Unde mecanice

Scutură un capăt al unei sfori lungi, ținute întinse: o ondulație străbate sfoara până la celălalt capăt. Fiecare bucată de sfoară urcă și coboară în jurul locului ei, iar forma ondulației înaintează. Aceasta este o undă mecanică: o perturbație care se propagă printr-un mediu material (sfoară, apă, aer, rocă) prin oscilațiile succesive ale particulelor mediului.

Unda transportă energie, nu substanță. Un dop de plută de pe un lac se ridică și coboară când trece un val, dar rămâne în jurul aceluiași loc, nu este împins de val spre mal. Când spectatorii dintr-un stadion se ridică pe rând și se așază la loc, „valul” înaintează în jurul arenei, deși fiecare om rămâne pe scaunul lui.

Undele sunt de două feluri:

• transversale, când particulele oscilează perpendicular pe direcția de propagare, ca la unda de pe sfoară;
• longitudinale, când particulele oscilează chiar pe direcția de propagare. Un arc elicoidal lung, lovit la un capăt, se comprimă și se destinde în lungul lui, iar sunetul din aer se propagă la fel.

Ambele feluri au nevoie de mediu material. De aceea sunetul nu se propagă prin vid, iar astronauții aflați în spațiu își vorbesc la radio, nu direct.

Unda se descrie prin câteva mărimi:

• amplitudinea: depărtarea maximă a unei particule față de poziția ei de echilibru;
• perioada $T$: timpul în care o particulă face o oscilație completă;
• frecvența $f=1/T$, măsurată în hertzi ($\mathrm{Hz}$);
• lungimea de undă $\lambda$: distanța dintre două puncte vecine care oscilează la fel, de exemplu două creste consecutive; este și distanța parcursă de undă într-o perioadă.

Într-o perioadă unda înaintează cu o lungime de undă, deci viteza ei este

Viteza undei depinde de mediu. Un sunet străbate într-o secundă aproximativ $340\mathrm{m}$ în aer, circa $1500\mathrm{m}$ în apă și circa $5000\mathrm{m}$ în oțel. Frecvența este dată de sursă. Când unda trece într-un alt mediu, frecvența rămâne aceeași, iar viteza și lungimea de undă se schimbă. Nu confunda viteza undei cu viteza unei particule: creasta înaintează pe sfoară, în timp ce un punct marcat urcă și coboară.

Exemplu rezolvat. Un dop de plută de pe un lac face $12$ oscilații complete în $30\mathrm{s}$, iar două creste vecine ale valurilor sunt la $1,5\mathrm{m}$ una de alta. Care sunt perioada, frecvența și viteza valurilor? În cât timp ajunge un val la malul aflat la $18\mathrm{m}$?

1. Perioada este $T=30\mathrm{s}/12=2,5\mathrm{s}$.
2. Frecvența este $f=1/T=1/2,5=0,4\mathrm{Hz}$.
3. Lungimea de undă este distanța dintre două creste, $\lambda =1,5\mathrm{m}$, deci $v=\lambda /T=1,5/2,5=0,6m/s$.
4. Timpul de parcurs până la mal este $t=d/v=18/0,6=30\mathrm{s}$.

Valul ajunge la mal după $30\mathrm{s}$, iar dopul de plută își continuă oscilațiile în același loc.

Fie o sursă în $x=0$ care oscilează după $y=A\sin \omega t$. Un punct aflat la distanța $x$ repetă mișcarea sursei cu întârzierea $\tau =x/v$, deci unda armonică progresivă are ecuația

Mărimea $k$, în $rad/m$, se numește număr de undă; ea rezultă din $\omega /v=2\pi /(vT)=2\pi /\lambda$. Ecuația este periodică în timp, cu perioada $T$, și periodică în spațiu, cu perioada $\lambda$. Două puncte aflate la distanța $\Delta x$ au diferența de fază $\Delta \phi =2\pi \Delta x/\lambda$: la o distanță egală cu $\lambda$ oscilează în fază, iar la $\lambda /2$ în opoziție de fază.

