Relația masă–energie

O baterie încărcată are puțin mai multă energie decât aceeași baterie descărcată. Relativitatea arată că această diferență de energie corespunde și unei diferențe extrem de mici de masă a întregului sistem. Relația masă–energie spune că masa de repaus și energia nu sunt două lumi separate. Un corp cu masă de repaus are energie chiar și când este în repaus.

În notația manualului, energia de repaus este $E_0=m_0{c}^2$, cu $m_0$ masa de repaus. Deoarece viteza luminii în vid $c$ este foarte mare, o schimbare mică de masă corespunde unei cantități mari de energie prin $E=\Delta m{c}^2$. În reacțiile nucleare, diferența dintre masa inițială și cea finală a sistemului poate fi măsurabilă și legată de energia eliberată sau absorbită.

Nu spune că masa se „transformă complet în energie” în orice reacție. În multe procese, particulele finale au în continuare masă, iar energia apare și ca mișcare sau radiație. Bilanțul se face pentru întregul sistem, inclusiv radiația emisă. Nu trebuie să pierdem din vedere conservarea energiei totale.

La vitezele obișnuite, energia cinetică este bine aproximată de formula clasică $m{v}^2/2$. La viteze apropiate de $c$, se folosește o relație relativistă. Energia de repaus nu este energia cinetică: un corp în repaus poate avea $E_0$, dar energia sa cinetică este zero în acel reper.

Mărimile relativiste. În notația manualului, $m_0$ este masa de repaus, iar masa de mișcare este $m=\gamma m_0$, cu $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. Atunci energia totală este $E=m{c}^2=\gamma m_0{c}^2$, energia de repaus este $E_0=m_0{c}^2$, iar energia cinetică este diferența lor, $E_c=(m-m_0)c^2=(\gamma -1)m_0{c}^2$. Pentru $v\ll c$ se poate folosi aproximația $\gamma \approx 1+v^2/(2c^2)$, de unde $E_c\approx m_0{v}^2/2$, adică expresia clasică. În formularea actuală se păstrează masa de repaus invariantă și se scrie direct $E=\gamma m_0{c}^2$ și $p=\gamma m_{0}v$; rezultatele sunt aceleași. Între energie și impuls există relația $E^2=(pc{)}^2+(m_0{c}^2{)}^2$. Pentru o particulă fără masă de repaus, cum este fotonul, aceasta devine $E=pc$.

Sensul echivalenței. Echivalența masă–energie spune că orice energie are inerție: un corp încălzit, un resort comprimat sau o baterie încărcată au masa puțin mai mare decât aceleași corpuri reci, destinse sau descărcate. Variațiile sunt prea mici pentru a fi observate în viața de zi cu zi, deoarece raportul $\Delta E/c^2$ este minuscul; în reacțiile nucleare, unde energiile pe particulă sunt de milioane de ori mai mari decât în reacțiile chimice, diferența de masă devine măsurabilă. Legea care se conservă este energia totală, care cuprinde energia de repaus a tuturor particulelor, nu masa luată separat. De aceea masa unui nucleu este mai mică decât suma maselor nucleonilor lui: diferența este energia de legătură, împărțită la $c^2$.

Energia în fizica particulelor și nucleară. Energiile de repaus se exprimă în electronvolți: $1\mathrm{u}{c}^2\simeq 931,5\mathrm{MeV}$, electronul are $m_e{c}^2\simeq 0,511\mathrm{MeV}$, iar protonul $938\mathrm{MeV}$. Dacă un sistem cedează energia $\Delta E$ în toate formele, masa lui de repaus scade cu $\Delta m=\Delta E/c^2$; la o reacție nucleară se compară masele de repaus inițiale și finale ale tuturor particulelor. Un foton cu energia de cel puțin $2m_e{c}^2\simeq 1,022\mathrm{MeV}$ poate crea, în câmpul unui nucleu, o pereche electron–pozitron, iar la anihilarea perechii se eliberează energia echivalentă.

Exemplu rezolvat 1 — energia unei diferențe de masă. O reacție transformă diferența de masă $\Delta m=1,0\mathrm{mg}=1,0\cdot 10^{-6}\mathrm{kg}$ în energie.

1. Relația de echivalență este $E=\Delta m{c}^2$.
2. Cu $c=3,0\cdot 10^{8}m/s$, calculăm $E=10^{-6}(3\cdot 10^8{)}^2=9,0\cdot 10^{10}\mathrm{J}$.
3. Verificăm unitățile: $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2=\mathrm{J}$.

Aceasta este energia corespunzătoare diferenței de masă, nu energia mecanică a unui corp care doar se deplasează. Pentru comparație, un corp cu masa de repaus de $1\mathrm{kg}$ are $E_0\simeq 9\cdot 10^{16}\mathrm{J}$.

Exemplu rezolvat 2 — electron relativist. Un electron se mișcă cu $v=0,60c$ ($m_e{c}^2=0,511\mathrm{MeV}$).

1. Factorul Lorentz este $\gamma =1/\sqrt{1-0,36}=1,25$.
2. Energia totală este $E=\gamma m_e{c}^2=1,25\cdot 0,511=0,639\mathrm{MeV}$.
3. Energia cinetică este $E_c=(\gamma -1)m_e{c}^2=0,25\cdot 0,511\approx 0,128\mathrm{MeV}$, în timp ce formula clasică $m_e{v}^2/2=0,18m_e{c}^2\approx 0,092\mathrm{MeV}$ ar fi dat o valoare cu aproximativ $28\%$ prea mică.

Exemplu rezolvat 3 — viteza unui electron accelerat. Un electron este accelerat din repaus printr-o tensiune de $1,00\mathrm{MV}$ și câștigă energia cinetică $E_c=1,00\mathrm{MeV}$.

1. Din $E_c=(\gamma -1)m_e{c}^2$ rezultă $\gamma =1+E_c/(m_e{c}^2)=1+1,00/0,511\approx 2,96$.
2. Viteza rezultă din $\gamma$: $v/c=\sqrt{1-1/{\gamma }^2}=\sqrt{1-0,114}\approx 0,94$.
3. Deci $v\approx 0,94c\approx 2,8\cdot 10^{8}m/s$; formula clasică ar fi dat $v=\sqrt{2E_c/m_e}\approx 1,98c$, o valoare imposibilă.

Greșeli frecvente

• Greșit: a identifica $m{c}^2$ cu energia cinetică a corpului.
  Corect: în notația manualului, $m_0{c}^2$ este energia de repaus, iar $E_c=(m-m_0)c^2$.
• Greșit: a ignora energia radiației din bilanțul unei reacții.
  Corect: bilanțul include energia fotonilor emiși.
• Greșit: a presupune că orice reacție transformă integral masa inițială în energie fără produse materiale.
  Corect: în majoritatea reacțiilor se transformă doar diferența de masă Δm; produsele au masă.

Înainte și după