Legea lui Bernoulli

Apa care curge staționar printr-o țeavă îngustată, fără a fi comprimată, își mărește viteza în porțiunea îngustă. Ce se întâmplă atunci cu presiunea ei? Pentru un fluid ideal în curgere staționară, legea lui Bernoulli leagă presiunea, viteza și înălțimea de-a lungul aceleiași linii de curent. Nu este o regulă că „oriunde aerul merge repede, presiunea este mică”; condițiile curgerii și locurile comparate contează.

Într-o conductă orizontală cu secțiune variabilă, un fluid aproape incomprimabil aflat în curgere staționară are viteză medie mai mare în porțiunea îngustă. În modelul fără pierderi, presiunea statică este mai mică în acea porțiune. Relația exprimă transformarea energiei asociate presiunii în energie cinetică pe unitate de volum.

Presiunea statică este cea pe care fluidul o exercită lateral asupra peretelui. Termenul legat de viteză se numește uneori presiune dinamică. Dacă țeava urcă sau coboară, înălțimea schimbă și ea bilanțul. De aceea, nu compara doar viteza și presiunea dacă punctele se află la înălțimi diferite.

Un curent real are frecare internă și poate forma vârtejuri. Atunci energia mecanică a curgerii se poate disipa și forma simplă a legii trebuie folosită cu grijă. Legea explică bine unele dispozitive și observații, dar nu înlocuiește analiza completă a unei aripi, a unui pulverizator sau a unui vas de sânge. Începe prin a desena cele două puncte comparate și a nota ce rămâne constant între ele.

Legea lui Bernoulli exprimă conservarea energiei mecanice pentru un fluid. Se consideră un volum $\Delta V$ de fluid care trece între două secțiuni ale unui tub de curent. Lucrul forțelor de presiune asupra lui este $(p_1-p_2)\Delta V$ și se regăsește în variația energiei cinetice, $\frac{1}{2}\rho \Delta V(v_2^2-v_1^2)$, și a energiei potențiale gravitaționale, $\rho g\Delta V(h_2-h_1)$. Împărțind la $\Delta V$ se obține, pentru curgere staționară, incomprimabilă, fără vâscozitate semnificativă, de-a lungul aceleiași linii de curent,

Toți termenii au unitatea $\mathrm{Pa}$ (energie pe unitatea de volum, $J/{\mathrm{m}}^3$): $p$ este presiunea statică, $\frac{1}{2}\rho v^2$ presiunea dinamică, iar $\rho gh$ presiunea hidrostatică. Dacă $h_1=h_2$, atunci $p_1+\rho v_1^2/2=p_2+\rho v_2^2/2$: unde viteza este mai mare, presiunea statică este mai mică. Dacă fluidul este în repaus ($v=0$), relația devine legea hidrostaticii, $p_2-p_1=\rho g(h_1-h_2)$.

Legea se combină cu ecuația de continuitate $S_1{v}_1=S_2{v}_2$: aceasta dă vitezele, iar legea lui Bernoulli dă diferența de presiune. Printre aplicațiile ei se numără tubul Venturi pentru măsurarea debitului, pulverizatorul, care aspiră lichidul din rezervor în zona de presiune scăzută, și tubul Pitot, care măsoară viteza unui curent prin diferența dintre presiunea totală și cea statică. Relația nu se aplică de-a lungul unei porțiuni în care fluidul primește sau cedează energie mecanică, de exemplu printr-o pompă sau printr-o turbină, și nici acolo unde frecarea internă consumă o parte însemnată din energia curgerii; în astfel de cazuri se adaugă termeni pentru energia schimbată sau pierdută.

Exemplu rezolvat 1 — tub Venturi. Prin tubul orizontal al unui debitmetru curge apă ($\rho =1000kg/{\mathrm{m}}^3$) cu debitul de $1,0L/s$. Secțiunea largă are $20\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, iar cea îngustă $5,0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.

1. Debitul în unități SI este $Q=1,0\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^3/s$.
2. Vitezele sunt $v_1=Q/S_1=0,50m/s$ și $v_2=Q/S_2=2,0m/s$.
3. Tubul fiind orizontal, $p_1-p_2=\rho (v_2^2-v_1^2)/2=500\cdot (4,0-0,25)=1875\mathrm{Pa}$.
4. Presiunea statică în zona îngustă este deci cu aproximativ $1,9\mathrm{kPa}$ mai mică decât în cea largă.

Exemplu rezolvat 2 — viteza de ieșire dintr-un orificiu. Un rezervor larg, deschis la partea de sus, are un orificiu mic aflat la $h=1,25\mathrm{m}$ sub suprafața apei. Presiunea este cea atmosferică atât la suprafață, cât și la ieșire.

1. La suprafață viteza este practic nulă, deoarece rezervorul este larg, iar la ieșire este $v$.
2. Termenii $p_0$ se reduc, deci $\rho gh=\frac{1}{2}\rho v^2$.
3. De aici $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 1,25}=5,0m/s$, viteza pe care ar căpăta-o un corp în cădere liberă de la aceeași înălțime. Rezultatul nu depinde de densitatea lichidului: același orificiu, la aceeași adâncime, dă aceeași viteză pentru apă și pentru ulei, dacă se neglijează frecarea.

Exemplu rezolvat 3 — diferența de nivel. Într-o conductă cu secțiune constantă, apa idealizată urcă; $p_1=200\mathrm{kPa}$ jos, $p_2=150\mathrm{kPa}$ sus, $v_1=v_2$.

1. Termenii cinetici se reduc, astfel că $p_1+\rho g{h}_1=p_2+\rho g{h}_2$.
2. Obținem $h_2-h_1=(p_1-p_2)/(\rho g)=50000/(1000\cdot 10)$.
3. Diferența de nivel este $5\mathrm{m}$ în modelul fără pierderi.

Într-o conductă reală, frecarea consumă o parte din diferența de presiune, așa că apa urcă efectiv mai puțin de cinci metri.

Greșeli frecvente

• Greșit: a aplica relația simplă între viteză și presiune fără condițiile curgerii ideale și ale aceleiași linii de curent.
  Corect: $p+\rho v^2/2+\rho gh=const.$ se aplică fluidului ideal, incompresibil, în curgere staționară, de-a lungul aceleiași linii de curent.
• Greșit: a omite termenul $\rho gh$ când punctele sunt la înălțimi diferite.
  Corect: dacă punctele sunt la înălțimi diferite, termenul ρgh intră în ecuație.
• Greșit: a confunda presiunea statică $p$ cu suma tuturor termenilor energetici din ecuație.
  Corect: p este doar presiunea statică; suma p + ρv²/2 + ρgh este constanta din legea lui Bernoulli.

Înainte și după