Ipoteza de Broglie

Louis de Broglie a propus că particulele materiale aflate în mișcare au o lungime de undă asociată. Pentru un impuls $p$, relația este $\lambda =h/p$. Electronul nu este o bilă care se unduiește pe o traiectorie vizibilă; comportarea ondulatorie se observă în interferență și difracție.

Electronii accelerați prin câteva zeci de volți au lungimi de undă de ordinul distanțelor dintre atomi, aproximativ $0,1\mathrm{nm}$. Davisson și Germer au observat în 1927 difracția electronilor pe un cristal de nichel. Aceasta este o probă experimentală a undelor de materie. În microscopia electronică, lungimea de undă a electronilor este mai mică decât a luminii vizibile, fapt care permite distingerea unor detalii mai fine în condiții potrivite.

Pentru un obiect macroscopic, impulsul mare face lungimea de undă asociată extrem de mică. Interferența unei mingi nu este observabilă în experiențele obișnuite, deși aceeași relație fizică se aplică. Scara obiectului și a aparatului de măsură contează.

Lungimea de undă depinde de impuls, nu numai de viteză. Două particule cu aceeași viteză, dar mase diferite, au lungimi de undă diferite în regimul nerelativist. Înainte de calcul, verificăm dacă $p=mv$ este o aproximație potrivită sau dacă trebuie folosit impulsul relativist.

Dualismul undă–corpuscul. Lumina arată caracter ondulatoriu în interferență și difracție și caracter corpuscular în efectul fotoelectric și în efectul Compton: un foton are energia $E=hf$ și impulsul $p=h/\lambda$. În 1924, de Broglie a presupus că și particulele materiale au aceste două aspecte și că relațiile dintre mărimile corpusculare și cele ondulatorii sunt aceleași:

unde $h=6,626\cdot 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$. Pentru o particulă nerelativistă, $p=mv$ și $\lambda =h/(mv)$; pentru viteze comparabile cu $c$ se folosește $p=\gamma m_{0}v$. Unda asociată nu este o oscilație a materiei particulei: intensitatea ei într-un punct arată cât de probabil este să găsești particula acolo.

Electronul accelerat. Dacă un electron pornește din repaus și este accelerat de tensiunea $U$, energia lui cinetică este $eU=p^2/(2m_e)$, de unde

cu $U$ în volți. Formula nerelativistă este valabilă când $eU\ll m_e{c}^2=0,51\mathrm{MeV}$.

Dovezi experimentale. În 1927, Davisson și Germer au trimis electroni accelerați la $54\mathrm{V}$ pe un cristal de nichel. Fasciculul difractat avea un maxim la $50^{\circ }$, în acord cu $d\sin \phi =\lambda$ pentru $d=0,215\mathrm{nm}$, adică $\lambda =0,165\mathrm{nm}$, față de $0,167\mathrm{nm}$ din relația de Broglie. Electroni care trec printr-o dublă fantă, trimiși câte unul, formează treptat o figură cu franje de interferență. Fiecare electron lasă pe ecran un singur punct, iar locul lui nu poate fi prevăzut; abia după mii de electroni punctele se așază în franje luminoase și întunecate. Se vede astfel că unda de Broglie descrie probabilitatea de a găsi particula într-un loc, nu o răspândire a particulei în spațiu. Difracția a fost observată și cu neutroni și cu atomi.

Scara fenomenului. Efectele ondulatorii apar când dimensiunea obstacolului este comparabilă cu $\lambda$. Un foton și un electron cu aceeași lungime de undă de $0,1\mathrm{nm}$ au energii foarte diferite: $12,4\mathrm{keV}$ pentru foton, doar $150\mathrm{eV}$ pentru electron. Microscopul electronic folosește tensiuni de zeci de kilovolți, iar $\lambda$ este de ordinul picometrilor, cu mult sub lungimile de undă vizibile.

Exemplu rezolvat 1. Un electron, pornit din repaus, este accelerat de o tensiune de $150\mathrm{V}$. Se cer lungimea de undă și viteza lui.

1. Impulsul este $p=\sqrt{2m_{e}eU}=\sqrt{2\cdot 9,11\cdot 10^{-31}\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\cdot 150}=6,62\cdot 10^{-24}\mathrm{kg}m/s$.
2. Lungimea de undă este $\lambda =h/p=6,626\cdot 10^{-34}/(6,62\cdot 10^{-24})=1,00\cdot 10^{-10}\mathrm{m}=0,100\mathrm{nm}$.
3. Viteza este $v=p/m_e=7,3\cdot 10^{6}m/s$, adică $0,024c$, deci aproximația nerelativistă este justificată.

Lungimea de undă este comparabilă cu distanțele dintre atomi, de aceea un cristal difractă acești electroni.

Exemplu rezolvat 2. Un electron este accelerat de la repaus de o tensiune de $100\mathrm{kV}$, ca în microscopul electronic. Care este lungimea de undă și cât de mare ar fi eroarea formulei nerelativiste?

1. Energia dobândită este $eU=1,602\cdot 10^{-14}\mathrm{J}$, iar energia de repaus este $m_e{c}^2=8,20\cdot 10^{-14}\mathrm{J}$, deci $\gamma =1+eU/(m_e{c}^2)=1,195$.
2. Viteza rezultă din $v=c\sqrt{1-1/{\gamma }^2}=0,548c=1,64\cdot 10^{8}m/s$.
3. Impulsul este $p=\gamma m_{e}v=1,195\cdot 9,11\cdot 10^{-31}\cdot 1,64\cdot 10^8=1,79\cdot 10^{-22}\mathrm{kg}m/s$.
4. Lungimea de undă este $\lambda =h/p=3,70\cdot 10^{-12}\mathrm{m}=3,70\mathrm{pm}$.

Formula nerelativistă ar da $\lambda =3,88\mathrm{pm}$, cu circa $5\%$ mai mult. O minge de $0,15\mathrm{kg}$ cu viteza $30m/s$ are $\lambda =1,5\cdot 10^{-34}\mathrm{m}$, imposibil de pus în evidență.

Greșeli frecvente

• Greșit: relația $\lambda =h/p$ se aplică numai fotonilor.
  Corect: se aplică și particulelor materiale, inclusiv electronilor.
• Greșit: $p=mv$ se folosește fără verificare la viteze apropiate de $c$.
  Corect: acolo se folosește impulsul relativist $p=\gamma m_{0}v$.
• Greșit: o minge nu are lungime de undă asociată.
  Corect: are, dar lungimea ei de undă este practic neobservabilă.
• Greșit: un proton și un electron cu aceeași energie cinetică au aceeași lungime de undă.
  Corect: $\lambda =h/\sqrt{2m{E}_c}$ este mai mică pentru particula cu masa mai mare, deci protonul are $\lambda$ mai mică decât electronul.

Înainte și după