Momentul forței și echilibrul de rotație

O ușă se deschide mai ușor când împingi lângă clanță decât când împingi aproape de balamale. Forța poate avea aceeași mărime, dar efectul de rotație diferă. Mărimea care descrie acest efect se numește momentul forței față de o axă sau un punct de rotație.

Contează două lucruri: forța și brațul forței. Brațul este distanța perpendiculară de la axa de rotație la linia pe care acționează forța. Dacă împingi chiar pe linia care trece prin balama, brațul este zero și nu produci rotație prin acea forță. Dacă împingi mai departe de balama, brațul crește și aceeași forță poate roti ușa mai ușor.

O balanță sau un balansoar este în echilibru de rotație când efectele de rotire în sensuri opuse se compensează. Un copil mai ușor poate sta mai departe de sprijin și poate echilibra un copil mai greu aflat mai aproape. Nu compari doar greutățile, ci și distanțele lor față de punctul de sprijin.

Pentru o forță perpendiculară pe braț, modulul momentului este forța înmulțită cu brațul. Dacă o forță de $10\mathrm{N}$ acționează la $0,5\mathrm{m}$ de axă, momentul are modulul $5\mathrm{N}\mathrm{m}$. Aceeași unitate apare la lucru mecanic, dar mărimile au sensuri fizice diferite: un moment produce tendință de rotație, iar lucrul descrie transferul de energie prin deplasare.

Exemplu rezolvat. Pe un balansoar, un copil cu greutatea de $300\mathrm{N}$ stă la $1,0\mathrm{m}$ de punctul de sprijin. Unde trebuie să stea un copil cu greutatea de $200\mathrm{N}$, pe partea opusă, ca balansoarul să fie în echilibru?

1. Momentul primului copil este $M_1=300\cdot 1,0=300\mathrm{N}\mathrm{m}$, într-un sens.
2. Momentul celui de-al doilea copil este $M_2=200\cdot d$, în sens opus.
3. La echilibru, momentele sunt egale: $200\cdot d=300$, deci $d=1,5\mathrm{m}$.

Copilul mai ușor stă mai departe de sprijin, de unde reiese că brațul mai lung compensează forța mai mică.

Un corp rigid aflat în repaus trebuie să îndeplinească atât echilibrul de translație, cât și pe cel de rotație. Forțe egale și opuse pot avea rezultanta zero, dar dacă acționează pe linii diferite pot roti corpul. Așa se rotește un volan în mâinile șoferului: două forțe egale și opuse, aplicate pe laturi diferite, produc rotație fără să deplaseze volanul.

Momentul vectorial este $\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}$ față de axa sau originea aleasă. Modulul este $M=Fr\sin \theta =Fb$, unde $\theta$ este unghiul dintre vectorul de poziție $\vec{r}$ și forță, iar $b=r\sin \theta$ este brațul perpendicular, în $\mathrm{N}\mathrm{m}$. Pe un plan, alegem un sens de rotație pozitiv, de obicei cel antiorar, și atribuim semne momentelor; echilibrul de rotație cere $\sum M=0\mathrm{N}\mathrm{m}$ față de același punct. Unitatea SI este newton-metrul; deși are aceeași formă cu joule-ul, momentul este un vector, iar lucrul mecanic o mărime scalară, deci cele două nu se confundă. Alegând ca punct de referință chiar punctul în care acționează o forță necunoscută, momentul acelei forțe devine nul și ecuația se simplifică.

Un cuplu de forțe este format din două forțe paralele, egale în modul și de sensuri opuse, ale căror suporturi sunt diferite. Rezultanta lui este nulă, dar momentul lui este $M=Fd$, unde $d$ este distanța dintre suporturi, și are aceeași valoare față de orice punct. Reacțiunea din punctul de sprijin are moment nul față de acel punct, dar există în bilanțul forțelor: în echilibru, ea compensează suma celorlalte forțe.

Exemplu rezolvat 1 — cheie și forță oblică. O forță de $20\mathrm{N}$ acționează la capătul unei chei, la $0,30\mathrm{m}$ de ax.

1. Dacă forța este perpendiculară pe cheie, brațul este $b=0,30\mathrm{m}$ și $M=20\cdot 0,30=6,0\mathrm{N}\mathrm{m}$.
2. Dacă forța face un unghi de $30^{\circ }$ cu cheia, brațul este $b=0,30\sin 30^{\circ }=0,15\mathrm{m}$.
3. Atunci $M=20\cdot 0,15=3,0\mathrm{N}\mathrm{m}$, adică jumătate din valoarea precedentă.

Momentul este maxim când forța este perpendiculară pe cheie, la $90^{\circ }$, și devine nul când forța acționează în lungul cheii, la $0^{\circ }$. De aceea cheia se trage perpendicular pe ea: o forță înclinată face brațul mai scurt și strânge mai puțin.

Exemplu rezolvat 2 — bară cu sprijin în afara centrului. O bară omogenă de lungime $1,2\mathrm{m}$ și greutate $30\mathrm{N}$ este sprijinită la $0,40\mathrm{m}$ de capătul stâng. De capătul stâng se atârnă o greutate $G_1$, iar bara rămâne orizontală.

1. Centrul de greutate al barei este la mijloc, la $0,60\mathrm{m}$ de capăt, deci la $0,20\mathrm{m}$ de sprijin, în dreapta lui.
2. Față de sprijin, momentul greutății barei este $30\cdot 0,20=6,0\mathrm{N}\mathrm{m}$, într-un sens, iar momentul lui $G_1$ este $G_1\cdot 0,40$, în sens opus.
3. La echilibru, $G_1\cdot 0,40=6,0$, deci $G_1=15\mathrm{N}$.
4. Reacțiunea din sprijin compensează cele două greutăți: $N=30+15=45\mathrm{N}$.
5. Verificare cu alt punct de referință, capătul stâng, unde $G_1$ are brațul zero: $N\cdot 0,40=30\cdot 0,60$, adică $N=18/0,40=45\mathrm{N}$, același rezultat.

Valoarea lui $G_1$ are sens fizic: greutatea atârnată are brațul de două ori mai mare decât greutatea barei, $0,40\mathrm{m}$ față de $0,20\mathrm{m}$, deci este de două ori mai mică, $15\mathrm{N}$ față de $30\mathrm{N}$.

Dacă rezultanta forțelor este nulă, suma momentelor are aceeași valoare față de orice punct, deci punctul de referință poate fi ales liber. În practică se alege punctul prin care trec cele mai multe forțe necunoscute, pentru că momentele lor devin zero. Pentru mai multe forțe aplicate în același punct, momentul rezultantei este egal cu suma momentelor componentelor.

Greșeli frecvente

• Greșit: brațul este distanța până la punctul de aplicație.
  Corect: brațul este distanța de la axă la suportul forței (pe perpendiculară).
• Greșit: la echilibru se compară doar forțele.
  Corect: se compară momentele, $M=Fb$ pentru o forță perpendiculară pe braț.
• Greșit: $\sum \vec{F}=\vec{0}$ ajunge pentru echilibru.
  Corect: un rigid e în echilibru numai dacă și $\sum M=0$.

Înainte și după