Oscilatorul armonic

Un sistem corp–resort cu forță de revenire proporțională cu abaterea față de echilibru este un model de oscilator armonic. El se deplasează repetat de o parte și de alta a poziției de echilibru; în modelul ideal, coordonata variază sinusoidal în timp. Valabilitatea modelului cere deformări în domeniul elastic liniar și pierderi neglijabile.

Forța elastică este orientată mereu spre poziția de echilibru și este mai mare când deformarea este mai mare. La capetele mișcării, corpul se oprește pentru o clipă înainte de a schimba sensul. În poziția de echilibru, viteza are modulul maxim. Așadar, nu confunda poziția cea mai îndepărtată cu locul unde corpul se mișcă cel mai repede.

Energia se schimbă între energia potențială elastică și energia cinetică. La capete, corpul are momentan viteză zero, iar energia elastică este maximă. La echilibru, viteza și energia cinetică sunt maxime. Dacă frecarea este neglijabilă, suma lor rămâne constantă. Un oscilator real pierde treptat energie și amplitudinea scade.

Un pendul poate fi aproximat ca oscilator armonic numai pentru oscilații cu unghiuri mici. La unghiuri mari, durata unui ciclu nu mai respectă exact aproximația simplă. Modelele fizice au domenii de folosire. Când rezolvi o problemă, întreabă-te ce forță readuce corpul spre echilibru și dacă acea forță este proporțională cu deplasarea.

Un corp de masă $m$ legat de un resort ideal, cu constanta elastică $k$, este un oscilator armonic liniar. Pe o axă $Oy$ cu originea în poziția de echilibru, forța de revenire este $F=-ky$: semnul minus arată că ea are mereu sens opus elongației. Legea a doua a dinamicii, $ma=-ky$, conduce la $a=-{\omega }^{2}y$, cu $\omega =\sqrt{k/m}$. Soluția este

Viteza are modulul maxim $v_{\max }=\omega A$ la trecerea prin echilibru, iar accelerația are modulul maxim $a_{\max }={\omega }^{2}A$ în capetele oscilației. Din aceste expresii se vede că viteza este defazată cu $\pi /2$ înaintea elongației, iar accelerația este în opoziție de fază cu elongația. Când corpul trece prin echilibru, accelerația este nulă și viteza este maximă; în capete, viteza este nulă, iar accelerația are modulul maxim și este orientată spre echilibru. Amplitudinea $A$ și faza inițială ${\phi }_0$ nu depind de resort, ci de condițiile inițiale: elongația și viteza la $t=0$. Perioada

nu depinde de amplitudine. Ea crește cu $\sqrt{m}$: o masă de patru ori mai mare dublează perioada. Un resort vertical oscilează cu aceeași perioadă ca unul orizontal, pentru că greutatea deplasează numai poziția de echilibru, cu $mg/k$.

Pendulul gravitațional, format dintr-un corp mic pe un fir inextensibil de lungime $\ell$, are ca forță de revenire componenta tangențială a greutății, $-mg\sin \alpha$. Pentru unghiuri mici, cu $\alpha$ în radiani, $\sin \alpha \approx \alpha$, forța devine proporțională cu elongația și

Perioada nu depinde de masa corpului. La amplitudinea unghiulară de $5^{\circ }$, perioada reală depășește valoarea formulei cu $0,05\%$, iar la $30^{\circ }$ cu $1,7\%$.

Energia cinetică și cea potențială elastică variază în timp, dar suma lor este constantă:

Energia totală este proporțională cu $A^2$. Din $E_c+E_p=E$ rezultă viteza la elongația $y$: $v=\pm \omega \sqrt{A^2-y^2}$.

Exemplu rezolvat 1. Un corp cu $m=0,40\mathrm{kg}$ este legat de un resort cu $k=250N/m$ și oscilează cu amplitudinea $A=0,060\mathrm{m}$. Se cer pulsația, perioada, viteza și accelerația maxime, energia și viteza la elongația $y=0,036\mathrm{m}$.

1. Pulsația este $\omega =\sqrt{k/m}=\sqrt{250/0,40}=25rad/s$, iar perioada $T=2\pi /\omega \approx 0,25\mathrm{s}$.
2. Valorile maxime sunt $v_{\max }=\omega A=25\cdot 0,060=1,5m/s$ și $a_{\max }={\omega }^{2}A=625\cdot 0,060=37,5m/{\mathrm{s}}^2$.
3. Energia este $E=k{A}^2/2=250\cdot 0,060^2/2=0,45\mathrm{J}$.
4. La $y=0,036\mathrm{m}$: $v=\omega \sqrt{A^2-y^2}=25\sqrt{0,060^2-0,036^2}=25\cdot 0,048=1,2m/s$.

Verificare: $E_p=k{y}^2/2=0,162\mathrm{J}$, iar $E_c=m{v}^2/2=0,288\mathrm{J}$; suma lor este $0,45\mathrm{J}$, deci energia se conservă. Frecvența este $\nu =1/T\approx 4,0\mathrm{Hz}$, adică resortul face aproximativ patru oscilații complete pe secundă, ceea ce este plauzibil pentru un resort rigid și un corp de numai $0,40\mathrm{kg}$.

Exemplu rezolvat 2. Care este lungimea unui pendul gravitațional cu perioada $T=2,0\mathrm{s}$ la $g=9,8m/{\mathrm{s}}^2$? Ce perioadă are același pendul pe Lună, unde $g_L=1,6m/{\mathrm{s}}^2$?

1. Din $T=2\pi \sqrt{\ell /g}$ rezultă $\ell =g{T}^2/(4{\pi }^2)$.
2. Numeric, $\ell =9,8\cdot 2,0^2/(4{\pi }^2)\approx 0,99\mathrm{m}$.
3. Pe Lună, $T_L=2\pi \sqrt{\ell /g_L}=2\pi \sqrt{0,99/1,6}\approx 4,9\mathrm{s}$.

Raportul $T_L/T=\sqrt{9,8/1,6}\approx 2,5$ nu depinde de lungime și de masă: pe Lună orice pendul oscilează de aproximativ $2,5$ ori mai lent. Pendulul de aproape un metru are semiperioada de o secundă, de aceea se numește „pendulul care bate secunda”.

Greșeli frecvente

• Greșit: a crede că viteza maximă este la capetele oscilației.
  Corect: la capete viteza este zero; viteza maximă, $\omega A$, este în poziția de echilibru.
• Greșit: a aplica $T=2\pi \sqrt{m/k}$ unui pendul gravitațional.
  Corect: formula aparține oscilatorului elastic; pendulul are $T=2\pi \sqrt{\ell /g}$ la unghiuri mici.
• Greșit: a citi semnul minus din $F=-ky$ ca pe o forță mereu orientată spre stânga.
  Corect: semnul minus arată că forța are sens opus elongației, adică este orientată spre poziția de echilibru.
• Greșit: a spune că un pendul mai greu oscilează mai încet sau mai repede.
  Corect: perioada pendulului nu depinde de masa lui.
• Greșit: a calcula energia oscilatorului cu elongația instantanee, $E=k{y}^2/2$.
  Corect: energia totală este $k{A}^2/2$, constantă; $k{y}^2/2$ este numai energia potențială la un moment dat.

Înainte și după