneori diferența de temperatură disponibilă este mică.

Substanța de lucru, un gaz ideal, parcurge în sens orar în diagrama $p$–$V$ patru transformări cvasistatice:

• $1\to 2$, destindere izotermă la $T_1$: gazul primește $Q_1=\nu R{T}_1\ln (V_2/V_1)$ de la sursa caldă;
• $2\to 3$, destindere adiabatică: temperatura scade de la $T_1$ la $T_2$, fără schimb de căldură;
• $3\to 4$, comprimare izotermă la $T_2$: gazul cedează sursei reci $|Q_2|=\nu R{T}_2\ln (V_3/V_4)$;
• $4\to 1$, comprimare adiabatică: temperatura crește de la $T_2$ la $T_1$.

Din relația Poisson $T{V}^{\gamma -1}=const.$ pe cele două adiabate, $T_1{V}_2^{\gamma -1}=T_2{V}_3^{\gamma -1}$ și $T_1{V}_1^{\gamma -1}=T_2{V}_4^{\gamma -1}$. Împărțirea lor dă $V_2/V_1=V_3/V_4$, deci cei doi logaritmi sunt egali și $|Q_2|/Q_1=T_2/T_1$. Randamentul este

cu $T_1>T_2>0$, exprimate în kelvini. Lucrul pe ciclu este $L=Q_1-|Q_2|=\nu R(T_1-T_2)\ln (V_2/V_1)$. Randamentul nu depinde de natura substanței de lucru și nu depinde de volumele ciclului; depinde numai de temperaturile surselor. Teorema lui Carnot spune că orice motor ciclic între aceleași două surse are $\eta \le {\eta }_{\mathrm{C}}$, iar egalitatea o are numai motorul reversibil. Sursele sunt rezervoare termice, cu capacitate calorică atât de mare încât temperatura lor nu se schimbă când primesc sau cedează căldură. Parcurs în sens antiorar, același ciclu este mașina frigorifică reversibilă, tratată în „Mașina frigorifică și pompa de căldură”. Un ciclu Carnot real ar avea putere foarte mică, deoarece transferurile reversibile cer diferențe de temperatură nule și deci durate infinite.

Pentru a mări randamentul se mărește $T_1$ sau se micșorează $T_2$. Între $500\mathrm{K}$ și $300\mathrm{K}$, ${\eta }_{\mathrm{C}}=0,40$; creșterea lui $T_1$ cu $100\mathrm{K}$ dă $0,50$, iar scăderea lui $T_2$ cu $100\mathrm{K}$ dă $0,60$. Valoarea $\eta =1$ ar cere $T_2=0\mathrm{K}$, ceea ce nu poate fi atins. O instalație cu abur la $700\mathrm{K}$ și condensator la $300\mathrm{K}$ are limita $0,571$; dacă apa din condensator se răcește la $280\mathrm{K}$, limita crește la $0,600$.

Exemplu rezolvat 1. Un motor Carnot cu $\nu =0,20\mathrm{mol}$ de gaz ideal monoatomic ($\gamma =5/3$) lucrează între $T_1=450\mathrm{K}$ și $T_2=300\mathrm{K}$. Pe izoterma caldă volumul crește de la $V_1=2,0\mathrm{L}$ la $V_2=6,0\mathrm{L}$. Aflăm căldurile, lucrul, randamentul și volumele $V_3$ și $V_4$.

1. Căldura primită este $Q_1=\nu R{T}_1\ln (V_2/V_1)=0,20\cdot 8,31\cdot 450\cdot \ln 3\mathrm{J}\simeq 822\mathrm{J}$.
2. Randamentul este ${\eta }_{\mathrm{C}}=1-300/450\simeq 0,333$, deci lucrul este $L={\eta }_{\mathrm{C}}{Q}_1\simeq 274\mathrm{J}$.
3. Căldura cedată este $|Q_2|=Q_1-L\simeq 548\mathrm{J}$, în acord cu $\nu R{T}_2\ln 3\simeq 548\mathrm{J}$.
4. Din adiabate, $V_3=V_2(T_1/T_2{)}^{1/(\gamma -1)}=6,0\cdot 1,5^{1,5}\mathrm{L}\simeq 11,0\mathrm{L}$ și $V_4=V_1\cdot 1,5^{1,5}\simeq 3,67\mathrm{L}$, iar $V_3/V_4=3=V_2/V_1$.

Sursa caldă dă $822\mathrm{J}$, dintre care o treime devine lucru.

