Compunerea oscilațiilor

Într-un sistem liniar, deplasările produse de două oscilații se adună în fiecare moment. Dacă oscilațiile au aceeași frecvență și aceeași direcție, amplitudinea rezultantă depinde de diferența de fază. În fază, amplitudinea este $A_1+A_2$; în opoziție de fază, este $|A_1-A_2|$. La amplitudini egale și faze opuse, deplasarea rezultantă este zero.

Pentru faze intermediare, rezultatul se găsește cu fazori, numiți și diagrama Fresnel. Amplitudinile nu se adună mereu ca numere pozitive. De exemplu, două oscilații perpendiculare pot da o traiectorie în plan; forma ei depinde de diferența de fază.

Dacă frecvențele sunt diferite, dar apropiate, amplitudinea rezultantă crește și scade periodic: apar bătăi. Două instrumente ușor dezacordate produc astfel un sunet care se întărește și slăbește ritmic, mai lent decât oscilația fiecărei note. Cu cât frecvențele sunt mai apropiate, cu atât variația este mai lentă, iar la frecvențe egale ea dispare.

Superpoziția simplă cere un sistem liniar. Într-un sistem puternic neliniar, oscilațiile pot interacționa și trebuie folosit modelul acelui sistem. Într-o problemă, identifică direcțiile, frecvențele și diferența de fază înainte de calcul.

Oscilații paralele de aceeași pulsație. Un punct material participă simultan la oscilațiile $y_1=A_1\sin (\omega t+{\phi }_1)$ și $y_2=A_2\sin (\omega t+{\phi }_2)$, de aceeași direcție. Elongația rezultantă este suma lor, $y=y_1+y_2$, și este tot o oscilație armonică de pulsație $\omega$: $y=A\sin (\omega t+\phi )$. Amplitudinea și faza inițială se obțin cu diagrama fazorilor (diagrama Fresnel), în care fiecare oscilație este un vector de lungime $A_i$, înclinat cu unghiul ${\phi }_i$ față de axa de referință, iar vectorul sumă are lungimea $A$:

Cazurile-limită sunt oscilațiile în fază, $\Delta \phi =2n\pi$, cu $A=A_1+A_2$, și oscilațiile în opoziție de fază, $\Delta \phi =(2n+1)\pi$, cu $A=|A_1-A_2|$.

Oscilații perpendiculare de aceeași pulsație. Dacă $x=A_1\sin \omega t$ și $y=A_2\sin (\omega t+\Delta \phi )$, elongațiile nu se adună, pentru că au direcții diferite. Punctul descrie în plan o traiectorie. Pentru $\Delta \phi =0$ ea este segmentul $y=(A_2/A_1)x$, iar pentru $\Delta \phi =\pi$ este segmentul $y=-(A_2/A_1)x$. Pentru $\Delta \phi =\pi /2$ traiectoria este elipsa $x^2/A_1^2+y^2/A_2^2=1$, care devine cerc dacă $A_1=A_2$. Pentru alte valori ale lui $\Delta \phi$ elipsa este înclinată față de axe, iar sensul de parcurgere se schimbă când $\Delta \phi$ trece prin $0$ sau $\pi$. Dacă pulsațiile sunt diferite, traiectoria nu mai este o dreaptă, o elipsă sau un cerc, ci o curbă mai complicată, care depinde de raportul pulsațiilor și de diferența de fază. Un exemplu din laborator este spotul osciloscopului lucrând în modul X–Y: două tensiuni oscilante îl deplasează simultan pe orizontală și pe verticală, iar figura de pe ecran arată cum se compun cele două oscilații.

Oscilații paralele de frecvențe diferite. Dacă frecvențele sunt diferite, diferența de fază dintre cele două oscilații nu mai este constantă: ea crește în timp, pentru că fazorii se rotesc cu viteze unghiulare diferite. Din acest motiv, la un moment dat oscilațiile sunt aproape în fază și amplitudinea rezultantă este mare, iar după un timp sunt aproape în opoziție de fază și amplitudinea este mică. Dacă frecvențele sunt apropiate, această alternanță este lentă și se aude ca o întărire și o slăbire periodică a sunetului, adică bătăi. Acordorii de instrumente folosesc fenomenul: când un diapazon și o coardă sunt ușor dezacordate, se aud bătăi, iar acestea devin tot mai lente și dispar când coarda ajunge la aceeași frecvență cu diapazonul.

Situații practice. Mișcarea unui sistem este adesea rezultatul compunerii mai multor oscilații. Membrana unui microfon primește simultan sunetele mai multor surse și se deplasează cu suma deplasărilor pe care le-ar produce fiecare sursă singură. Aceeași idee explică de ce două unde care ajung în fază într-un punct se întăresc, iar cele care ajung în opoziție de fază se slăbesc sau se anulează.

Exemplu rezolvat 1. Două oscilații paralele au $A_1=6,0\mathrm{cm}$, ${\phi }_1=0$ și $A_2=8,0\mathrm{cm}$, ${\phi }_2=\pi /2$. Se cer amplitudinea și faza inițială a oscilației rezultante.

1. Diferența de fază este $\Delta \phi =\pi /2$, deci $\cos \Delta \phi =0$.
2. Amplitudinea este $A=\sqrt{6,0^2+8,0^2}=10,0\mathrm{cm}$.
3. Faza se află din $\mathrm{tg}\phi =\frac{8,0\cdot 1}{6,0\cdot 1}=\frac{4}{3}$, deci $\phi \approx 0,93\mathrm{rad}\approx 53^{\circ }$.

Pentru aceleași amplitudini, oscilațiile în fază ar da $14,0\mathrm{cm}$, iar cele în opoziție de fază ar da $2,0\mathrm{cm}$.

Exemplu rezolvat 2. Un punct participă la oscilațiile perpendiculare $x=3,0\sin \omega t$ și $y=4,0\sin (\omega t+\pi /2)$, în centimetri. Care este traiectoria și în ce sens este parcursă?

1. Cum $\sin (\omega t+\pi /2)=\cos \omega t$, avem $y=4,0\cos \omega t$.
2. Din ${\sin }^2\omega t+{\cos }^2\omega t=1$ rezultă $x^2/3,0^2+y^2/4,0^2=1$, o elipsă cu semiaxele $3,0\mathrm{cm}$ și $4,0\mathrm{cm}$.
3. La $t=0$ punctul este în $(0;4,0)$, iar după un sfert de perioadă este în $(3,0;0)$.

Deplasarea de la vârful de sus spre dreapta arată că elipsa este parcursă în sensul acelor de ceasornic.

Greșeli frecvente

• Greșit: amplitudinea rezultantă este mereu $A_1+A_2$.
  Corect: $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \Delta \phi }$; suma $A_1+A_2$ se obține numai pentru oscilații în fază.
• Greșit: bătăile apar și la oscilații de aceeași frecvență.
  Corect: la frecvențe egale diferența de fază rămâne constantă și amplitudinea rezultantă este constantă; bătăile apar numai când frecvențele diferă puțin.
• Greșit: suprapunerea se aplică oricărui sistem.
  Corect: se aplică numai sistemelor liniare, de exemplu oscilațiilor de amplitudine mică.
• Greșit: la oscilațiile perpendiculare, amplitudinea rezultantă se calculează cu aceeași formulă ca la cele paralele.
  Corect: elongațiile perpendiculare nu se adună într-o singură elongație; punctul descrie o traiectorie în plan.

Înainte și după