Viteza de propagare este determinată de mediu, nu de frecvență sau de amplitudine. Pe o coardă tensionată, $v=\sqrt{F/\mu }$, unde $F$ este tensiunea și $\mu$ masa unității de lungime. Într-o bară subțire de oțel, $v=\sqrt{E/\rho }$, cu $E$ modulul de elasticitate longitudinal și $\rho$ densitatea; cu $E=2,0\cdot 10^{11}N/{\mathrm{m}}^2$ și $\rho =7850kg/{\mathrm{m}}^3$ rezultă circa $5000m/s$. Particulele nu se deplasează odată cu unda: o particulă a unei unde transversale are viteza maximă $\omega A$, perpendiculară pe direcția de propagare, pe când unda înaintează cu $v=\lambda f$.

Mulțimea punctelor la care unda ajunge în același moment formează frontul de undă. Pentru o sursă punctiformă dintr-un mediu omogen, frontul este o sferă (sau un cerc, pe suprafața apei), iar raza de undă, perpendiculară pe front, arată direcția de propagare. La o undă longitudinală, lungimea de undă este distanța dintre două compresiuni consecutive sau dintre două rarefieri consecutive.

Energia transportată de undă este proporțională cu pătratul amplitudinii: la aceeași frecvență, în același mediu, o undă cu amplitudinea dublă transportă de patru ori mai multă energie în același timp. Undele produse de cutremure se tratează în lecția „Undele seismice”.

Exemplu rezolvat 1. O coardă cu masa $m=0,050\mathrm{kg}$ și lungimea $L=2,0\mathrm{m}$ este întinsă cu forța $F=40\mathrm{N}$ și excitată la frecvența $f=50\mathrm{Hz}$. Se cer viteza undei, lungimea de undă și timpul în care o perturbație străbate coarda.

1. Masa unității de lungime este $\mu =m/L=0,050/2,0=0,025kg/m$.
2. Viteza este $v=\sqrt{F/\mu }=\sqrt{40/0,025}=40m/s$.
3. Lungimea de undă este $\lambda =v/f=40/50=0,80\mathrm{m}$.
4. Timpul de parcurs este $t=L/v=2,0/40=0,050\mathrm{s}$.

Dacă tensiunea ar crește de patru ori, viteza s-ar dubla, iar la aceeași frecvență lungimea de undă ar deveni $1,6\mathrm{m}$.

Exemplu rezolvat 2. O undă are ecuația $y=0,020\sin (40\pi t-2\pi x)$, în unități SI. Se cer frecvența, lungimea de undă, viteza și elongația punctului $x=0,25\mathrm{m}$ la momentul $t=0,010\mathrm{s}$.

1. Din $\omega =40\pi rad/s$ rezultă $f=\omega /(2\pi )=20\mathrm{Hz}$ și $T=0,050\mathrm{s}$.
2. Din $k=2\pi rad/m$ rezultă $\lambda =2\pi /k=1,0\mathrm{m}$.
3. Viteza undei este $v=\lambda f=1,0\cdot 20=20m/s$.
4. Faza la $x=0,25\mathrm{m}$ și $t=0,010\mathrm{s}$ este $40\pi \cdot 0,010-2\pi \cdot 0,25=-0,1\pi$, deci $y=0,020\sin (-0,1\pi )\approx -6,2\cdot 10^{-3}\mathrm{m}$.

Viteza maximă a unei particule, $\omega A=40\pi \cdot 0,020\approx 2,5m/s$, este de opt ori mai mică decât viteza undei.

Greșeli frecvente

• Greșit: a spune că particulele mediului călătoresc toate odată cu creasta.
  Corect: particulele oscilează în jurul poziției lor; unda transportă energie, nu substanță.
• Greșit: a confunda viteza de propagare cu viteza de oscilație a unui punct.
  Corect: viteza undei este $v=\lambda /T$, iar viteza particulei variază în timp, cu maximul $\omega A$.
• Greșit: a aplica $v=\lambda f$ cu unități incompatibile, de exemplu $\lambda$ în centimetri și $v$ în $m/s$.
  Corect: se exprimă $\lambda$ în metri când $v$ este în $m/s$.
• Greșit: a crede că o undă de frecvență mai mare se propagă mai repede în același mediu.
  Corect: viteza depinde de mediu; la aceeași viteză, frecvența mai mare dă o lungime de undă mai mică.

Înainte și după