Exemplu rezolvat 2. O instalație de conversie a energiei termice a oceanului folosește apa de la suprafață, la $25{}^{\circ }\mathrm{C}$, și apa din adânc, la $5{}^{\circ }\mathrm{C}$. Aflăm randamentul maxim și căldura minimă necesară pentru puterea de $1,0\mathrm{MW}$.

1. Temperaturile absolute sunt $T_1=298\mathrm{K}$ și $T_2=278\mathrm{K}$.
2. Randamentul maxim este ${\eta }_{\mathrm{C}}=1-278/298\simeq 0,067$.
3. Pentru $P=1,0\mathrm{MW}$, fluxul de căldură primit trebuie să fie cel puțin ${\Phi }_1=P/{\eta }_{\mathrm{C}}\simeq 14,9\mathrm{MW}$.
4. Fluxul cedat apei reci este cel puțin ${\Phi }_1-P\simeq 13,9\mathrm{MW}$.

Randamentul este mic doar pentru că diferența de temperatură disponibilă este de numai $20\mathrm{K}$.

Problemele cu ciclul Carnot combină trei relații: $\eta =1-T_2/T_1$, $|Q_2|/Q_1=T_2/T_1$ și $L=Q_1-|Q_2|$. Cel mai frecvent tip cere schimbarea unei temperaturi: din randamentul dat se află temperatura necunoscută cu $T_1=T_2/(1-\eta )$ sau $T_2=T_1(1-\eta )$, apoi se modifică sursa cerută și se recalculează $\eta$. Alt tip cere lucrul sau căldura cedată din $Q_1$ și $\eta$; dacă enunțul dă căldurile în loc de temperaturi, raportul $T_2/T_1=|Q_2|/Q_1$ permite aflarea unei temperaturi sau a randamentului, iar un motor real se compară cu limita prin raportul $\eta /{\eta }_{\mathrm{C}}$. Al treilea compară un motor descris numeric cu ${\eta }_{\mathrm{C}}$: dacă randamentul declarat îl depășește, motorul nu poate exista.

În diagrama $p$–$V$, ciclul este format din două hiperbole (izotermele) și două curbe mai abrupte (adiabatele), parcurse în sens orar la motor. Capcane: temperaturile în grade Celsius; randamentul introdus în procente în loc de fracție; $T_2$ confundat cu diferența $T_1-T_2$; ideea că randamentul depinde de gaz sau de volume.

Un motor Carnot are sursa rece la $t_2=27{}^{\circ }\mathrm{C}$ și randamentul $25\%$. Cu cât trebuie crescută temperatura sursei calde pentru ca randamentul să devină $50\%$?

• a) $100\mathrm{K}$
• b) $200\mathrm{K}$
• c) $300\mathrm{K}$
• d) $400\mathrm{K}$

Rezolvare.

1. Temperatura sursei reci este $T_2=300\mathrm{K}$.
2. Pentru $\eta =0,25$, $T_1=T_2/(1-\eta )=300/0,75\mathrm{K}=400\mathrm{K}$.
3. Pentru ${\eta }^{\prime }=0,50$, $T_1^{\prime }=300/0,50\mathrm{K}=600\mathrm{K}$.
4. Creșterea este $T_1^{\prime }-T_1=200\mathrm{K}$. Varianta a) înmulțește diferența de randament cu $T_1$, c) ia $T_1^{\prime }-T_2$, iar d) dublează $T_1$, pentru că randamentul s-a dublat.

Răspuns corect: b).

Greșeli frecvente

• Greșit: $\eta =1-t_2/t_1$ cu temperaturi în grade Celsius.
  Corect: se folosesc temperaturi absolute, $T=t+273,15\mathrm{K}$.
• Greșit: orice motor între două surse atinge randamentul Carnot.
  Corect: ${\eta }_{\mathrm{C}}$ este limita maximă; motoarele reale au randament mai mic.
• Greșit: pe adiabate temperatura este constantă.
  Corect: pe adiabate $Q=0$ și temperatura variază între $T_1$ și $T_2$; temperatura este constantă pe izoterme.
• Greșit: randamentul Carnot depinde de gazul din cilindru sau de volumele ciclului.
  Corect: ${\eta }_{\mathrm{C}}$ depinde numai de $T_1$ și $T_2$.
• Greșit: randamentul $100\%$ se obține cu sursa rece la $0{}^{\circ }\mathrm{C}$.
  Corect: $\eta =1$ ar cere $T_2=0\mathrm{K}$, care nu poate fi atinsă.

Înainte și după