Centrul de greutate

Poți ține o riglă în echilibru pe un deget dacă găsești un loc potrivit sub ea. Acest loc este legat de centrul de greutate: punctul prin care poate fi reprezentată, în modelul obișnuit de la suprafața Pământului, greutatea totală a corpului. Pentru o riglă uniformă și dreaptă, se află la mijloc. Pentru un obiect cu o parte mult mai grea, centrul de greutate este deplasat spre acea parte: la un ciocan, de pildă, el stă aproape de capul metalic, nu pe coadă.

Centrul de greutate nu trebuie să fie într-o bucată de material. La un inel uniform, el este în mijlocul gol al inelului. Este un punct util pentru calcule și pentru descrierea echilibrului, nu un loc unde se adună toată materia corpului.

Exemplu rezolvat. O riglă omogenă de $40\mathrm{cm}$ și masă $100\mathrm{g}$ are o bucată de plastilină de $100\mathrm{g}$ lipită la un capăt. Unde se mută centrul de greutate?

1. Fără plastilină, centrul de greutate al riglei este la mijloc, la $20\mathrm{cm}$ de capăt.
2. Plastilina se află la $40\mathrm{cm}$ de același capăt.
3. Cele două corpuri au mase egale, deci centrul comun este la mijlocul distanței dintre centrele lor: $(20+40)/2=30\mathrm{cm}$.

Rigla se echilibrează acum pe deget la $30\mathrm{cm}$ de capătul liber, mai aproape de plastilină.

Pentru un corp sprijinit asupra căruia acționează doar greutatea și reacțiunea sprijinului, verticala prin centrul de greutate trebuie să treacă prin baza de sprijin ca să rămână în echilibru. Când verticala iese din bază, greutatea produce un moment de răsturnare. La aceeași înclinare și în condiții identice, o bază mai largă și un centru de greutate mai jos sporesc stabilitatea. De aceea un autobuz cu bagaje grele în portbagajul de jos se răstoarnă mai greu decât unul cu bagaje pe acoperiș.

Într-un echilibru stabil, după o mică deplasare corpul revine. Într-un echilibru instabil, o mică deplasare îl îndepărtează. Într-un echilibru indiferent, rămâne în noua poziție. O minge într-un bol, una pe vârful unei movile și una pe o suprafață orizontală ilustrează, în acest model, cele trei situații. Nu testa stabilitatea obiectelor grele sau fragile; folosește modele mici și sigure.

În câmp gravitațional uniform, centrul de greutate coincide cu centrul de masă. Pentru mase punctiforme $m_i$ la pozițiile $x_i$ pe o axă, $x_c=\sum m_i{x}_i/\sum m_i$; într-un plan, la fel pentru $y_c$. La un corp omogen cu centru de simetrie, centrul de greutate este chiar acest centru, iar la un corp compus din părți omogene se compun centrele părților, ponderate cu masele lor (sau cu ariile, dacă placa are grosime și densitate constante).

Exemplu rezolvat 1 — două mase pe o axă. Un corp de $1\mathrm{kg}$ se află în originea axei, iar altul, de $3\mathrm{kg}$, la $x=4\mathrm{m}$.

1. Masa totală este $1+3=4\mathrm{kg}$.
2. Suma produselor este $1\cdot 0+3\cdot 4=12\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}$.
3. Atunci $x_c=12/4=3\mathrm{m}$, mai aproape de corpul mai greu.

Exemplu rezolvat 2 — placă în formă de L. O placă omogenă are forma literei L, cu brațe de $6\mathrm{cm}$ și lățimea brațelor de $2\mathrm{cm}$. O descompunem în dreptunghiul vertical $2\times 6\mathrm{cm}$, cu centrul în $(1;3)\mathrm{cm}$, și dreptunghiul orizontal $4\times 2\mathrm{cm}$, cu centrul în $(4;1)\mathrm{cm}$.

1. Aria primei părți este $12\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, iar a celei de-a doua $8\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$; masele sunt proporționale cu ariile.
2. $x_c=(12\cdot 1+8\cdot 4)/20=2,2\mathrm{cm}$.
3. $y_c=(12\cdot 3+8\cdot 1)/20=2,2\mathrm{cm}$.

Punctul $(2,2;2,2)\mathrm{cm}$ se află pe diagonala de simetrie a literei, în colțul interior al plăcii, nu pe material din fiecare braț.

Un corp suspendat de un punct se echilibrează când centrul de greutate se află pe verticala punctului de suspensie, sub el. Suspendând o placă neregulată pe rând de două puncte și trasând verticalele, centrul de greutate se găsește la intersecția lor.

Tipul echilibrului se citește din energia potențială gravitațională a corpului. Într-un echilibru stabil, orice mică abatere ridică centrul de greutate, deci energia potențială este minimă, iar greutatea readuce corpul. Într-un echilibru instabil, centrul de greutate coboară la orice abatere, energia potențială este maximă, iar corpul se îndepărtează de poziția inițială. Într-un echilibru indiferent, centrul de greutate rămâne la aceeași înălțime, ca la o sferă pe un plan orizontal.

Stabilitatea depinde de momentul greutății față de marginea bazei de sprijin. Când proiecția verticală a centrului de greutate trece de acea margine, greutatea produce un moment care accentuează răsturnarea. O poziție joasă a centrului și o bază largă măresc unghiul până la pragul răsturnării; contează și direcția în care este înclinat corpul.

Exemplu rezolvat 3 — răsturnarea unei cutii. O cutie omogenă are baza lată de $b=0,40\mathrm{m}$ pe direcția înclinării și centrul de greutate la înălțimea $h=0,30\mathrm{m}$.

1. Până la marginea bazei sunt $b/2=0,20\mathrm{m}$.
2. La pragul răsturnării, verticala centrului trece prin margine, deci $\mathrm{tg}\alpha =(b/2)/h=0,20/0,30=2/3$.
3. Rezultă $\alpha \approx 34^{\circ }$; peste acest unghi greutatea produce un moment de răsturnare, dacă nu există alte sprijiniri.

Greșeli frecvente

• Greșit: a presupune că centrul de greutate este întotdeauna în interiorul materialului corpului.
  Corect: centrul de greutate poate fi în afara corpului (inel).
• Greșit: a pune centrul de greutate automat în centrul geometric chiar când masa este distribuită neuniform.
  Corect: coincide cu centrul geometric la corpurile omogene și simetrice.
• Greșit: a judeca stabilitatea numai după greutatea totală, fără baza de sprijin și poziția centrului.
  Corect: stabilitatea depinde de baza de sprijin și de înălțimea centrului de greutate.

Înainte și după