Rezonanța mecanică

Un oscilator forțat primește energie de la o forță periodică externă. Când frecvența excitării este egală cu frecvența proprie a oscilatorului, transferul de energie este maxim, iar amplitudinea ajunge la valori mari. Fenomenul se numește rezonanță mecanică.

Gândește-te la un leagăn împins o dată la fiecare perioadă, în sensul mișcării. Rezonanța nu înseamnă că energia apare singură: fiecare împingere aduce energie din exterior. În același timp, frecarea și rezistența aerului disipă energie. Când aportul și pierderile se echilibrează, amplitudinea se stabilizează. Un model fără amortizare ar prezice o creștere fără limită în condiții ideale, dar un sistem real nu respectă acea simplificare la amplitudini mari.

Efectul depinde de frecvența și faza forței în raport cu mișcarea. O forță care are componentă în sensul vitezei adaugă energie mecanică, iar una orientată împotriva vitezei o reduce. De aceea amplitudinea staționară depinde atât de excitare, cât și de amortizare.

Rezonanța poate fi utilă, de exemplu la instrumentele muzicale, unde unele vibrații sunt întărite. Poate fi și nedorită în mașini sau construcții dacă produce amplitudini prea mari. Inginerii o controlează prin schimbarea frecvențelor proprii, prin amortizare sau prin evitarea excitației la frecvența problematică. Nu orice vibrație puternică este automat rezonanță; trebuie comparate frecvențele.

Un oscilator cu masa $m$, constanta $k$ și rezistența $F_r=-bv$ este excitat de forța $F=F_0\sin {\omega }_{\mathrm{ex}}t$. În regim staționar el oscilează cu pulsația ${\omega }_{\mathrm{ex}}$ și amplitudinea

Rezonanța mecanică este starea în care pulsația excitației este egală cu pulsația proprie, ${\omega }_{\mathrm{ex}}={\omega }_0=\sqrt{k/m}$, adică $f_{\mathrm{ex}}=f_0$. Atunci $k-m{\omega }_{\mathrm{ex}}^2=0$ și amplitudinea este $A=F_0/(b{\omega }_0)$. La rezonanță forța este în fază cu viteza, deci acționează tot timpul în sensul mișcării și puterea medie transferată este maximă: $P=F_0^2/(2b)$. Graficul $A({\omega }_{\mathrm{ex}})$ se numește curba de rezonanță. Pentru ${\omega }_{\mathrm{ex}}\to 0$ amplitudinea tinde la deformarea statică $F_0/k$, iar la ${\omega }_{\mathrm{ex}}$ mare scade. Cu cât $b$ este mai mic, cu atât vârful curbei este mai înalt și mai îngust; fără rezistență, modelul ar da o amplitudine infinită, dar un resort real iese din domeniul elastic sau se rupe înainte.

Doi oscilatori identici, legați printr-un resort slab, sunt oscilatori cuplați. Sistemul are două moduri normale de oscilație: în primul, corpurile se mișcă în fază, cu frecvența proprie $f_1=f_0$; în al doilea, în opoziție de fază, cu $f_2>f_1$, pentru că resortul de cuplare se deformează. Dacă pui în mișcare un singur corp, mișcarea este suprapunerea celor două moduri: apar bătăi, amplitudinea primului corp scade, a celui de-al doilea crește, iar energia trece de la unul la celălalt. Transferul complet durează $t=1/[2(f_2-f_1)]$. Pentru $f_1=0,50\mathrm{Hz}$ și $f_2=0,52\mathrm{Hz}$, energia ajunge la al doilea pendul după $25\mathrm{s}$.

Aplicațiile exploatează sau evită rezonanța. Leagănul este împins o dată pe perioadă, în sensul mișcării. Cutia unei chitare răspunde la un domeniu larg de frecvențe și întărește sunetul coardei. Tamburul unei mașini de spălat vibrează puternic când turația lui trece prin frecvența proprie a suspensiei. În clădirea Taipei 101, o sferă de oțel de $660$ de tone, suspendată în interior și acordată pe frecvența proprie a clădirii, preia energia oscilațiilor produse de vânt și de cutremure.

Exemplu rezolvat 1. Un corp de masă $m=2,0\mathrm{kg}$ este atârnat de un resort cu $k=50N/m$. Se cer frecvența de rezonanță și masa care ar intra în rezonanță cu o forță de frecvență $1,0\mathrm{Hz}$.

1. Pulsația proprie este ${\omega }_0=\sqrt{k/m}=\sqrt{25}=5,0rad/s$.
2. Frecvența de rezonanță este $f_0={\omega }_0/(2\pi )\approx 0,80\mathrm{Hz}$, deci perioada este $T_0\approx 1,26\mathrm{s}$.
3. Pentru $f_0=1,0\mathrm{Hz}$ și același resort, $m=k/(4{\pi }^2{f}_0^2)=50/(4{\pi }^2\cdot 1,0^2)\approx 1,27\mathrm{kg}$.

Frecvența proprie crește când masa scade, deci masa mai mică intră în rezonanță cu frecvența mai mare.

Exemplu rezolvat 2. Un oscilator cu $m=1,0\mathrm{kg}$, $k=100N/m$ și $b=2,0kg/s$ este excitat de o forță cu $F_0=2,0\mathrm{N}$. Se cer amplitudinea și puterea medie la rezonanță, precum și amplitudinea la ${\omega }_{\mathrm{ex}}=12rad/s$.

1. Pulsația proprie este ${\omega }_0=\sqrt{100/1,0}=10rad/s$.
2. La rezonanță, $A=F_0/(b{\omega }_0)=2,0/(2,0\cdot 10)=0,10\mathrm{m}$.
3. Puterea medie este $P=F_0^2/(2b)=2,0^2/(2\cdot 2,0)=1,0\mathrm{W}$.
4. La ${\omega }_{\mathrm{ex}}=12rad/s$: $A=2,0/\sqrt{(100-144{)}^2+(2,0\cdot 12{)}^2}=2,0/\sqrt{2512}\approx 0,040\mathrm{m}$.

O diferență de numai $20\%$ între pulsații reduce amplitudinea de $2,5$ ori, deoarece amortizarea este slabă și vârful curbei este ascuțit.

Greșeli frecvente

• Greșit: a crede că rezonanța produce energie fără sursă.
  Corect: energia vine de la forța exterioară, care compensează pierderile.
• Greșit: a presupune că amplitudinea crește infinit într-un sistem real.
  Corect: rezistența mediului o limitează la $F_0/(b{\omega }_0)$ la rezonanță.
• Greșit: a numi rezonanță orice oscilație cu amplitudine mare.
  Corect: rezonanța înseamnă $f_{\mathrm{ex}}=f_0$, iar frecvențele trebuie comparate.
• Greșit: a crede că leagănul se amplifică la orice ritm de împingere, dacă împingi tare.
  Corect: împingerile trebuie să aibă frecvența proprie a leagănului și să acționeze în sensul vitezei.
• Greșit: a considera că, la oscilatori cuplați, energia unui pendul dispare când el se oprește.
  Corect: energia trece în celălalt pendul și revine periodic, cu pierderile mici ale frecării.

Înainte și după