Oscilații amortizate și forțate

Într-un sistem oscilant real, rezistența mediului și frecarea transferă energie din mișcarea mecanică spre mediu. Oscilațiile a căror amplitudine scade se numesc amortizate. Energia nu dispare, ci se transformă, în principal în energie internă. La amortizare slabă rămân vizibile multe cicluri; la amortizare puternică mișcarea poate înceta fără oscilații complete.

O forță exterioară periodică poate menține sistemul în mișcare; aceasta este o oscilație forțată. În regim staționar, aportul mediu de energie compensează pierderile. Frecvența răspunsului staționar este cea a forței excitatoare, nu neapărat frecvența proprie a sistemului liber.

Transferul de energie depinde de relația de fază dintre forță și viteză. Apropierea frecvenței de excitare de o frecvență proprie poate produce rezonanță, dar disiparea limitează amplitudinea staționară. Rezonanța este dezvoltată separat în „Rezonanța mecanică”.

Un amortizor de automobil reduce oscilațiile caroseriei după trecerea peste o denivelare. Nu elimină toate mișcările și nu schimbă faptul că roțile trebuie să urmeze drumul; el disipă o parte din energia oscilației. Oscilațiile amortizate și forțate apar în mecanică, dar și în circuite electrice și în alte sisteme care au energie stocată și pierderi.

Asupra unui oscilator real acționează forțe de rezistență: frecarea cu aerul, frecarea internă a resortului, frecarea din articulații. La viteze mici, rezistența mediului este proporțională cu viteza și are sens opus ei: $F_r=-bv$, unde $b$ este coeficientul de rezistență, în $kg/s$. Lucrul mecanic al lui $F_r$ este negativ, deci energia mecanică a oscilatorului scade, iar diferența devine energie internă a mediului și a corpului. Mișcarea rezultată este o oscilație amortizată.

La amortizare slabă, amplitudinile măsurate din perioadă în perioadă formează o progresie geometrică: $A_{n+1}=q{A}_n$, deci $A_n=A_0{q}^n$, cu $0<q<1$. Energia este proporțională cu $A^2$, așa că ea se înmulțește cu $q^2$ la fiecare perioadă, iar fracțiunea pierdută într-o perioadă este $1-q^2$. Când $b$ crește, perioada oscilației crește ușor. La valoarea critică $b_c=2\sqrt{km}$ și peste ea corpul nu mai oscilează, ci revine monoton la echilibru, în regim aperiodic. La $b=b_c$ revenirea este cea mai rapidă care nu depășește echilibrul; de aceea mecanismele de închidere ale ușilor și acele aparatelor de măsură sunt reglate lângă această valoare.

Dacă asupra oscilatorului acționează o forță periodică $F=F_0\sin {\omega }_{\mathrm{ex}}t$, oscilația este forțată. Imediat după pornire, mișcarea este suma dintre oscilația proprie, care se stinge treptat, și oscilația impusă de forță. După un timp, în regim staționar, rămâne numai oscilația impusă: ea are pulsația ${\omega }_{\mathrm{ex}}$ a forței, indiferent de pulsația proprie, și are amplitudine constantă. Amplitudinea staționară depinde de $F_0$, de $b$ și de diferența dintre ${\omega }_{\mathrm{ex}}$ și pulsația proprie ${\omega }_0$; cazul ${\omega }_{\mathrm{ex}}\approx {\omega }_0$ este tratat în lecția „Rezonanța mecanică”. În regim staționar, energia mecanică nu se mai schimbă, deci puterea medie primită de la forța exterioară este egală cu puterea medie disipată de rezistență. Așa funcționează un ceas cu pendul: o greutate coboară lent și, prin mecanismul de angrenare, dă pendulului la fiecare oscilație energia pierdută prin frecare.

Exemplu rezolvat 1. Un pendul elastic oscilează amortizat. Două amplitudini succesive, la interval de o perioadă, sunt $10,0\mathrm{cm}$ și $8,0\mathrm{cm}$. Se cer factorul $q$, amplitudinea și energia relativă după $5$ perioade, precum și numărul de perioade după care amplitudinea scade sub $1,0\mathrm{cm}$.

1. Factorul este $q=8,0/10,0=0,80$.
2. După $5$ perioade, $A_5=A_0{q}^5=10,0\cdot 0,80^5\approx 3,3\mathrm{cm}$.
3. Energia relativă este $E_5/E_0=q^{10}=0,80^{10}\approx 0,11$, adică a rămas aproximativ $11\%$ din energia inițială.
4. Condiția $0,80^n<0,10$ dă $n>\lg 0,10/\lg 0,80\approx 10,3$, deci amplitudinea coboară sub $1,0\mathrm{cm}$ de la a $11$-a perioadă.

Amplitudinea scade cu $20\%$ pe perioadă, iar energia cu $36\%$: energia se pierde mai repede decât amplitudinea.

Exemplu rezolvat 2. Un corp cu $m=0,20\mathrm{kg}$ legat de un resort cu $k=80N/m$ trebuie menținut cu amplitudinea $A=6,0\mathrm{cm}$. Lăsat liber, la această amplitudine, el și-ar micșora amplitudinea cu factorul $q=0,80$ pe perioadă. Ce putere medie trebuie furnizată de forța exterioară?

1. Energia oscilatorului este $E=k{A}^2/2=80\cdot 0,060^2/2=0,144\mathrm{J}$.
2. Pulsația este ${\omega }_0=\sqrt{k/m}=20rad/s$, deci $T=2\pi /{\omega }_0\approx 0,314\mathrm{s}$.
3. Energia pierdută pe o perioadă este $\Delta E=(1-q^2)E=0,36\cdot 0,144\approx 0,0518\mathrm{J}$.
4. Puterea medie necesară este $P=\Delta E/T\approx 0,0518/0,314\approx 0,165\mathrm{W}$.

Forța exterioară acoperă exact pierderile; dacă ar furniza mai puțin, amplitudinea ar scădea, iar dacă ar furniza mai mult, ar crește până când pierderile cresc la același nivel.

Greșeli frecvente

• Greșit: energia unei oscilații amortizate dispare.
  Corect: energia totală se conservă; energia mecanică scade, iar diferența se transformă în energie internă a mediului și a corpului.
• Greșit: oscilatorul forțat oscilează, în regim staționar, cu frecvența lui proprie.
  Corect: în regim staționar oscilează cu frecvența forței exterioare.
• Greșit: la rezonanță amplitudinea crește fără limită.
  Corect: rezistența mediului o limitează la o valoare finită.
• Greșit: o amortizare mai puternică face întotdeauna oscilația să se stingă mai repede.
  Corect: peste valoarea critică $b_c=2\sqrt{km}$ revenirea la echilibru devine mai lentă, fără oscilații.
• Greșit: amplitudinea unui oscilator amortizat scade cu aceeași valoare la fiecare perioadă.
  Corect: scade cu același factor $q$, deci amplitudinile formează o progresie geometrică.

Înainte și după