Cinematică și dinamică relativistă

La viteze apropiate de viteza luminii, observatori diferiți măsoară durate și lungimi diferite pentru aceleași fenomene. Pentru tine, un ceas aflat în mișcare bate mai rar: intervalul dintre două „ticuri” este mai lung decât cel măsurat de observatorul care se deplasează odată cu ceasul. Aceasta se numește dilatarea timpului.

Lungimea unui obiect măsurată pe direcția mișcării este mai mică pentru un observator față de care obiectul se mișcă decât lungimea proprie măsurată în repausul obiectului. Aceasta este contracția lungimii. Pentru a măsura lungimea unui obiect în mișcare, pozițiile capetelor trebuie înregistrate simultan în reperul observatorului. Fără această condiție, comparația nu este corectă.

Vitezele nu se adună simplu la valori foarte mari. Dacă o navă emite lumină înainte, ambii observatori inerțiali măsoară aceeași viteză $c$ pentru acea lumină în vid, nu $c+v$. Formula clasică dă totuși o aproximație foarte bună pentru viteze mult sub $c$.

Și impulsul unui corp trebuie definit astfel încât conservarea să rămână valabilă în toate reperele inerțiale. Manualul numește $m=\gamma m_0$ „masa de mișcare”; în notația actuală se păstrează masa de repaus $m_0$ invariantă și se scriu impulsul și energia cu factorul $\gamma$.

Toate efectele relativiste depind de factorul Lorentz

Valorile lui cresc repede aproape de $c$: $\gamma =1,005$ la $v=0,1c$, $1,25$ la $0,6c$, $1,67$ la $0,8c$, $2,29$ la $0,9c$ și $7,09$ la $0,99c$.

Dilatarea timpului. Un ceas cu lumină este format din două oglinzi aflate la distanța $h$, între care se reflectă un impuls. Pentru observatorul aflat în repaus față de ceas, un „tic” durează timpul propriu $\Delta \tau =2h/c$. Pentru un observator față de care ceasul se mișcă cu viteza $v$, impulsul parcurge o traiectorie înclinată, iar din $(c\Delta t/2{)}^2=h^2+(v\Delta t/2{)}^2$ rezultă

Timpul propriu $\Delta \tau$ este intervalul dintre două evenimente care au loc în același loc din reperul ceasului.

Contracția lungimii. Un corp are lungimea proprie $L_0$ în reperul în care este în repaus. Un observator față de care corpul se mișcă cu viteza $v$ măsoară pe direcția mișcării lungimea $L=L_0/\gamma$. Dimensiunile perpendiculare pe mișcare nu se modifică. Relația rezultă din dilatarea timpului: trecerea tijei prin dreptul unui punct fix durează $\Delta \tau$ pentru observatorul punctului (timp propriu), deci $L=v\Delta \tau$, iar în reperul tijei același interval durează $\gamma \Delta \tau$, deci $L_0=v\gamma \Delta \tau =\gamma L$.

Compunerea vitezelor. Dacă un reper se mișcă cu viteza $v$ față de altul pe axa $x$, iar un corp are viteza $u^{\prime }$ față de reperul mobil, viteza lui față de reperul fix este

cu vitezele luate cu semn pe aceeași axă. Pentru $u^{\prime }=c$ se obține $u=c$, iar pentru $u^{\prime }\ll c$ și $v\ll c$ se regăsește $u\approx u^{\prime }+v$.

Dinamica. Masa de mișcare este $m=\gamma m_0$, impulsul este $p=mv=\gamma m_{0}v$, iar energia cinetică este $E_c=(m-m_0)c^2$. La $v\ll c$, $E_c\approx m_0{v}^2/2$. Când $v\to c$, $\gamma$ crește nelimitat, deci și $p$ și $E_c$ cresc nelimitat: un corp cu $m_0\ne 0$ nu poate fi accelerat până la $c$. De exemplu, un electron cu $v=0,8c$ are $p=1,67\cdot m_{0}v=3,6\cdot 10^{-22}\mathrm{kg}m/s$, cu 67% mai mare decât $m_{0}v$, iar $E_c=0,34\mathrm{MeV}$, față de $0,16\mathrm{MeV}$ prin formula clasică.

Exemplu rezolvat 1. Un muon cu viteza $v=0,995c$ față de Pământ are timpul propriu de viață $\tau =2,2\mu \mathrm{s}$. Ce distanță parcurge, în reperul Pământului și în reperul muonului?

1. Factorul Lorentz este $\gamma =1/\sqrt{1-0,995^2}=10,0$.
2. În reperul Pământului, viața lui durează $\Delta t=\gamma \tau =22,0\mu \mathrm{s}$.
3. Distanța parcursă este $d=v\Delta t=0,995\cdot 3\cdot 10^8\cdot 22,0\cdot 10^{-6}=6,6\cdot 10^3\mathrm{m}$, adică $6,6\mathrm{km}$.
4. În reperul muonului, grosimea atmosferei este contractată: $d/\gamma =657\mathrm{m}=v\tau$.

Cei doi observatori obțin același rezultat fizic: muonul ajunge la sol, deși fără dilatarea timpului ar fi parcurs doar $657\mathrm{m}$.

Exemplu rezolvat 2. Văzute de pe Pământ, două nave se apropie: prima merge cu $0,80c$ în sensul $+x$, a doua cu $0,70c$ în sensul $-x$. Cu ce viteză se mișcă a doua navă față de prima?

1. Alegem reperul primei nave ($v=+0,80c$ față de Pământ). A doua navă are față de Pământ viteza $u=-0,70c$.
2. Viteza față de prima navă este $u^{\prime }=(u-v)/(1-uv/c^2)$.
3. Înlocuim: $u^{\prime }=(-0,70-0,80)c/(1+0,70\cdot 0,80)=-1,50c/1,56=-0,96c$.

Semnul minus arată că a doua navă se apropie. Adunarea galileană ar fi dat $1,50c$, o viteză imposibilă.

Greșeli frecvente

• Greșit: a uita condiția de simultaneitate când se măsoară lungimea unui corp în mișcare.
  Corect: lungimea unui corp în mișcare se obține din pozițiile capetelor înregistrate simultan în reperul observatorului.
• Greșit: a aplica $u^{\prime }+v$ la viteze relativiste ca relație exactă.
  Corect: $u=(u^{\prime }+v)/(1+u^{\prime }v/c^2)$; $u^{\prime }+v$ este doar o aproximație pentru viteze mult mai mici decât $c$.
• Greșit: masa de repaus $m_0$ crește odată cu viteza.
  Corect: $m_0$ este constantă; crește masa de mișcare $m=\gamma m_0$, deci și impulsul.
• Greșit: lungimea se contractă și pe direcțiile perpendiculare pe mișcare.
  Corect: contracția $L=L_0/\gamma$ apare numai pe direcția mișcării.

Înainte și după