Relativitatea restrânsă

La vitezele obișnuite, putem aduna viteza unui obiect cu viteza vehiculului în care se află. Pentru lumină, experimentele arată altceva: observatorii inerțiali măsoară aceeași viteză a luminii în vid, indiferent de mișcarea lor relativă. Relativitatea restrânsă descrie spațiul și timpul astfel încât această observație și legile fizicii să fie compatibile.

Teoria se bazează pe două idei. Legile fizicii au aceeași formă în toate reperele inerțiale. Viteza luminii în vid are aceeași valoare $c$ în toate aceste repere. Nu există un „observator în repaus absolut” care să aibă un loc privilegiat în aceste legi. Teoria se referă aici la mișcări uniforme relative; gravitația este tratată într-o teorie mai largă.

Consecințele par neobișnuite: observatori care se mișcă unul față de altul pot să nu fie de acord asupra simultaneității unor evenimente depărtate. Duratele și lungimile măsurate depind de reperul observatorului. Aceste efecte sunt foarte mici la vitezele zilnice, de aceea timpul și spațiul par absolute în experiența obișnuită.

Nu interpreta afirmația „totul este relativ” ca pe ideea că orice măsurare este arbitrară. Teoria dă reguli matematice precise și mărimi asupra cărora observatorii sunt de acord, precum viteza luminii în vid. Niciun obiect cu masă de repaus nenulă nu poate fi accelerat până la $c$ printr-un aport finit de energie.

Postulatele și transformările. Factorul Lorentz este $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ pentru $|v|<c$. Transformările Lorentz în direcția $x$ sunt $x^{\prime }=\gamma (x-vt)$ și $t^{\prime }=\gamma (t-vx/c^2)$. La $v\ll c$ ele se reduc la transformările Galilei. Din ele decurg trei consecințe. Relativitatea simultaneității: două evenimente simultane în $S$ și separate spațial nu sunt simultane în $S^{\prime }$, deoarece $\Delta t^{\prime }=-\gamma v\Delta x/c^2$. Dilatarea timpului: intervalul măsurat de un ceas aflat împreună cu evenimentele (timpul propriu $\Delta \tau$) este cel mai scurt, iar un observator față de care ceasul se mișcă măsoară $\Delta t=\gamma \Delta \tau$. Contracția lungimii pe direcția mișcării: $l=l_0\sqrt{1-v^2/c^2}=l_0/\gamma$, unde $l_0$ este lungimea proprie, măsurată în reperul în care corpul este în repaus; dimensiunile perpendiculare pe mișcare nu se schimbă.

Compunerea relativistă a vitezelor. Dacă un corp are viteza $u^{\prime }$ față de un reper care se mișcă cu $v$ față de sol, pe aceeași direcție, viteza lui față de sol este $u=(u^{\prime }+v)/(1+u^{\prime }v/c^2)$. Rezultatul nu depășește niciodată $c$, iar pentru $u^{\prime }=c$ se obține $u=c$, în acord cu postulatul. La viteze mici, numitorul este practic $1$ și se regăsește adunarea clasică.

Exemplu rezolvat 1 — dilatarea timpului și contracția lungimii. O navă se deplasează cu $v=0,60c$ față de Pământ, iar un ceas de la bord măsoară intervalul propriu $\Delta \tau =10\mathrm{s}$ între două evenimente petrecute în același loc pe navă.

1. Calculăm $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}=1/\sqrt{1-0,36}=1,25$.
2. În reperul Pământului, intervalul este $\Delta t=\gamma \Delta \tau =12,5\mathrm{s}$.
3. Diferența este $2,5\mathrm{s}$.
4. O riglă de la bord are lungimea proprie $l_0=1\mathrm{m}$; în reperul Pământului, pe direcția mișcării, $l=l_0/\gamma =1/1,25=0,80\mathrm{m}$.

Timpul propriu este cel măsurat de ceasul aflat împreună cu evenimentele, nu oricare dintre intervale ales arbitrar.

Exemplu rezolvat 2 — călătoria până la o stea. O navă călătorește cu $v=0,80c$ către o stea aflată la $4,0$ ani-lumină de Pământ, măsurați în reperul Pământului.

1. Pentru un observator de pe Pământ, durata este $t=d/v=4,0/0,80=5,0$ ani.
2. Factorul Lorentz este $\gamma =1/\sqrt{1-0,64}=1/0,60\approx 1,67$.
3. În reperul navei, distanța este contractată: $d^{\prime }=d/\gamma =4,0\cdot 0,60=2,4$ ani-lumină, iar durata este $\Delta \tau =d^{\prime }/v=2,4/0,80=3,0$ ani.
4. Cei $3,0$ ani ai călătorilor sunt timpul propriu, deoarece cele două evenimente (plecarea și sosirea) au loc în același loc față de nava lor: $\Delta t=\gamma \Delta \tau =1,67\cdot 3,0=5,0$ ani.

Exemplu rezolvat 3 — miuonii atmosferici și compunerea vitezelor. Miuonii creați în atmosfera înaltă se mișcă cu $0,998c$ și au timpul de viață propriu $\tau =2,2\mu \mathrm{s}$.

1. Fără dilatarea timpului, ei ar parcurge doar $v\tau \approx 0,998\cdot 3,0\cdot 10^8\cdot 2,2\cdot 10^{-6}\approx 660\mathrm{m}$.
2. Factorul Lorentz este $\gamma =1/\sqrt{1-0,998^2}\approx 15,8$.
3. În reperul Pământului durata de viață este $\gamma \tau \approx 35\mu \mathrm{s}$, iar distanța parcursă este $\approx 10,4\mathrm{km}$, motiv pentru care miuonii ajung la sol.
4. Pentru compunerea vitezelor: o rachetă cu $0,8c$ față de Pământ lansează un proiectil cu $0,9c$ față de ea; viteza față de Pământ este $(0,9+0,8)c/(1+0,72)\approx 0,988c$, nu $1,7c$.

Greșeli frecvente

• Greșit: lumina are viteza c în orice material.
  Corect: postulatul se referă la vid; în sticlă sau apă $v=c/n$.
• Greșit: celălalt observator vede doar o iluzie.
  Corect: ambele măsurători sunt corecte, fiecare în reperul lui.
• Greșit: γ se poate calcula pentru v ≥ c.
  Corect: un corp cu masă are întotdeauna v < c.

Înainte și după