Efectul Compton

Un foton de raze X poate interacționa cu un electron și își poate schimba direcția. La împrăștiere sub un unghi nenul, fotonul are o lungime de undă mai mare decât înainte, iar electronul primește energie și impuls. Această schimbare se numește efect Compton. Ea arată că lumina transferă atât energie, cât și impuls în această interacțiune.

Împrăștierea Compton se descrie ca interacțiune între un foton și un electron. Fotonul nu are masă de repaus, dar poartă energie și impuls, în timp ce electronul are masă de repaus. Bilanțul energiei și impulsului, folosind relațiile relativiste, explică de ce variația lungimii de undă depinde de unghiul de împrăștiere al fotonului.

Efectul este mai ușor de măsurat pentru radiații cu lungime de undă foarte mică, precum razele X. Dacă folosești lumină vizibilă, schimbarea relativă a lungimii de undă în aceeași interacțiune este foarte mică. Nu înseamnă că fotonii vizibili nu au impuls; fiecare are un impuls mic, legat de lungimea sa de undă.

Efectul Compton a oferit o dovadă importantă pentru descrierea corpusculară a radiației electromagnetice. El nu anulează fenomenele ondulatorii precum interferența. Când analizezi fenomenul, desenează direcția fotonului înainte, direcția lui după și direcția electronului de recul; unghiul dintre direcțiile fotonului decide schimbarea de lungime de undă.

Fotonul. Un foton de lungime de undă $\lambda$ are energia $E_{\gamma }=hc/\lambda$ și impulsul $p_{\gamma }=h/\lambda =E_{\gamma }/c$, orientat în sensul propagării. De exemplu, un foton de $1\mathrm{MeV}$ are $p_{\gamma }=1,602\cdot 10^{-13}/(3\cdot 10^8)=5,34\cdot 10^{-22}\mathrm{kg}m/s$.

Împrăștierea. Un foton de lungime de undă $\lambda$ lovește un electron aflat în repaus și considerat liber. Fotonul își continuă drumul sub unghiul $\theta$ față de direcția inițială, cu lungimea de undă ${\lambda }^{\prime }$, iar electronul pleacă sub un unghi $\phi$ cu energia cinetică $E_c$. Se scriu conservarea energiei, $hc/\lambda =hc/{\lambda }^{\prime }+E_c$, în care energia cinetică a electronului se calculează relativist, $E_c=(\gamma -1)m_e{c}^2$, și cele două componente ale conservării impulsului: cea pe direcția fotonului incident și cea perpendiculară pe ea. Electronul poate căpăta viteze comparabile cu $c$, de aceea formulele clasice nu sunt suficiente. Eliminând viteza și unghiul electronului rezultă deplasarea Compton

Mărimea ${\lambda }_C$ se numește lungimea de undă Compton a electronului. Deplasarea nu depinde de $\lambda$, ci numai de $\theta$: este $0$ la $\theta =0^{\circ }$, ${\lambda }_C$ la $\theta =90^{\circ }$ și maximă, $2{\lambda }_C=4,85\mathrm{pm}$, la $\theta =180^{\circ }$ (retroîmprăștiere). Pentru orice $\theta >0$, ${\lambda }^{\prime }>\lambda$, deci fotonul pierde energie, iar electronul o primește: $E_c=hc/\lambda -hc/{\lambda }^{\prime }$.

Ordine de mărime. Raportul $\Delta \lambda /\lambda$ este de ordinul $3\%$ pentru raze X de $71\mathrm{pm}$, dar doar circa $5\cdot 10^{-6}$ pentru lumina verde de $500\mathrm{nm}$, motiv pentru care efectul nu se observă în optică. În experiment, pe lângă linia deplasată apare și una cu lungimea de undă nemodificată, produsă de electronii puternic legați: atunci fotonul interacționează cu întregul atom, a cărui masă mult mai mare face $\Delta \lambda$ neglijabilă.

Semnificația. În 1923, A. H. Compton a împrăștiat pe grafit radiația $K_{\alpha }$ a molibdenului ($\lambda =71,1\mathrm{pm}$) și a măsurat pentru fiecare unghi o a doua lungime de undă, mai mare. Rezultatul nu poate fi explicat dacă lumina este numai undă, deoarece o undă clasică ar forța electronul să oscileze cu frecvența ei și ar reemite aceeași frecvență. Descrierea cu fotoni care au impuls $h/\lambda$ explică exact dependența de unghi, în concordanță cu efectul fotoelectric, care arată că fotonul are energie $hf$.

Exemplu rezolvat 1. Raze X cu $\lambda =71,0\mathrm{pm}$, aproape ca în experimentul lui Compton, sunt împrăștiate pe un electron liber sub unghiul $\theta =90^{\circ }$. Se cer lungimea de undă a fotonului împrăștiat, energiile și direcția electronului.

1. Deplasarea este $\Delta \lambda =2,43\mathrm{pm}(1-\cos 90^{\circ })=2,43\mathrm{pm}$, deci ${\lambda }^{\prime }=73,4\mathrm{pm}$.
2. Energia fotonului incident este $hc/\lambda =1,9878\cdot 10^{-25}/(71,0\cdot 10^{-12})=2,80\cdot 10^{-15}\mathrm{J}=17,5\mathrm{keV}$, iar a celui împrăștiat este $16,9\mathrm{keV}$.
3. Electronul primește diferența, $E_c=17,5-16,9=0,58\mathrm{keV}$.
4. Componenta impulsului electronului pe direcția inițială este $h/\lambda$, iar perpendicular pe ea este $h/{\lambda }^{\prime }$, deci $\mathrm{tg}\phi =\lambda /{\lambda }^{\prime }=0,967$ și $\phi =44,0^{\circ }$.

Exemplu rezolvat 2. Un foton cu lungimea de undă egală cu lungimea Compton, $\lambda =2,43\mathrm{pm}$, este împrăștiat înapoi, la $\theta =180^{\circ }$. Ce energie are electronul?

1. Energia fotonului incident este $hc/\lambda =1,9878\cdot 10^{-25}/(2,43\cdot 10^{-12})=8,18\cdot 10^{-14}\mathrm{J}=0,51\mathrm{MeV}$.
2. Deplasarea este $\Delta \lambda =2{\lambda }_C=4,85\mathrm{pm}$, deci ${\lambda }^{\prime }=7,28\mathrm{pm}$ și energia fotonului împrăștiat este $0,17\mathrm{MeV}$.
3. Electronul primește $E_c=0,51-0,17=0,34\mathrm{MeV}$.

Aceasta este energia maximă pe care o poate primi electronul din această ciocnire: fotonul cedează două treimi din energie.

Greșeli frecvente

• Greșit: fotonul nu are impuls fiindcă masa lui de repaus e zero.
  Corect: fotonul are impulsul $p=h/\lambda$.
• Greșit: $\Delta \lambda$ este aceeași la orice unghi.
  Corect: $\Delta \lambda =\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \theta )$ este zero la $\theta =0^{\circ }$ și maximă, aproximativ $4,85\cdot 10^{-12}\mathrm{m}$, la $\theta =180^{\circ }$.
• Greșit: e suficientă conservarea energiei.
  Corect: se scriu împreună conservarea energiei și conservarea impulsului.
• Greșit: deplasarea Compton este mai mare pentru lumina vizibilă, fiindcă are lungime de undă mai mare.
  Corect: $\Delta \lambda$ nu depinde de $\lambda$, iar în lumina vizibilă este neobservabilă pentru că $\Delta \lambda /\lambda \sim 10^{-6}$.

Înainte și după